3차 방정식
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ax³+bx²+cx+d=0
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x=y-(b/3a) 라 할때
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a(y-(b/3a))³+b(y-(b/3a))²+c(y-(b/3a))+d=0
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전개하고 양변에 a로 나누면
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y³+(-(b/3a²)+c/a)y+((2b³/27a³)-(bc/3a²)+d/a=0
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여기서 -(b/3a²)+c/a=3p, (2b³/27a³)-(bc/3a²)+d/a=-2q 라 하면
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y³+3py-2q=0 - ①
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여기서 y=A+B라 하면
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y³=A³+B³+3AB(A+B)=A³+B³+3ABy
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y³-3ABy-(A³+B³)=0 - ②
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②식을 ①식과 비교하면..
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AB=-p, A³+B³=2q
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여기서, A³과 B³을 두 근으로 하는 2차방정식을 세우면
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f²-2qf-p³=0
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∴f=q±√(p³+q²)
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여기서 A=³√(q+(√(p³+q²)) ), B=³√(q-(√(p³+q²)) )
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따라서 y=³√(q+(√(p³+q²)) )+³√(q-(√(p³+q²)) )
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여기서, x³=1의 허근을 w라 할때 wA+w²B, w²A+wB 역시 저 방정식의 해가 됩니다.(3제곱 해보시면 ②식과 같아집니다.)
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따라서
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y= [³√{q+√(p³+q²)}]+[³√{q-√(p³+q²)}]
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,(w)[³√{q+√(p³+q²)}]+(w²)[³√{q-√(p³+q²)}]
<br>
,(w²)[³√{q+√(p³+q²)}]+(w)[³√{q-√(p³+q²)}]
<br>
따라서
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x=[³√{q+√(p³+q²)}]+[³√{q-√(p³+q²)}]-b/3a
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,(w)[³√{q+√(p³+q²)}]+(w²)[³√{q-√(p³+q²)}]-b/3a
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,(w²)[³√{q+√(p³+q²)}]+(w)[³√{q-√(p³+q²)}]-b/3a
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가 됩니다.
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4차 방정식
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ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0
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x=y-(b/4a)라 할때
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ay⁴-by³+(3b²/8a)y²-(b³/16a²)y+(b⁴/256a³)+by³-(3b²/4a)y²+(3b³/16a²)y-(b⁴/64a³)+cy²-(bc/2a)y+b²c/16a²+dy-(b²d/4a)+e=0
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여기서 y³은 제거됩니다. 그리고 (c/a)-(3b²/8a)=p, (b³/8a³)-(bc/2a²)+d/a=q, (-3b⁴/256a⁴)+(b²c/16a³)-(b²d/4a²)+e/a=r 이라 할때
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y⁴+py²+qy+r=0
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이 식을 변형하면
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(y²+p)²=py²-qy-r+p²
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여기서 새로운 미지수 t를 도입합니다.
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(y²+p+t)²=(p+2t)y²-qy-r+p²+2pt+t²
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여기서 우변이 y에 관한 완전제곱식이 되므로 D=0 이 됩니다.
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D=q²-4(2t+p)(t²+2pt+p²-r)=0
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q²-8t³-20pt²-16p²t+8rt-4p³+4pr=0
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이는 t에 관한 3차방정식입니다. 여기서 t값 중 하나를 t₁이라 하면
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y²+p+t₁=±{√(p+2t₁)}{y-(q/2(p+2t₁)}
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이렇게 해서 y에 관한 2차방정식이 됩니다. 이것을 풀어주면 x값을 구할 수 있게 됩니다.
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너무 많아서 틀린 부분이 있을 지도 모릅니다.
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그리고 본래 목적은 t₁값을 구하는 것인데 워낙 양이 많아서 중도 포기했습니다..;;
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--------------------- [원본 메세지] ---------------------
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저기
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3,4 차 방정식의 근의 공식이 이따고 들었거든욤..
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그거 좀 알켜 주세요
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증명 까지...해주시면 ㄳ 하게씀돠~
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