카오스이론(chaos theory)과 진동하는 MEMS에서의 비선형 동력학

[러브인]

카오스이론(chaos theory)과 진동하는 MEMS에서의 비선형 동력학

1. 카오스의 세계(무질서 속에서 질서를 인위적 발견)

겉으로 보기에는 불안정하고 불규칙적으로 보이면서도 나름대로 질서와 규칙성을 지니고 있는 현상들을 설명하려는 이론이다. 이것은 작은 변화가 예측할 수 없는 엄청난 결과를 낳는 것처럼 안정적으로 보이면서도 안정적이지 않고, 안정적이지 않은 것처럼 보이면서도 안정적인 여러 현상을 설명하려는 이론이다.

카오스는 컴컴한 텅 빈 공간, 곧 혼돈(混沌)을 뜻한다. 물리학에서는 불규칙적인 결정론적 운동을 가리킨다. 카오스이론은 1900년대 물리학계에서 3체 문제, 난류 및 천체 문제 등의 비선형 동역학을 연구하는 과정에서 출발하였다. 1961년 미국의 기상학자 로렌츠(E.N.Lorentz)가 기상 모델을 연구하면서 나비효과(butterfly effect)를 발표하여 이론적 발판을 마련하였고 그 후 활발히 연구되었다.

나비효과란 브라질에 있는 나비의 날갯짓이 미국 텍사스에 토네이도를 발생시킬 수도 있다는 비유로, 지구상 어디에선가 일어난 조그만 변화가 예측할 수 없는 변화무쌍한 날씨를 만들어낼 수도 있다는 것을 의미한다. 로렌츠의 이러한 생각은 기존의 물리학으로는 설명할 수 없는, 이른바 '초기 조건에의 민감한 의존성', 곧 작은 변화가 결과적으로 엄청난 변화를 일으킬 수 있다는 사실을 보여준다.

카오스이론은 작은 변화가 예측할 수 없는 엄청난 결과를 낳는 것처럼 안정적으로 보이면서도 안정적이지 않고, 안정적이지 않은 것처럼 보이면서도 안정적인 현상을 설명한다. 또한 겉으로 보기에는 한없이 무질서하고 불규칙해 보이면서도, 나름대로 어떤 질서와 규칙성을 가지고 있는 현상을 설명하려는 이론이다.

물리학에서는 안정된 운동 상태를 보이는 계(系)가 어떤 과정을 거쳐서 혼돈 상태로 바뀌는가를 설명함으로써 혼돈 현상 속에도 어떤 숨겨진 질서가 있다는 것을 밝히려는 이론으로 정의한다. 혼돈 속의 질서와 관련해 카오스이론을 다룬 대표적인 저서로 벨기에의 물리학자 프리고진(Ilya Prigogine)과 철학자 스텐저스(Isabelle Stengers)가 1979년 공동으로 집필한 《혼돈으로부터의 질서 La Nouvelle Alliance》를 들 수 있다. 양자역학에서도 불확정성원리나 양자계와 관련해 카오스를 다루는데, 이를 양자카오스라고 한다.

지금은 물리학뿐 아니라 경제학·수학·기상학·천문학·의학·생물학 등 다양한 분야에서 활발한 연구가 이루어지고 있지만, 아직까지는 초기 단계에 머물러 있다. 카오스이론을 보여주는 대표적인 예로는 증권시장에서 주식 가격의 변화, 나뭇잎의 낙하운동, 물의 난류 현상, 회오리바람, 태풍이나 지진 메커니즘 등을 들 수 있다.

카오스이론 [chaos theory] (두산백과) 

2. 카오스의 세계

디지털 비디오 보호를 위한 카오스 사상 기반의 암호화 방법

이 논문에선 MPEG-2 비디오 인코딩 과정 내에 복수의 카오스 사상 기반의 디지털 비디오 암호화 방법을 제안하고 있다. 제안방법은 카오스 사상인 텐트 사상을 기본블록으로 하는 해시체인으로부터 128bit의 난수특성이 우수한 비밀 해시 키를 생성하고 이를 로지스틱 사상과 헤논 사상에 적용하여 난수로 이루어진 난수블록을 생성한다.

난수 블록과 DCT블록 내 영상정보에 대한 파급효과가 큰 저주파 계수들에 대해 선택적으로 XOR암호화 연산을 수행함으로써 암호화 처리에 따른 오버헤드를 줄일 수 있으며, 복수의 카오스 사상을 결합한 구조를 사용하여 비교적 간단하면서 우수한 난수특성을 제공한다.

DCT블록 내에서 DC계수와 이와 인접한 저주파 성분의 AC 계수들을 선택하여 그룹화 한다. 그룹화 된 계수들은 128bit해시 키를 생성하는 해시체인의 입력으로 사용된다. 생성된 해시 키는 로지스틱 사상의 초기값으로 사용되어 0에서 1사이의 값을 갖는 64개의 난수로 구성된 난수블록을 생성하고, 난수블록의 랜덤 특성을 높이기 위해 헤논 사상을 이용하여 난수블록의 난수들에 대해 치환과정을 수행한다. 이 논문에서는 키 공간 분석, 암호화 알고리즘의 보안성, 초기 값 민감도 분석, 압축 효율성, 시각적 암호화 평가등을 통하여 실험하였다. 

카오스 이론을 이용한 한글 문자 특징 추출에 관한 연구

카오스 이론의 프랙탈 차원과 스트레인즈 어트랙터를 생성하는 수정된 에농 함수를 이용하여, 한글 2350자에 대한 시계열 데이터의 혼도도를 분석하기 위해, 각각의 문자 0 트렉터를 구성한후, 프렉털 차원을 나타내는 box-counting natural measure, information bit 등을 구하여 문자 특징을 추출하는 새로운 알고리즘을 제시하였다. 문자의 특징 추출, 문자 어트랙터 생성, 프랙탈 차원 등을 이용하여 실험하였다. 

카오스이론을 적용한 일유출량 자료의 비선형

카오스 특성을 보이는 일유출량 수문시계열에 대해 kantz등이 제안한 비선형 부분근사화기법과 이 기법에 인공신경망을 적용한 모형을 이용하여 예측하고 앞서 언급한 카오스 시계열의 단기예측 및 장기예측 특성을 시간지체법, 상관차원, 비선형 예측모형, 예측모형의 적용 및 예측결과를 통해 알아보았다.

이 연구에서는 카오스 특성을 가지는 일유출량 시계열 자료의 예측을 통해 단기예측의 우수성 및 장기예측의 불가능성을 알 수 있었고 kantz등의 방법과 본 연구에서 시도한 인공신경망을 적용한 부분근사화모형을 비교해서 본 결과 어느 방법이 확실히 우수하다는 결론을 얻을 수는 없었지만 신경망을 적용한 부분근사화모형의 경우 비선형성을 잘 표현할 수 있는 장점을 발견하였다.

카오스 이론에 의한 진동하는 MEMS에서의 비선형 동력학

1. 자이로스코프

MEMS 센서들은 전자 부품과 기계 부품들이 엄격하게 통합된 시스템을 말한다. 반면 전자 부품들은 잘 정리된 기반이 있으며 기계적 부품은 마이크로 레벨에서 아직 연구를 지속하고 있다. 마이크로머신 관성 센서들(1mm에서 1m 크기의 범위를 가진 가속기와 자이로스코프)은 가장 중요하며 실리콘 기반 센서의 고체 형태로 구성되어 있다.

동조 포크형 MEMS 자이로스코프의 일반적인 구조

MEMS 가속기들은 자동차에서 이동전화기 응용까지 많은 영역에서 사용되고 있다. 마이크로머신 자이로스코프는 개발이 현재 진행 중이다. 광리소 그래피 기술로 인하여 매크로 레벨에서 만났던 입체 자이로스 코프 평면 자이로스코프를 생산하는 것이 더 쉽다. 특별히 병 진 MEMS 자이로스코프는 이를 해결하기 위한 가장 확실한 해법이다.

Francesco Braghin의 연구

그림 1에 나타낸 동조 포크형(tuning-fork) MEMS 자이로 스코프의 일반적인 구조는 폴리실리콘 빔들에 의해 지지된 proof masses로 구성되어 있다.

proof masses는 빗형 구동 액추에이터들(comb drive actuators)을 통하여 구동 방향을 따라 진동하도록 설정되어 있다. 이 구조는 대칭이며 x축(구동-방향)을 따라 푸시풀 (push-pull) 진동모드로 여기하도록 설계되어 있다. 구동 방향에 수직으로 각속도(ωz)의 존재하에서 코리홀리 가속 (Coriolis acceleration)은 proof mass의 속도에서 구동축과 각도 비율에 따라 양쪽에 모두 비례하고, 구동력으로서 동일 주파수를 가지는 감지 방향에 따라 힘을 결정한다.

자이로스코프의 감도를 증가시키기 위하여 구동 방향과 감 지 방향에 따른 고유주파수(eigenfrequencies)들은 구동 주파 수와 같아야 하며 낮은 제동비는 참고문헌의 목적이 되어야만 한다.

비선형 구조

카오스는 비선형방적식 가운데서 특히 피드백의 성질을 갖는 대상에서 발생한다. 피드백은 하나의 방정식이 있을 때, 그 식에서 나온 결과가 계속 반복적으로 같은 식에 대입되는 성질을 갖는다. 겉보기에는 간단한 것 같지만, 피드백이 되풀이 되면서 상황이 매우 복잡하게 변화한다. 식은 하나이지만 그것으로부터 나온 결과는 수시로 바뀌기 때문에 예측이 어렵다. 축구 경기에서 각 선수들의 순간마다의 위치를 알아 맞추는 일처럼 말이다. 한발짝 움직일 때 마다 공의 위치가 바뀌므로 선수들의 위치가 앞으로 어디에 있게 될지 도저히 짐작할 수도 없다. 비선형계는 본질적으로 몇개의 간단한 구성요소로는 분석이 불가능할 뿐만 아니라, 만약 분석이 된다 하더라도 그것들이 종합될 때는 각 부분, 또는 요인들이 서로 상승작용을 하여 전체의 행동을 예측하기가 매우 어려워진다.

선형 구조

뉴턴 역학에서는 선형계가 주된 연구의 대상이었다. 선형계는 몇개의 단순한 구성요소로 분ㅅ헉하여 그들의 특징을 파악하면 다시 종합함으로써 전체 행동을 추측할 수 있다. 이러한 특성 때문에 뉴턴 역학의 대상은 주로 정량적인 방법이 사용된다. 비선형이라 해도 선형으로 근사시키는 선형화라는 방법으로 비선형의 항을 소거하여 근사적으로 단순한 형태로 바꾸어 그 행동을 예측할 수는 있다.

이 선형함수로 나타내어지는 역학계가 바로 선형 역학계이다. 선형 역학계의 예로, 영국의 물리학자 후크(Robert Hooke, 1635~1703)가 발견한 '후크의법칙'을 만족하는 용수철이 있다. 이 용수철은 힘을 가한 만큼 늘어난다. (F= -kx ; F는 가한 힘, k는 용수철의 상수, x는 변형된 용수철의 길이). 즉, 용수철의 길이는 그에 가해진 힘에 비례하는 것이다. 그러나 실제의 용수철은 어느 한도 내에서만 후쿠의 법칙에 따르고 그 이상에서는 비선형성을 보인다.

선형함수의 두번째 특징은 요소환원주의의 입장과 일치한다는 점이다. 과학자들은 미지의 대상을 연구할 때, 우선 그것의 부분을 해체하고, 그것들의 요소가 무엇인지를 밝히고, 그 요소들이 우리가 익히 알고 있는 것들인가를 낱낱이 따진다. 그리하여 이들 요소의 종합으로 미지의 대상 전체를 '이해'했다고 생각한다. 이 요소환원주의적인 사고에는 다음과 같은 위험이 따른다. 즉, 비선형 방정식으로 나타내어지는 자연현상을 선형 방정식으로 근사적으로 나타낼 수 있고, 아주 복잡한 현상은 통계적으로 평균치를 구하면 된다고 안이한 생각을 하기 쉽다. 그러나 그림 25에서 보듯이 선형적인 현상은 자연계에서는 극히 특수한 경우이며, 오히려 비선형적인 현상이 보다 일반적인 것이다. 게다가 비선형을 선형에 근사시키는 일에는 한계가 있다.

그러나 낮은 제동은 좁은 공진 최대를 의미하므로 아는 고유주파수에서 작은 진동을 의미하기 때문에[4] 매우 작은 감도를 유도하게 된다. 따라서, 복잡 제어 논리들이 구현 되어야 한다.

제조 오차의 존재하에서도 높은 감도를 유지하기 위한 다른 가능성이 있는 해법은 2개의 공진 최대(구동 방향과 감지 방향)가 동일 주파수를 가지는 제한의 완화에 기초한다. 이 완화 는 몇 가지 방법으로 얻어질 수 있다.

이 글의 설명에서 분석한 방법은 디바이스의 비선형 특성에 의존한다. 높은 변위를 이루기 위한 시험 구조를 그림 2에 나타냈으며, 따라서 이는 MEMS의 비선형 거동을 실험적으로 연구하기 위해서 STMicroelectronics의 지원을 자기고 제작되고 설계된 ad hoc이다. 이것은 x축(구동 방향)을 따라 20개의 빗형-드라이브들(comb-drives)에 의해 힘이 가해지고 4개의 빔을 통하여 현수된(suspended) proof mass로 구성된다.

이 시험 구조의 2차원 FEA 모델은 디바이스의 첫 번째 고유모드들(eigenmodes)을 결정하기 위하여 개발됐다. 이 예비적인 분석은 매우 간단한 집중 파라미터 모델이 약 80kHz 주파수까지 올리는 시스템의 동력학으로 설명하는 데 충분하다 는 것을 보여주었다. 지지 빔의 비선형 접근을 위해서 이들 지지 빔들 중 오직 정제된 하나의 FEA 모델이 사용되곤 했다 [5~8]. 그런 후 곡선의 비선형 특성들은 3차원 다항식 곡선을 가지고 조정됐으며, 동일한 계수들이 집중 파라미터 모델에서 사용되었다.

준–해석과 수치 통합 기법(semi-analytical and numerical integration methods)들을 통하여 시험 구조의 동적 응답이 결정됐고, 고려한 디바이스보다 더 큰 힘을 가지고 약 3N 의 여기력 진폭까지 상승하는 매우 우수한 일치를 보이는 실험 결과와 비교했다. 그런 후 주어진 방법들이 자이로 스코프 설계를 위해서 사용됐다. 모델 파라미터들의 식별이 제공되었고 그 결과를 설명했다.

FEA 모델

앞서 말한 시험 구조의 2차원 FEA 모델을 그림 2에 나타내었고, FEMLAB에 의해 개발된 구조를 그림 3에 나타내었다. 그림 2와 3은 디바이스의 첫 번째 고유모드를 위해 사용한다. 빗형 구동들은 모델의 복잡성을 줄여주기 위해서 등가 질량 을 통하여 개략화했다. 유사하게 proof mass에서 구멍들은 명확하게 모델링되지 않았지만, 폴리실리콘의 밀도를 줄여 처리했다. 그림 4와 5는 시험 구조의 처음 2개 고유모드를 보여 준다.

한편, 1,705Hz에서 첫 번째 시험 고유모드는 강체이며, 두 번째 중의 하나는 명확하게 변형 가능이지만 이것은 96.385Hz의 주파수에서 발생한다. 따라서 이것은 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 시험 구조 설계로 인하여 첫 번째 모델 주파수 상에 동조된 1 자유도 집중 파라미터 모델은 시험 구조의 동적 해석을 위해서 사용될 수 있으며 이것의 유용한 범위는 0Hz에서 80Hz의 범위이다.

개발된 FEA 모델은 동적 해석을 통하여 지지 빔 특성 곡선 즉 탄성 반발력 대 proof mass 변위를 재사용하도록 결정해왔다. 시험 구조의 대칭성으로 인하여 proof mass 시험 구조는 대칭성은 x축 방향에 따라 진동한다. 따라서, 이것은 하나의 지지 빔을 단지 고려함에 의해 FEA 모델을 간략화하는 것이 가능하다. 이 경우에 이에 대한 경계 조건들은 하나의 빔에서 encastre라며 다른 끝에서는 슬라이딩 블록 제한을 가진다.

2개의 다른 FEA 모델들은 요소(element) 형태들의 영향을 연구하기 위해 사용되곤 했다. 하나는 빔 모델이며 다른 하나는 셀(shell) 모델이다. 빔 모델에서 260 빔 요소들이 사용되었고 한편 셸 모델에서 지지 빔은 1800셀 요소를 통하여 이산화 됐다. 2가지 모델에 대하여 빔 교차면은 빔 길이에 대하여 직사각형이며 상수라고 여겨진다. 단일 지지 빔의 시뮬레이션된 특성 곡선(힘대 변위)을 그림 6에 보여준다.

예상한 것과 같이 2개의 모델은 거의 동일한 결과들을 보여 준다. 더욱이 경화(hardening) 거동은 명확하게 보여준다. 시험 구조의 비선형 거동을 평가하는 데 필요한 동적 시뮬 레이션의 속도 향상을 위해서 이 특성 곡선의 해석적 설명이 매우 유용하다. 따라서, 단일지지 빔의 시뮬레이트 된 특성 곡선은 3차원 다항식 관계를 통하여 근사화된 것을 식(1)과 같이 사용해왔다.

여기서 F는 탄성 반응력 또는 빔의 자유 끝단에 인가한 힘, x는 동일한 끝단에서의 변위, k1과 k3는 각각 선형과 2차원 강체 상수이다. 곡선 근사는 비선형 곡선맞춤(curvefitting) 알고리즘을 이용하여 수행했다. 그림 7은 근사 과정의 결과를 즉, 조정된 특성 곡선과 시뮬레이션 된 것이 거의 중첩됨을 보여준다. 지지하는 빔의 차원(폭, 높이, 길이)들의 변화를 가지고 수행하였으며, 따라서 이것은 강체 파라미터들의 빔의 차원들을 상관하는 데이터베이스 설정을 허용한다. 이 데이터베이스는 설계 상태에서 큰 관심이다. 예로서 그림 8은 어떻게 선형과 3 차원 강체 파라미터들이 증가하는 빔 폭에 대하여 변화하는가 를 보여준다. 결론적으로, 개발된 FEA 모델은 시험 구조의 고유 주파수 들을 결정하는 것을 허용해 왔으며, 높은 변위의 경우에서 디바이스 동적 거동의 시뮬레이션을 위해 사용된 선형과 입체 강체 파라미터 모두의 식별을 허용해왔다.

2. 카오스의 세계

버스타고 야외에 나가면 길가에 코스모스 꽃들이 가을을 장식하고 있다. 그런데 요 지음은 개량종 난쟁이 코스모스가 되어 우리 눈엔 바람에 흩날리던 예전의 키 큰 코스모스와는 운치가 좀 떨어지는 것 같다.

코스모스(cosmos)의 어원은 그리스어의 질서의 세계(orderly universe)라는 뜻 외에 또 하나의 뜻 장식(cosmetic)이라는 뜻에 그 뿌리를 두고 있다. 국화과에 속하는 코스모스는 아름다운 질서의 세계를 장식하는 가을의 상징적인 꽃이 되고 있다.

그런데 이렇게 아름다운 질서의 세계가 실은 무질서의 세계 즉 카오스에서 잉태된다는 것은 아이러니가 아닐 수 없다. 역시 그리스어에 뿌리를 둔 카오스(chaos)는 예측 불가능한 무질서의 세계(a state lacking order or predictability)로서 신학적으로는 창조주가 손을 대기전의 태초의 세계(initial state of universe)이다. 코스모스는 만물의 원형인 이 흙암속 무의 세계(original dark void from which everything else appeared)에서 만들어진 하나의 작품이다. 흙암의 카오스세계는 실은 요동(turbulence)속에서 자기조직화(self-organization)에 의한 새로운 작품, 새로운 질서를 마련하는 준비과정인 것이다. 새벽의 어두움은 머지않아 동이 트는 예명을 알리고 있는 것이다.

그런데 최근의 인공지능은 이러한 무질서의 세계에서 질서를 찾는 일에 도전하고 있다. 바로 카오스 이론(chaos theory)과의 융합에 의하여 지금까지 무질서로만 치부하여 오던 카오스라는 얽히고설킨 실타래를 풀어헤치는 작업이 시작된 것이다. 이것은 컴퓨터의 힘을 빌어 그 무한에 가까운 조작과정을 요하는 정보처리작업이 가능해졌기 때문이다.

변덕스러운 날씨를 비롯한 자연현상, 뇌파, 심장박동과 같은 인체의 신비, 경기변동과 같은 경제현상들은 예측을 불허하는 변화의 예들이다. 이와 같은 대표적인 카오스적(chaotic)변화의 본질에 대한 새로운 이해를 통하여 그 예측 내지 예방에 필요한 처방전을 찾는 작업에 서광이 비추기 시작한 것이다.

구체적인 예로서는 뇌파(EEG: encephalogram), 경기변동(business cycle)과 같이 시간변화에 따라 변화하는 1차원 세계의 신호정보를 보다 높은 차원인 예를 들어 3차원세계로 옮겨서 살펴 볼 수 있게 되었다. 즉 건축자제에 해당되는 1차원 신호데이터(dataset)를 가지고 매립차원(embedding dimension), 시간지연(time-delay)이라는 최적의 설계지침에 따라서 새로운 차원의 세계에서 재건축을 해 보는 것이다. 그렇게 되면 1차원세계에서 들어나지 않는 본질적인 모습 즉 카오스정보의 실타레를 풀어헤쳐 볼 수 있는 실마리를 찾게 된다. 말하자면 바둑에 있어서 어깨 너머로 보는 사람이 당사자보다 한수 위의 넓은 판세를 볼 수 있는 것과 같다.