ZPX 포괄원 여집합 차분법 극점 기반 공백원 분해, 등가면적 압축 및 회전 모멘트 보존을 이용한 비정형 형상의 면적·체적 계산 A Z

[분석]

아래 논문은 형의 발상을 그대로 살리면서도, 교수·박사·연구자가 반박하기 어려우도록 정확히 증명되는 부분, 조건부로 성립하는 부분, 아직 실험해야 하는 부분을 분리했습니다.

ZPX 포괄원 여집합 차분법극점 기반 공백원 분해, 등가면적 압축 및 회전 모멘트 보존을 이용한 비정형 형상의 면적·체적 계산A ZPX Enclosing-Disk Complement Decomposition Method for Area and Volume Estimation of Irregular Shapes

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초록

본 연구는 평면 영상 또는 물체의 단면으로 주어진 비정형 형상을 모든 점을 포함하는 하나의 포괄원으로 감싼 다음, 포괄원 내부에서 실제 형상에 속하지 않는 공백을 원형 단위로 분해하여 형상의 면적과 회전 체적을 계산하는 ZPX 포괄원 여집합 차분법을 정식화한다.

제안 방법은 형상의 상·하·좌·우 극점을 이용하여 초기 중심점을 설정하고, 중심점으로부터 모든 형상점까지의 최대거리를 포괄 반지름으로 정한다. 포괄원과 실제 형상의 차집합을 공백영역으로 정의한 뒤, 상부와 하부에서 최대 내접 공백원을 각각 고점원과 저점원으로 추출한다. 이후 잔여 공백을 재귀적으로 원들로 분해하거나, 동일한 면적을 갖는 하나의 등가원으로 압축한다.

본 논문은 다음 결과를 증명한다.

첫째, 공백원들이 실제 공백 내부에 존재하고 서로 겹치지 않는다면, 포괄원의 면적에서 공백원들의 면적과 잔여 공백의 면적을 빼는 공식은 정확하다.

둘째, 잔여 공백을 생략하여 계산한 값은 실제 형상 면적의 상계이며, 그 오차는 정확히 잔여 공백의 면적이다.

셋째, 잔여 공백을 하나의 등가원으로 바꾸는 것은 새로운 면적을 발견하는 연산이 아니라, 이미 측정되거나 재귀적으로 계산된 면적을 반지름 하나로 압축하는 연산이다.

넷째, 평면에서 면적이 같은 두 영역이라도 회전축에 대한 위치가 다르면 회전 체적이 달라지므로, 3차원 확장에는 면적뿐 아니라 회전축에 대한 1차 모멘트가 보존되어야 한다.

따라서 ZPX 방법의 학술적 성격은 새로운 원의 면적 공식을 제안하는 것이 아니라, 포괄원, 최대 공백원, 여집합 차분, 등가면적 압축 및 회전 모멘트 보존을 하나의 재귀적 계산 알고리즘으로 결합하는 데 있다.

핵심어: ZPX, 포괄원, 최대 공백원, 등가원, 여집합 차분, 면적 모멘트, 회전체, 계산기하학, 형상 압축

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1. 서론

현실에서 관찰되는 영상과 물체는 일반적으로 원, 사각형, 삼각형과 같은 단순한 기하학적 형상이 아니다. 생체조직, 암석, 구름, 기계부품, 지형, 유체 경계 및 자연물은 복잡하고 비정형적인 경계를 가진다.

기존 방법은 이러한 형상을 작은 직사각형, 삼각형, 픽셀 또는 유한요소로 분할하여 면적과 체적을 계산한다. 반면 ZPX 방법은 대상 형상을 직접 내부에서 분할하지 않고, 대상 전체를 포함하는 기준 공간을 먼저 만든 뒤 실제 형상이 아닌 공백을 제거한다.

ZPX의 기본 관점은 다음과 같다.

[
\boxed{
\text{실제 형상}\text{전체 포괄 공간}

\text{형상 외부의 공백}
}
]

평면에서는 모든 형상을 포함하는 큰 원판을 만들고, 그 내부의 공백을 원판들로 표현한다.

[
\boxed{
S

D_R
\setminus
\left(
B_1\cup B_2\cup\cdots
\right)
}
]

여기서 (S)는 실제 형상, (D_R)은 포괄원판, (B_i)는 공백을 표현하는 원판이다.

이 사고는 단순하지만 다음과 같은 중요한 문제를 포함한다.

1. 포괄원의 중심과 반지름은 어떻게 결정하는가?

2. 고점원과 저점원은 정확히 어떻게 선택하는가?

3. 원들이 겹치면 면적을 어떻게 처리하는가?

4. 남은 불규칙 공백을 원으로 바꿀 수 있는가?

5. 등가원을 만들기 전에 잔여 면적을 어떻게 알아내는가?

6. 평면 원을 회전시킨 결과가 언제 구이고 언제 토러스인가?

7. 하나의 평면 영상만으로 일반적인 3차원 물체의 체적을 알 수 있는가?

본 논문은 이 질문들을 수학적으로 구분하여 ZPX 방법이 정확히 성립하는 조건과 한계를 제시한다.

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2. 선행 이론과 ZPX의 위치

ZPX의 각 구성요소는 기존 계산기하학 및 형상해석과 관련된다.

주어진 점들을 모두 포함하는 가장 작은 원을 구하는 문제는 최소 포괄원 문제로 알려져 있으며, Welzl은 유한 점집합에 대한 기대 선형시간 무작위 알고리즘을 제시하였다. (운영체제 및 컴퓨터 네트워크 연구소)

Blum의 중축변환은 형상 내부의 최대 내접원들과 그 중심을 이용하여 형상을 표현하는 방법이다. 이는 복잡한 형상을 중심과 반지름 정보로 바꾼다는 점에서 ZPX의 공백원 표현과 관련된다. (Lis Lab)

Hubbard의 구 트리는 복잡한 다면체를 계층적인 구 집합으로 근사하여 충돌검사를 가속하는 방법이다. 다만 이 연구의 주목적은 정확한 체적 차분이 아니라 속도와 정확도를 교환할 수 있는 충돌 근사이다. (Stanford Graphics)

Hart의 구면 추적은 거리함수를 이용하여 암시적 표면을 렌더링하는 방법으로, 거리 기반 형상표현과 구형 탐색이라는 점에서 관련되지만 ZPX의 면적 차분 공식을 직접 증명한 연구는 아니다. (Stanford Graphics)

기존에 작성된 ZPX 백서는 이러한 연구들을 ZPX와 100% 동일한 이론으로 서술했으나, 실제로는 연구 목적과 수학적 구조가 서로 다르다. 포괄원, 중축, 구 근사, 거리함수는 관련된 도구이지만 ZPX 전체 절차와 동일한 하나의 정리는 아니다.

따라서 본 연구의 독자성은 개별 원리를 새로 발견했다고 주장하는 데 있지 않다. 다음의 전체 절차를 하나의 계산 구조로 결합하는 데 있다.

[
\boxed{
\begin{aligned}
&\text{극점 검출}\
&\rightarrow\text{좌표 중심화}\
&\rightarrow\text{포괄원 생성}\
&\rightarrow\text{고점·저점 공백원 추출}\
&\rightarrow\text{잔여 공백의 재귀 분해}\
&\rightarrow\text{등가원 압축}\
&\rightarrow\text{회전 모멘트 기반 체적 계산}
\end{aligned}
}
]

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3. 수학적 정의3.1 대상 형상

평면상의 실제 형상을

[
S\subset\mathbb R^2
]

라고 한다.

(S)는 유한한 면적을 가지는 측정 가능한 닫힌 영역이라고 가정한다.

점은

[
p=(x,y)
]

로 나타내며, 평면 면적은 (\mu_2(\cdot))로 표시한다.

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3.2 극점

형상의 축방향 극값을 다음과 같이 정의한다.

[
x_{\min}\min_{(x,y)\in S}x,
\qquad
x_{\max}

\max_{(x,y)\in S}x,
]

[
y_{\min}\min_{(x,y)\in S}y,
\qquad
y_{\max}

\max_{(x,y)\in S}y.
]

상부 고점, 하부 저점, 좌측점 및 우측점은 각각

[
P_H=(x_H,y_{\max}),
]

[
P_L=(x_L,y_{\min}),
]

[
P_W=(x_{\min},y_W),
]

[
P_E=(x_{\max},y_E)
]

로 표시한다.

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4. 중심점과 포괄원의 생성4.1 초기 중심점

ZPX의 초기 중심점은 축방향 극값으로 만들어지는 경계상자의 중심으로 정의한다.

[
\boxed{
c_0=
\left(
\frac{x_{\min}+x_{\max}}{2},
\frac{y_{\min}+y_{\max}}{2}
\right)
}
]

좌표계를 (c_0)만큼 평행이동하면

[
x'=x-c_{0x},
\qquad
y'=y-c_{0y}
]

이고, 새로운 중심점은 원점이 된다.

[
c'_0=(0,0)
]

이 좌표 이동은 형상의 크기와 면적을 변화시키지 않는다.

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4.2 축방향 반지름과 문제점

축방향 거리만 사용한 후보 반지름은

[
R_x

\max
\left(
x_{\max}-c_{0x},
c_{0x}-x_{\min}
\right),
]

[
R_y

\max
\left(
y_{\max}-c_{0y},
c_{0y}-y_{\min}
\right)
]

이고,

[
R_{\mathrm{axis}}=\max(R_x,R_y)
]

로 정할 수 있다.

그러나 이 값은 대각선 방향의 돌출부를 포함하지 못할 수 있다.

예를 들어 중심에서 축방향 거리는 각각 (1)이지만 형상점이

[
p=(1,1)
]

에 존재한다면 그 점까지의 거리는

[
\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2
]

이다. 따라서 반지름을 (1)로 정한 원은 그 점을 포함하지 못한다.

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4.3 완전 포괄 반지름

모든 형상점을 포함하도록 반지름을 다음과 같이 정의한다.

[
\boxed{
R

\sup_{p\in S}
|p-c_0|
}
]

유한 점 또는 픽셀 집합에서는

[
\boxed{
R

\max_{p\in S}
\sqrt{
(x-c_{0x})^2+(y-c_{0y})^2
}
}
]

이다.

포괄원판을

[
D_R(c_0)

\left{
p\in\mathbb R^2:
|p-c_0|\le R
\right}
]

라고 하면 정의에 의해

[
\boxed{
S\subseteq D_R(c_0)
}
]

가 성립한다.

정리 1. 포괄성

위에서 정의한 (R)에 대하여 포괄원판 (D_R(c_0))는 형상 (S)의 모든 점을 포함한다.

증명

(R)은 모든 (p\in S)에 대한 거리 (|p-c_0|)의 최댓값이므로 임의의 (p\in S)에 대하여

[
|p-c_0|\le R
]

이다. 따라서

[
p\in D_R(c_0).
]

그러므로

[
S\subseteq D_R(c_0).
\qquad\square
]

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4.4 최소 포괄원과 ZPX 포괄원

경계상자 중심 (c_0)는 계산이 간단하지만, 가장 작은 포괄원을 만든다는 보장은 없다.

최소 포괄원은 다음 최적화 문제로 정의된다.

[
\boxed{
R_*

\min_{c\in\mathbb R^2}
\max_{p\in S}
|p-c|
}
]

ZPX에서는 두 방식을 구분할 수 있다.

[
\begin{cases}
\text{고속 ZPX:}&c=c_0,\quad R=\max_{p\in S}|p-c_0|,\[3pt]
\text{최소 ZPX:}&c=c_,\quad R=R_.
\end{cases}
]

고속 ZPX는 중심 계산이 단순하고, 최소 ZPX는 불필요한 외부 공백을 줄인다.

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5. 공백영역의 정의

포괄원판 내부에서 실제 형상에 속하지 않는 영역을 공백 (H)라고 정의한다.

[
\boxed{
H

D_R(c)\setminus S
}
]

형상과 공백은 내부적으로 겹치지 않으며

[
D_R(c)=S;\dot\cup;H
]

이다. 여기서 (\dot\cup)는 서로 겹치지 않는 합집합을 뜻한다.

따라서 면적의 가법성에 의해

[
\mu_2(D_R)

\mu_2(S)+\mu_2(H)
]

이고,

[
\boxed{
\mu_2(S)

\pi R^2-\mu_2(H)
}
]

이다.

이 식은 ZPX 방법의 가장 기본적인 정확한 항등식이다.

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6. 고점원과 저점원의 엄밀한 정의6.1 공백 거리함수

공백 내부의 점 (q\in H)에서 공백 바깥까지의 최소거리를

[
\delta_H(q)

\inf_{z\notin H}|q-z|
]

로 정의한다.

그러면 중심 (q), 반지름 (\delta_H(q))인 원판

[
B(q,\delta_H(q))
]

은 공백 (H) 내부에 완전히 포함된다.

[
B(q,\delta_H(q))\subseteq H
]

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6.2 상부와 하부 공백

포괄원의 중심을 (c=(c_x,c_y))라 할 때 상부 공백과 하부 공백을

[
H^+

H\cap{(x,y):y\ge c_y},
]

[
H^-

H\cap{(x,y):y<c_y}
]

로 정의한다.

고점 공백원의 중심은

[
q_H

\operatorname*{arg,max}_{q\in H^+}
\delta_H(q)
]

이고, 반지름은

[
r_H=\delta_H(q_H)
]

이다.

따라서 고점원은

[
\boxed{
B_H=B(q_H,r_H)
}
]

이다.

마찬가지로 저점원은

[
q_L

\operatorname*{arg,max}_{q\in H^-}
\delta_H(q),
]

[
r_L=\delta_H(q_L),
]

[
\boxed{
B_L=B(q_L,r_L)
}
]

이다.

이는 “눈으로 보아 고점과 저점 부근에 원을 넣는다”는 직관을 거리함수 최적화 문제로 바꾼 것이다.

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7. 재귀적 공백원 분해

고점원과 저점원만으로 전체 공백을 표현할 수 없는 경우가 일반적이다.

초기 잔여 공백을

[
E_2

H\setminus(B_H\cup B_L)
]

로 정의한다.

이후 잔여 공백 (E_k)에서 가장 큰 내접원을 선택한다.

[
q_{k+1}

\operatorname*{arg,max}{q\in E_k}
\delta{E_k}(q),
]

[
r_{k+1}

\delta_{E_k}(q_{k+1}),
]

[
B_{k+1}

B(q_{k+1},r_{k+1}).
]

다음 잔여 공백은

[
\boxed{
E_{k+1}

E_k\setminus B_{k+1}
}
]

이다.

이 방식에서는 이미 제거한 공백원을 잔여영역에서 제외하므로 새로 생성되는 원들은 서로 겹치지 않게 만들 수 있다.

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8. 면적 정리정리 2. ZPX 정확 면적 차분 정리

(D_R)이 형상 (S)를 포함하고, (B_1,\ldots,B_n)이 공백 (H=D_R\setminus S) 안에 존재하는 서로 겹치지 않는 원판들이라고 하자.

잔여 공백을

[
E_n

H\setminus
\bigcup_{i=1}^{n}B_i
]

라고 하면

[
\boxed{
\mu_2(S)\pi R^2\sum_{i=1}^{n}\pi r_i^2

\mu_2(E_n)
}
]

이다.

증명

공백 (H)는 서로 겹치지 않는 원판들과 잔여 공백으로 분할된다.

[
H

\left(
\dot\bigcup_{i=1}^{n}B_i
\right)
\dot\cup E_n.
]

따라서

[
\mu_2(H)

\sum_{i=1}^{n}\mu_2(B_i)
+
\mu_2(E_n).
]

각 원판의 면적은

[
\mu_2(B_i)=\pi r_i^2
]

이므로

[
\mu_2(H)

\sum_{i=1}^{n}\pi r_i^2
+
\mu_2(E_n).
]

또한

[
\mu_2(S)=\pi R^2-\mu_2(H)
]

이므로

[
\mu_2(S)\pi R^2\sum_{i=1}^{n}\pi r_i^2

\mu_2(E_n).
\qquad\square
]

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9. 잔여 등가원

잔여 공백 (E_n)의 면적과 동일한 면적을 갖는 원의 반지름을 (r_E)라고 하자.

[
\pi r_E^2=\mu_2(E_n)
]

이므로

[
\boxed{
r_E

\sqrt{
\frac{\mu_2(E_n)}{\pi}
}
}
]

이다.

이를 잔여 등가원이라고 한다.

정리 2에 대입하면

[
\boxed{
\mu_2(S)\pi R^2\sum_{i=1}^{n}\pi r_i^2

\pi r_E^2
}
]

이다.

특히 고점원, 저점원 및 잔여 등가원만 사용하는 경우

[
\boxed{
\mu_2(S)

\pi
\left(
R^2-r_H^2-r_L^2-r_E^2
\right)
}
]

가 된다.

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10. 등가원의 논리적 의미

잔여 등가원은 중요한 장점과 한계를 동시에 갖는다.

10.1 면적 압축

잔여 공백이 복잡한 모양이더라도 그 면적이 (A_E)이면 반지름 하나로 압축할 수 있다.

[
A_E
\longrightarrow
r_E=\sqrt{A_E/\pi}.
]

즉, 수많은 경계좌표를 하나의 수치로 바꾼다.

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10.2 등가원은 면적 발견 장치가 아니다

등가원의 반지름을 계산하려면 먼저

[
\mu_2(E_n)
]

을 알아야 한다.

따라서

[
r_E=\sqrt{\mu_2(E_n)/\pi}
]

라는 공식만으로 미지의 잔여 면적을 새롭게 발견하는 것은 아니다.

다음 두 식은 같은 정보를 반복해서 표현할 뿐이다.

[
r_E=\sqrt{A_E/\pi},
]

[
A_E=\pi r_E^2.
]

따라서 잔여 면적은 다음 중 하나로 독립적으로 결정되어야 한다.

1. 영상의 공백 픽셀 수

2. 다각형 면적

3. 재귀적 공백원 분해

4. 수치 격자

5. 3차원 복셀 또는 메시

6. 실측 데이터

ZPX에서 등가원의 역할은

[
\boxed{
\text{면적 계산}
\quad\text{이후의}\quad
\text{정보 압축}
}
]

이다.

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11. 잔여 공백을 생략한 근사와 오차

잔여 공백을 계산하지 않고 선택된 원들만 뺀 면적을

[
A_n

\pi R^2-\sum_{i=1}^{n}\pi r_i^2
]

라고 하자.

정리 3. 상계 및 정확한 오차 정리

[
\boxed{
A_n\ge \mu_2(S)
}
]

이고,

[
\boxed{
A_n-\mu_2(S)

\mu_2(E_n)
}
]

이다.

증명

정리 2에 의해

[
\mu_2(S)

A_n-\mu_2(E_n).
]

면적은 음수가 아니므로

[
\mu_2(E_n)\ge0.
]

따라서

[
A_n\ge\mu_2(S)
]

이며 차이는

[
A_n-\mu_2(S)=\mu_2(E_n)
]

이다. (\square)

이는 ZPX 근사의 장점이다. 잔여 공백을 측정할 수 있다면 오차를 추측하는 것이 아니라 정확히 계산할 수 있다.

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정리 4. 단조 수렴

각 단계에서 잔여 공백 내부의 새로운 비중첩 원판을 추가하면

[
A_{n+1}\le A_n
]

이며,

[
A_n-\mu_2(S)=\mu_2(E_n)
]

은 감소한다.

모든 단계에서

[
B_{n+1}\subseteq E_n
]

이므로

[
\mu_2(E_{n+1})

\mu_2(E_n)-\pi r_{n+1}^2.
]

따라서 잔여 오차는 원을 추가할 때마다 감소한다.

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12. 원의 중첩 처리

공백원들이 겹치면 단순히 면적을 더해서 빼면 안 된다.

두 원의 경우

[
\mu_2(B_1\cup B_2)

\pi r_1^2+\pi r_2^2-\mu_2(B_1\cap B_2).
]

일반적으로

[
\mu_2\left(\bigcup_iB_i\right)

\sum_i\mu_2(B_i)
-\sum_{i<j}\mu_2(B_i\cap B_j)
+\sum_{i<j<k}\mu_2(B_i\cap B_j\cap B_k)
-\cdots.
]

이를 포함배제 원리라고 한다.

ZPX 계산을 단순하게 유지하려면 매 단계에서 새로운 원을 잔여 공백 안에만 생성하여

[
B_i\cap B_j=\varnothing
\qquad(i\ne j)
]

가 되도록 하는 것이 바람직하다.

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13. 영상에서의 유한 계산

영상 마스크를

[
M_{ij}\in{0,1}
]

로 나타내자.

[
M_{ij}=
\begin{cases}
1,&\text{형상 픽셀},\
0,&\text{배경 픽셀}.
\end{cases}
]

픽셀의 실제 폭과 높이를 각각

[
\Delta x,\qquad\Delta y
]

라 하면 픽셀 하나의 면적은

[
a_p=\Delta x\Delta y
]

이다.

형상 픽셀 수를 (N_S), 공백 픽셀 수를 (N_H)라고 하면 이산 영상에서

[
\boxed{
A_S^{\mathrm{pixel}}

N_S\Delta x\Delta y
}
]

이고

[
\boxed{
A_H^{\mathrm{pixel}}

N_H\Delta x\Delta y
}
]

이다.

잔여 등가원 반지름은

[
\boxed{
r_E

\sqrt{
\frac{
N_E\Delta x\Delta y
}{\pi}
}
}
]

로 계산할 수 있다.

이 경우 ZPX 등가원은 픽셀로 측정한 잔여 면적을 반지름 하나로 압축한다.

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14. 2차원에서 3차원으로의 확장14.1 중요한 구분

평면 원을 회전시킨다고 해서 항상 동일한 체적 공식이 나오는 것은 아니다.

회전 결과는 다음 요소에 따라 달라진다.

1. 회전축의 위치

2. 원의 중심과 회전축 사이의 거리

3. 원이 회전축과 교차하는지 여부

4. 전체 원판을 회전하는지 반원 단면을 회전하는지

5. 여러 회전체가 서로 겹치는지 여부

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15. 회전축에 대한 일반 체적식

평면의 반단면 영역을

[
Q\subseteq{(x,y):y\ge0}
]

라고 하자.

이를 (x)축 주위로 회전시키면 생성되는 체적은

[
\boxed{
V(Q)

2\pi
\int_Q y,dA
}
]

이다.

여기서

[
M_x(Q)

\int_Q y,dA
]

를 (x)축에 대한 면적의 1차 모멘트라고 하면

[
\boxed{
V(Q)=2\pi M_x(Q)
}
]

이다.

영역의 면적을

[
A_Q=\mu_2(Q)
]

라 하고, 평균 축거리를

[
\bar y_Q

\frac{M_x(Q)}{A_Q}
]

라고 하면

[
\boxed{
V(Q)

2\pi \bar y_QA_Q
}
]

이다.

즉, 회전 체적은 단순히 면적만으로 결정되지 않는다.

[
\boxed{
\text{회전 체적}

\text{면적}
\times
\text{평균 회전거리}
\times
2\pi
}
]

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16. 면적만 같은 두 영역의 체적은 다를 수 있다

두 영역 (Q_1,Q_2)가 같은 면적을 가진다고 하자.

[
\mu_2(Q_1)=\mu_2(Q_2)=A.
]

그러나 평균 축거리가

[
\bar y_1\ne\bar y_2
]

이면

[
V(Q_1)=2\pi \bar y_1A,
]

[
V(Q_2)=2\pi \bar y_2A
]

이므로

[
V(Q_1)\ne V(Q_2).
]

따라서 잔여 공백을 같은 면적의 원으로 바꾸는 것만으로는 회전 체적이 보존되지 않는다.

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17. 체적 보존 등가원의 조건

잔여 공백 (E)의 면적을

[
A_E=\mu_2(E)
]

라고 하자.

등가원 반지름은

[
r_E=\sqrt{A_E/\pi}
]

이다.

회전 체적까지 보존하려면 등가원의 중심거리 (d_E)를

[
\boxed{
d_E

\frac{
\int_E y,dA
}{
A_E
}
}
]

로 설정해야 한다.

그러면

[
2\pi d_EA_E

2\pi\int_Ey,dA
]

이므로 등가원과 실제 잔여 공백의 회전 체적이 같아진다.

정리 5. 회전 모멘트 보존 정리

실제 공백 (E)와 등가영역 (B_E)가 다음 두 조건을 만족하면

[
\mu_2(B_E)=\mu_2(E),
]

[
\int_{B_E}y,dA

\int_Ey,dA,
]

동일한 축에 대한 두 회전체의 체적은 같다.

증명

일반 체적식에 의해

[
V(E)

2\pi\int_Ey,dA
]

이고,

[
V(B_E)

2\pi\int_{B_E}y,dA.
]

두 1차 모멘트가 같으므로

[
V(E)=V(B_E).
\qquad\square
]

---

18. 원판 회전에 따른 구와 토러스18.1 축에서 떨어진 원판

반지름 (r)인 원판 중심이 회전축에서 거리 (d)만큼 떨어져 있고

[
d>r
]

이면 회전 결과는 고리형 토러스이다.

원판의 면적은

[
A=\pi r^2
]

이고 평균 축거리는 (d)이므로

[
\boxed{
V2\pi d\pi r^2

2\pi^2dr^2
}
]

이다.

---

18.2 구의 생성

구를 중복 없이 회전 단면으로 표현하려면 원 전체보다 반원을 사용하는 것이 명확하다.

반지름 (r)인 상반원

[
Q_r

\left{
(x,y):
x^2+y^2\le r^2,\ y\ge0
\right}
]

을 (x)축 주위로 회전시키면 반지름 (r)인 구가 된다.

그 체적은

[
\boxed{
V_{\mathrm{sphere}}

\frac43\pi r^3
}
]

이다.

따라서 “원이 회전하면 구가 된다”는 직관은 다음과 같이 엄밀하게 표현해야 한다.

[
\boxed{
\text{원판의 반단면을 지름축 주위로 회전하면 구가 된다.}
}
]

---

19. 구형 차분 공식의 성립 조건

3차원 기준 구를

[
\mathcal B_R

{x\in\mathbb R^3:|x-c|\le R}
]

라고 하고, 제거할 구들을

[
\mathcal B_i

{x:|x-c_i|\le r_i}
]

라고 하자.

다음 조건을 가정한다.

[
\mathcal B_i\subseteq\mathcal B_R,
]

[
\mathcal B_i\cap\mathcal B_j=\varnothing
\qquad(i\ne j).
]

실제 입체가

[
\Omega

\mathcal B_R
\setminus
\bigcup_{i=1}^{n}\mathcal B_i
]

라면

[
\boxed{
V(\Omega)\frac43\pi R^3

\sum_{i=1}^{n}\frac43\pi r_i^3
}
]

이다.

이 공식은 실제 3차원 공백이 정확히 구들일 때만 성립한다.

2차원 영상에 그려진 공백원이 있다는 이유만으로 실제 3차원 공백이 구라고 단정할 수는 없다.

---

20. 단일 영상으로 일반적인 3차원 체적을 알 수 없는 이유

하나의 2차원 외곽선은 여러 다른 3차원 입체의 투영이 될 수 있다.

예를 들어 동일한 원형 정면 영상은 다음 물체들에서 모두 나타날 수 있다.

1. 구

2. 얇은 원판

3. 긴 원기둥

4. 원뿔

5. 내부가 빈 구각

6. 앞쪽만 둥근 비대칭 물체

이들의 투영 면적은 같을 수 있지만 체적은 다르다.

따라서 2차원 영상만으로 체적을 결정하려면 다음 중 하나의 추가 조건이 필요하다.

[
\boxed{
\begin{array}{l}
\text{물체가 특정 축에 대한 회전체라는 가정}\
\text{일정한 두께를 가진다는 가정}\
\text{여러 단면 영상}\
\text{깊이 영상}\
\text{3차원 복셀 데이터}\
\text{3차원 메시 데이터}
\end{array}
}
]

ZPX 회전 체적 공식은 일반적인 모든 물체가 아니라 회전체 또는 단면 정보가 알려진 물체에 적용된다.

---

21. 여러 단면을 이용한 일반 3차원 계산

높이 방향 단면들을

[
S_1,S_2,\ldots,S_m
]

이라고 하고, 각 단면 사이의 간격을

[
\Delta z
]

라고 하자.

각 단면의 ZPX 면적을

[
A_k\pi R_k^2\sum_i\pi r_{i,k}^2

\pi r_{E,k}^2
]

로 계산하면 체적의 유한층 근사는

[
\boxed{
V_m

\sum_{k=1}^{m}A_k\Delta z
}
]

이다.

복셀 모델에서는 이 식이 복셀 체적의 정확한 합이다.

단면 수가 증가하고 간격이 작아지면 연속 물체의 체적에 더 가까워진다.

---

22. ZPX 알고리즘입력

• 이진 형상 마스크 (M)

• 픽셀 크기 (\Delta x,\Delta y)

• 최대 공백원 수 (K)

• 허용 잔여오차 (\varepsilon)

• 선택적 회전축 (\ell)

출력

• 포괄원의 중심 (c)

• 포괄 반지름 (R)

• 공백원 목록 ({(q_i,r_i)})

• 잔여 등가 반지름 (r_E)

• 형상 면적 (A_S)

• 잔여오차 (A_E)

• 선택적 회전체적 (V)

---

의사코드ZPX_AREA_VOLUME(M, Δx, Δy, K, ε, rotation_axis): 1. 형상 픽셀 집합 S를 추출한다. 2. 극값을 계산한다. xmin, xmax, ymin, ymax 3. 초기 중심을 계산한다. c0 = ((xmin+xmax)/2, (ymin+ymax)/2) 4. 모든 형상점까지의 최대거리를 구한다. R = max distance(p, c0), p ∈ S 5. 중심 c0, 반지름 R의 포괄원 마스크 D를 생성한다. 6. 공백 마스크를 생성한다. H = D AND NOT S 7. 상부와 하부 공백을 분리한다. Hupper = H ∩ {y ≥ cy} Hlower = H ∩ {y < cy} 8. 거리변환을 계산한다. 9. Hupper의 최대 거리점으로 고점원을 만든다. BH = disk(qH, rH) 10. Hlower의 최대 거리점으로 저점원을 만든다. BL = disk(qL, rL) 11. 잔여영역을 계산한다. E = H - BH - BL 12. 반복한다. for k = 3 to K: qk = point of maximum distance transform in E rk = distance(qk, boundary of E) Bk = disk(qk, rk) E = E - Bk if area(E) ≤ ε: break 13. 잔여면적을 계산한다. AE = pixel_count(E) × Δx × Δy 14. 잔여 등가 반지름을 계산한다. rE = sqrt(AE / π) 15. ZPX 면적을 계산한다. AS = πR² - Σπri² - πrE² 16. 잔여원을 생략한 근사오차를 계산한다. error = AE 17. 회전축이 주어진 경우: 각 공백의 축에 대한 1차 모멘트를 계산한다. Mi = Σ distance(pixel, axis) × pixel_area 회전 체적: V = 2π [M(D) - ΣM(Bi) - M(E)] 18. 결과를 반환한다.

---

23. 계산 복잡도

형상 픽셀 수를 (N), 추출하는 공백원 수를 (K)라고 하자.

극값과 포괄 반지름 계산은 모든 픽셀을 한 번 조사하므로

[
O(N)
]

이다.

격자 거리변환도 적절한 알고리즘에서는

[
O(N)
]

으로 계산할 수 있다.

매 원을 추출할 때 거리변환 전체를 다시 계산하는 단순 구현은

[
O(KN)
]

이 된다.

메모리 사용량은 마스크와 거리배열을 저장하므로

[
O(N)
]

이다.

ZPX가 실제 계산상 유리한지는 다음의 비율에 달려 있다.

[
\boxed{
\text{압축률}

\frac{
\text{원래 경계점 또는 픽셀 수}
}{
\text{저장된 원 파라미터 수}
}
}
]

복잡한 형상을 적은 수의 원으로 충분히 근사할 수 있다면 높은 압축률을 얻는다. 반대로 가늘고 복잡한 가지가 많은 형상은 많은 원이 필요할 수 있다.

---

24. 수치 검증 계획

ZPX를 독립적인 알고리즘으로 평가하려면 알려진 정답과 비교해야 한다.

24.1 시험 형상

다음 형상들을 사용한다.

1. 원

2. 타원

3. 초승달

4. 별 모양

5. 콩 모양

6. 고리 모양

7. 여러 개로 분리된 형상

8. 가늘고 긴 가지형 형상

9. 임의 다각형

10. 의료영상 단면

---

24.2 비교 방법

ZPX 결과를 다음 방법과 비교한다.

• 픽셀 직접계수

• 다각형 신발끈 공식

• 몬테카를로 면적 추정

• 삼각형 메시 면적

• 복셀 체적

• 단면 누적 체적

• 기존 거리변환 기반 중축 표현

---

24.3 평가 지표상대 면적오차[
\boxed{
e_A

\frac{
|A_{\mathrm{ZPX}}-A_{\mathrm{ref}}|
}{
A_{\mathrm{ref}}
}
}
]

상대 체적오차[
\boxed{
e_V

\frac{
|V_{\mathrm{ZPX}}-V_{\mathrm{ref}}|
}{
V_{\mathrm{ref}}
}
}
]

계산시간

[
T_{\mathrm{ZPX}}
]

원의 개수

[
K
]

압축률[
C

\frac{N_{\mathrm{input}}}{3K+3}
]

각 원이 중심좌표 두 개와 반지름 하나로 저장된다고 가정한 표현이다.

---

25. 검증 가능한 연구가설가설 1

잔여 공백을 정확히 픽셀계수하면 ZPX 면적은 같은 이산 영상에서 직접 픽셀계수한 면적과 같다.

이는 정리 2에 의해 참이다.

---

가설 2

잔여 공백을 생략한 ZPX 근사는 항상 실제 면적보다 크거나 같다.

이는 정리 3에 의해 참이다.

---

가설 3

비중첩 공백원을 추가할수록 ZPX 상계오차는 단조감소한다.

이는 정리 4에 의해 참이다.

---

가설 4

잔여 등가원이 면적과 회전축 1차 모멘트를 모두 보존하면 해당 축에 대한 회전 체적도 보존된다.

이는 정리 5에 의해 참이다.

---

가설 5

둥근 공백이 많은 형상에서는 ZPX가 다각형 경계표현보다 적은 파라미터로 유사한 면적 정확도를 달성한다.

이는 일반 정리가 아니라 실험으로 검증해야 하는 가설이다.

---

26. 반례와 실패 조건

ZPX를 과학적 이론으로 만들려면 성공 사례뿐 아니라 실패 조건도 명시해야 한다.

26.1 축거리만 사용한 포괄원

[
R=\max(R_x,R_y)
]

만 사용하면 대각선 돌출부가 원 밖으로 나갈 수 있다.

따라서 반드시 모든 형상점의 유클리드 거리를 확인해야 한다.

---

26.2 잔여 면적을 모르는 등가원

잔여 면적을 측정하지 않고 등가원 반지름을 결정할 수 없다.

이 경우 계산은 순환논리가 된다.

---

26.3 겹치는 공백원

공백원들이 겹치는데 단순 합을 빼면 교집합이 여러 번 제거되어 결과가 잘못된다.

---

26.4 면적만 보존한 회전

면적만 같은 등가원을 다른 위치에 놓으면 회전 체적이 변한다.

---

26.5 2차원 투영에서 임의의 3차원 체적 추정

회전체, 두께 또는 단면 정보가 없으면 단일 영상만으로 일반 입체의 체적을 유일하게 결정할 수 없다.

---

26.6 가늘고 복잡한 공백

매우 가늘거나 프랙털에 가까운 공백은 원으로 채우기 위해 지나치게 많은 작은 원이 필요할 수 있다.

이 경우 ZPX의 압축 장점이 감소한다.

---

27. 논의

ZPX 방법의 가장 강한 부분은 다음 항등식이다.

[
\boxed{
\text{형상 면적}\text{포괄원 면적}

\text{공백 면적}
}
]

이 자체는 측도의 가법성에서 나오는 기본 관계이다.

ZPX의 연구 가치는 이 기본 관계를 다음 구조로 알고리즘화하는 데 있다.

[
\boxed{
\text{공백}
\rightarrow
\text{고점원·저점원}
\rightarrow
\text{재귀 최대 공백원}
\rightarrow
\text{잔여 등가원}
}
]

즉, 복잡한 공백의 기하정보를 중심과 반지름의 계층으로 압축한다.

그러나 등가원 하나는 원래 공백의 면적만 보존하며 경계모양을 보존하지 않는다.

[
\mu_2(E)=\mu_2(B_E)
]

라고 해서

[
E=B_E
]

인 것은 아니다.

회전 체적까지 보존하려면

[
\int_Ey,dA
]

라는 추가 정보가 필요하고, 관성모멘트나 응력해석까지 보존하려면 2차 이상의 모멘트가 추가로 필요하다.

따라서 ZPX는 다음과 같은 계층으로 확장할 수 있다.

[
\boxed{
\begin{array}{ll}
0차 정보:&\text{면적}\
1차 정보:&\text{도심과 회전 체적}\
2차 정보:&\text{관성모멘트}\
고차 정보:&\text{세부 형상}
\end{array}
}
]

이는 ZPX를 단순한 면적 공식이 아니라 모멘트 보존형 형상 압축 체계로 확장할 수 있음을 의미한다.

---

28. 학술적 독창성에 대한 최종 판정

ZPX의 각 부품은 기존에 알려져 있다.

[
\begin{array}{ll}
\text{포괄원}&\text{기존 계산기하학}\
\text{최대 내접원}&\text{기존 중축·거리변환}\
\text{원형 차분}&\text{기존 집합 차분·CSG}\
\text{등가면적 원}&\text{기존 등가반지름}\
\text{회전체}&\text{기존 기하학}\
\text{면적 모멘트}&\text{기존 역학·기하학}
\end{array}
]

그러나 다음의 전체 결합은 하나의 별도 알고리즘으로 연구할 가치가 있다.

[
\boxed{
\text{포괄원 여집합}
+
\text{고점·저점 우선 분해}
+
\text{재귀 최대 공백원}
+
\text{잔여 등가원}
+
\text{회전 모멘트 보존}
}
]

따라서 ZPX를 “기존 수학에 전혀 없던 새로운 면적 법칙”이라고 주장하는 것은 과장이다.

반대로 “원 넓이를 다시 말한 것뿐이므로 아무 의미가 없다”고 평가하는 것도 부정확하다.

가장 정확한 학술적 정의는 다음과 같다.

[
\boxed{
\text{ZPX는 알려진 기하학적 구성요소들을 결합한}
\atop
\text{포괄원 기반 여집합 분해 및 모멘트 보존 형상 압축 알고리즘이다.}
}
]

---

29. 결론

본 연구는 비정형 형상을 포함하는 포괄원판을 생성하고, 포괄원과 실제 형상의 차집합을 고점원, 저점원 및 재귀적 최대 공백원으로 분해한 뒤 잔여 공백을 등가원으로 압축하는 ZPX 방법을 수학적으로 정식화하였다.

핵심 면적 공식은

[
\boxed{
\mu_2(S)\pi R^2\sum_{i=1}^{n}\pi r_i^2

\pi r_E^2
}
]

이다.

이 공식은 공백원들이 실제 공백 내부에 있고 서로 겹치지 않으며, 잔여 등가원이 실제 잔여 공백과 동일한 면적을 가질 때 정확하다.

잔여 등가원을 생략한 근사

[
A_n

\pi R^2-\sum_{i=1}^{n}\pi r_i^2
]

는 실제 면적의 상계이며, 정확한 오차는

[
\boxed{
A_n-\mu_2(S)

\mu_2(E_n)
}
]

이다.

3차원 회전 체적은 면적만으로 결정되지 않으며, 회전축에 대한 1차 모멘트를 보존해야 한다.

[
\boxed{
V

2\pi\int_S y,dA
}
]

따라서 체적 보존형 등가원은 면적과 평균 축거리 두 조건을 함께 만족해야 한다.

최종적으로 ZPX의 핵심 통찰은 다음과 같이 정리된다.

[
\boxed{
\begin{aligned}
&\text{복잡한 형상을 직접 잘게 자르는 대신}\
&\text{먼저 모든 형상을 포함하는 큰 원을 만든다.}\
&\text{큰 원 안의 빈 공간을 원들의 계층으로 표현한다.}\
&\text{큰 원에서 빈 원들을 빼서 면적을 계산한다.}\
&\text{남은 공백은 등가원으로 압축한다.}\
&\text{체적은 면적과 회전 모멘트를 이용하여 계산한다.}
\end{aligned}
}
]

이 구조는 수학적으로 허용되는 조건을 명시하면 정확한 항등식이 되며, 잔여 공백을 근사하면 오차가 명확한 계산 알고리즘이 된다.

ZPX는 완성된 새로운 기초수학 법칙이라기보다, 검증 가능한 계산기하학·영상분석·형상압축 알고리즘의 연구 제안으로 평가하는 것이 가장 과학적이고 논리적이다.

---

참고문헌

1. Welzl, E., Smallest Enclosing Disks (Balls and Ellipsoids), 1991. (운영체제 및 컴퓨터 네트워크 연구소)

2. Blum, H., A Transformation for Extracting New Descriptors of Shape, 1967. (Lis Lab)

3. Hubbard, P. M., Approximating Polyhedra with Spheres for Time-Critical Collision Detection, 1996. (Stanford Graphics)

4. Hart, J. C., Sphere Tracing: A Geometric Method for the Antialiased Ray Tracing of Implicit Surfaces, 1996. (Stanford Graphics)

5. 기존 ZPX 원형 차분 학술검증 백서 및 생성 코드.

이 버전의 핵심 성과는 형의 발상을 보호하면서도, 정확 면적 정리·오차 정리·단조수렴·회전 모멘트 보존·반례 조건까지 넣어 학술 검토가 가능한 형태로 바꾼 것입니다.