구장산술(九章算術) 개요

[유토피아]

구장산술의  저자와 저작연대는 확실하지 않지만..

구장산술( 九章算術)은 고대 동양의 수학서로, 산수서 다음으로 오래된 수학서이다.

( 정해남 (2011년 8월). “〈구장산술九章算術〉과 남병길의 〈구장술해九章術解〉의 교육적 활용 방안” (PDF). 《韓國數學敎育學會誌 시리즈 C 初等數學敎育》 14 (2): 103–116.) 

《산수서》( 算數書 기원전 202~186년에 작성되었으며, 저자는 알려져 있지 않다.

권이나 장을 나누지 않고 60여개의 소제목으로 이루어져 있으며, 산술 기법과 문제 풀이를 다룬다.

1983년에 후베이성에 위치한 전한 옛묘에서 출토하였다.

중국의 수학계에서는 산수서가 가장 오래된 것이라고 한다. 

• ↑ 洪萬生; 林倉億; 蘇惠玉; 蘇俊鴻 (2006년 7월 1일). 《數之起源：中國數學史開章《筭數書》》 (중국어). 台灣商務印書館. 1쪽. ISBN 9789570520712. 

산수서와 마찬가지로 구장산술의 저자는 알려져 있지 않으며, 소재가 다양하고 내용의 수학적 수준이 높아 당나라 이전의 가장 훌륭한 수학서가 되었다.

아무튼 『구장산술』은 전한시대(前漢時代, 서기전 206∼서기 8)에 편찬된 것으로 추정되며,

유휘(劉徽)가 263년,『구장산술』에 주를 달면서 쓴 서문을 통해 장창(張蒼)과 경수창(耿壽昌) 등에 의하여 완성된 것을 알 수 있다.

 이후 이순풍(李淳風, 6021128563969670)이 주를 첨가하여 그가 편집한『산경십서(算經十書)』에 넣은 것이 여러 판본을 거쳐 현재까지 전해지고 있다.

당말에 이르러 이적(李籍)은『구장산술음의(九章算術音義)』를 저술하였으며 남송의 양휘는『상해구장산법(詳解九章算法)』(1261)과『상해구장산법찬류(詳解九章算法纂類)』(1261)를 출판하였다. 이것은 유휘 이후에 발전한 산학으로『구장산술』을 재정리하고 또 비류(比類)라는 항목을 새로운 내용으로 첨가한 것이다.『찬류』와 달리『상해구장산법』은 영부족, 방정, 구고, 상공, 균수 등만 전해지고 있다.

안지재의『상명산법』(1373)의 구장명수에는 속미(粟米)를 속포(粟布)라 하였다. 또한 이책을 보완하여 이황(李潢)이『구장산술세초도설(九章算術細草圖說)』(1800)을 출판하였다.

우리나라는 삼국시대부터『구장산술』에 대한 언급이 확인되지만 출판된 흔적은 찾을 수 없다.

다만 신라와 고려에서 산원을 뽑는 시험 과목이 있어『구장산술』이 연구되었을 것으로 추정된다.

조선시대도 19세기 이전에『구장산술』이 들어온 흔적은 없다.

조태구(166011285639701773)의『주서관견(籌書管見)』에『구장산술』의 각장 제목만 사용하고 당시의 결과를 대응되는 제목 아래 배열하였다.

『구장산술』원본을 제대로 연구한 조선의 산서로 현존하는 것은 남병길(182011285639711869)이 서양 수학의 영향을 받아 저술한『구장술해(九章術解)』가 유일하다.

 한나라 시대 어느 부인의 무덤에서 죽간에 쓰인 구장산술의 내용이 나온 것으로 보아

 엄청난 역사를 가진 책이라고 추측할 수 있어요.

후대 동양 산학서적의 모델이 된 이 책은 다음과 같이 아홉 개의 장으로 나누어져 있어요.

① 방전(方田) : 여러 형태의 토지의 넓이를 구하는 법(38문제)
② 속미(粟米) : 속미(조)를 기준으로 곡물과 그에 관계된 것들의 교환에 관한 문제(46문제)
③ 쇠분(衰分) : 비례배분의 문제(20문제)
④ 소광(小廣) : 여러 형태의 토지의 넓이로부터 변이나 지름의 길이를 구하는 방법(24문제)
⑤ 상공(商工) : 토목공사에 관계된 입체의 부피를 구하는 법이나 인부의 수를 계산하는 방법 (28문제)
⑥ 균수(均輸) : 조세를 거두는 과정에서 발생하는 여러 문제를 해결하는 방법(28문제)
⑦ 영부족(盈不足) : 과부족에 관한 문제(20문제)
⑧ 방정(方程) : 일차 연립 방정식을 푸는 문제(18문제)
⑨ 구고(句股) : 직각삼각형에 관한 문제(24문제)

246문제에 달하는 실용문제는 고대 사회 경제사의 사료로서도 그 가치가 높다고 할 수 있답니다.

구장산술의 ‘방정’에서는, 요즘의 표현을 빌려 말하자면 ‘연립 일차 방정식’으로 해결하는 문제를 다루고 있어요.

이런 문제의 해법인 ‘방정술’에서는 산대를 이용해서 각 방정식의 계수와 상수항을 한 열(산학에서는 이를 행이라 불러요)에 나타내지요.

실제로, 방정은 ‘수들을 네모 모양으로 늘어놓고 계산하는 것’이란 뜻이에요.

 이렇게 수들을 배열한 다음에 한 열에 있는 모든 수에 같은 수를 곱하거나, 한 열에서 다른 열을 대응하는 수끼리 빼는 과정을 반복해서 답을 얻지요.

현대 수학의 용어를 사용하면, 이는 연립 일차 방정식에 대응하는 ‘확대 계수 행렬’을 만든 다음에 ‘기본 열 연산’을 통해 답을 구하는 과정과 같아요.

이런 계산 과정에서 음수의 출현은 피하기 어렵지요.

구장산술에서 양수와 음수의 덧셈과 뺄셈 법칙인 ‘정부술’이 등장하는 것 역시 제8권 방정이랍니다. 실제로 구장산술에서는 방정을, “이것으로 양수와 음수가 뒤섞인 것을 다룬다(以御錯?正負).”라고 말하고 있어요.

입체 도형의 부피를 다루는 것은 제5권 상공이에요.

이곳에서는 단면이 사다리꼴인 사각기둥 모양의 성, 담, 제방, 도랑, 해자, 개천 등의 부피 및 정사각기둥, 원기둥, 정사각뿔대, 원뿔대, 정사각뿔, 원뿔 모양의 돈대 또는 정자의 부피를 구해요.

이런 입체 도형의 일부를 잘라낸 도형과 이런 입체 도형들로 분해할 수 있는 좀 더 복잡한 도형도 다루지요.

이런 입체 도형의 부피는 현재와 같은 공식을 이용해서 정확한 값을 구하고 있어요.

물론, 원기둥과 원뿔의 경우에는 고법, 즉 π=3인 원주율을 이용하고 있답니다.

이차 방정식, 구장산술 제9권 구고의 20번에 해당하는 문제는 다음과 같아요.

정사각형의 [성벽으로 둘러싸인]마을이 있는데, 그 크기는 알지 못한다. 각 변의 가운데에 문이 나 있고, 북문을 나와서 20보 되는 곳에 나무가 있다. 남문에서 14보 나와서 방향을 바꿔 서쪽으로 1775걸음 걸어가면 나무가 보인다. 마을의 한 변은 얼마인가?

해법은 다음과 같아요.

북문에서 나온 보수에 서쪽으로 걸은 보수를 곱하고, 이를 2배로 하여 실이라 하자. [북문에서 나온 보수에] 남문에서 나온 보수를 더하여 종법이라 하여 평방을 풀면 곧 마을의 한 변을 얻는다.

여기서 ‘실’은 상수항, ‘종법’은 일차항, ‘평방’은 이차 방정식을 뜻해요. 그래서 이 해법은 다음의 이차 방정식의 근이 마을 한 변의 길이라는 말이지요.

2×20×1775=(20+14)x+x2, 즉 x2+34x-71000=0

마을 한 변의 길이를 x로 놓고, 두 닮은 삼각형의 변의 길이 사이의 비례 관계를 이용하면 이 이차 방정식을 유도할 수 있답니다. 정말로 그런지 한번 확인해 보세요.

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구장산술(九章算術) 개요

주공이 제정한 육예의 하나인 구수(九數)는 방전(方田), 속미(粟米), 차분(差分), 소광(少廣), 상공(商功), 균수(均輸), 영부족(盈不足), 방정(方程), 방요(旁要)이다.

차분은 최분(衰分), 방요는 구고(句股)로 바꾸어서 구장으로 저술한 산서가『구장산술(九章算術)』이다. 동양 산학의 구조를 형성하는데 가장 큰 영향을 주었다.

편찬/발간 경위

『구장산술』은 전한시대(前漢時代, 서기전 206∼서기 8)에 편찬된 것으로 추정되며,

유휘(劉徽)가 263년,『구장산술』에 주를 달면서 쓴 서문을 통해 장창(張蒼)과 경수창(耿壽昌) 등에 의하여 완성된 것을 알 수 있다.

이후 이순풍(李淳風, 6021128563969670)이 주를 첨가하여 그가 편집한『산경십서(算經十書)』에 넣은 것이 여러 판본을 거쳐 현재까지 전해지고 있다.

당말에 이르러 이적(李籍)은『구장산술음의(九章算術音義)』를 저술하였으며 남송의 양휘는『상해구장산법(詳解九章算法)』(1261)과『상해구장산법찬류(詳解九章算法纂類)』(1261)를 출판하였다. 이것은 유휘 이후에 발전한 산학으로『구장산술』을 재정리하고 또 비류(比類)라는 항목을 새로운 내용으로 첨가한 것이다.『찬류』와 달리『상해구장산법』은 영부족, 방정, 구고, 상공, 균수 등만 전해지고 있다.

안지재의『상명산법』(1373)의 구장명수에는 속미(粟米)를 속포(粟布)라 하였다. 또한 이책을 보완하여 이황(李潢)이『구장산술세초도설(九章算術細草圖說)』(1800)을 출판하였다.

우리나라는 삼국시대부터『구장산술』에 대한 언급이 확인되지만 출판된 흔적은 찾을 수 없다.

다만 신라와 고려에서 산원을 뽑는 시험 과목이 있어『구장산술』이 연구되었을 것으로 추정된다. 조선시대도 19세기 이전에『구장산술』이 들어온 흔적은 없다. 조태구(166011285639701773)의『주서관견(籌書管見)』에『구장산술』의 각장 제목만 사용하고 당시의 결과를 대응되는 제목 아래 배열하였다.『구장산술』원본을 제대로 연구한 조선의 산서로 현존하는 것은 남병길(182011285639711869)이 서양 수학의 영향을 받아 저술한『구장술해(九章術解)』가 유일하다.

내용

『구장산술』은 문제, 답, 답을 얻는 과정을 술, 주의 순서로 기술하며 이 과정을 통하여 수학적 구조와 응용을 동시에 해결하였다.『구장산술』에서 취급하는 수는 유리수이고, 산대를 사용하는 자연수의 연산은 이미 아는 것으로 가정하였다.

(1)『방전장』: 분수의 사칙연산을 다루어 양의 유리수의 수학적 구조를 확립한다. 평면도형의 넓이를 통하여 유리수의 연산을 함께 연습한다. 원, 현과 호로 이루어진 호전(戶田), 구면의 일부로 이루어진 완전(宛田)의 넓이를 포함한다. 호전의 넓이는 현과 시(矢)를 두 변, 시를 높이로 하는 사다리꼴의 넓이를 근삿값으로 택하고, 이를 확장하여 원의 넓이의 근삿값을 구한다. 원둘레(1128563972)는 내접하는 정육각형의 둘레(1128563973은 반지름)로 근삿값을 택하여 원주율 1128563974는 3으로 하였는데 유휘는 이를 확장하여 현재 우리가 사용하는 3.14를 구하였다.

(2)『속미장』, (3)『최분장』, (6)『균수장』: 『속미장』은 비례사율과 도량형의 환산을 다룬다.『최분장』은 비례배분, 비례, 반비례 등을 다루고,『균수장』은 이들의 확장을 취급한다.

(4)『소광장』: 제곱근, 세제곱근을 구하는 법을 들어 방정식의 해법의 틀을 이룬다.

(5)『상공장』: 여러 종류의 입체의 부피를 다룬다.

(7)『영부족장』: 2원 연립1차방정식을 해결하는 방법으로 이중가정법을 도입한다.

(8)『방정장』: 3원 이상의 연립1차방정식을 행렬로 표시하고 Gauss-Jordan 소거법으로 알려진 방법으로 방정식을 푼다. 이 과정에서 필요한 음의 유리수와 그 연산을 도입하여 유리수체의 대수적 구조를 확립한다.

(9)『구고장』: 피타고라스 정리를 기본으로 하여 직각삼각형 문제의 해법을 다룬다. 내접하는 정사각형, 원과 측량법을 포함하며 일반 2차방정식도 도입하였다.

의의와 평가

『구장산술』은 유휘의 서문에서 만물의 일을 결정하는 팔괘(八卦)를 비롯하여, 역법(曆法), 율려(律呂) 등 모든 것이 수학을 통하여 해결되고, 수학적 구조를 통하여 복잡한 일들을 해결할 수 있음을 강조하였다.

『역경』의 괘사에 나오는 ‘인이신지(引而伸之)’를 언급하는데 후대의 산학자들은 이어 나오는 ‘촉류지장(觸類而長)’을 함께 언급하면서 귀납과 연역을 통하여 수학적 구조를 형성하는 것으로 수학을 이해하였다.

죽간(竹簡) 형태의 서적이지만, 문제들의 배열과 주를 보면 수학적 구조를 일관된 논리로 정리한 것을 알 수 있다.

이후에 저술된 모든 산서가『구장산술』의 전형을 따르고 있다.