파이(원주율)와 자연상수 e 증명법

가끔, 원주율 π는 "율(率)"이란 이름에서 알 수 있듯, π = 원둘레의 길이 / 지름 이란 비로 표현되는데 어째서 유리수가 아닌 무리수인지 이해가 안 된다는 사람들이 있더군요. 하지만 그런 식으로 따지면, √2 = 2 / √2 니까 √2도 유리수라는 웃기는 결론에 이르겠죠? 유리수라는 건 단순히 분수로 표현 가능한 수가 아니라, 정수의 비, 그러니까 분모와 분자가 모두 정수인 분수로 표현할 수 있는 수입니다. π가 무리수임을 보이는 방법은 e보다 훨씬 어렵고, 그 방법도 여러가지가 있습니다. 여기서는 Ivan Niven의 절묘(!)한 방법을 소개하겠습니다. π가 무리수라는 걸 밝히는 대신 π2이 무리수임을 보여도 됩니다. f(x) = xn (1-x)n / n! 라고 정의합시다. 1. 0 < x < 1일 때, 0 < f(x) < 1/n! x가 이 범위의 수일 때, 0 < x (1-x) < 1이므로 당연. 2. 제 k 계 도함수 f(k)(0), f(k)(1)은 정수. 당연하죠? π2 = a/b (a, b는 정수)라 하고 모순을 보입니다. F(x) = bn Σkn= 0 (-1)k f(2k)(x) π2(n-k)라고 정의합시다. 이 때, 3. F(0), F(1)은 정수. 2의 결과에서 당연하겠죠? 4. π2 an f(x) sin(πx) = d/dx { F'(x) sin(πx) - π F(x) cos(πx) } 조금 복잡하긴 하지만 찬찬히 계산해 보면 식이 성립합니다. 5. F(1) + F(0) = π an f(x) sin(πx) dx 4의 결과를 0부터 1까지 양변 적분하면 됩니다. 6. 충분히 큰 n에 대해 0 < F(0) + F(1) < 1. 1의 결과와 5의 등식을 이용하면 유도됩니다. 그런데, 3에서 F(0) + F(1)이 정수라야 하는데, 이것은 6의 결과와 모순이므로 결국 π2은 유리수일 수 없습니다. 따라서, π도 무리수. ----------------------------(The End)-------------------------- e증명법 일단 e의 정의를 먼저 알아야 되겠죠. e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ... e = a/b (a, b는 정수)라 하고 모순을 보입니다. 적당한 정수 k (>b)에 대해, n = k! * ( e - 1 - 1/1! - 1/2! - 1/3! - ... - 1/k! ) 라 하면, n은 0 아닌 정수가 됩니다. 그런데, 이 식을 정리해 보면, n = 1/(k+1) + 1/(k+1)(k+2) + 1/(k+1)(k+2)(k+3) + ... < 1/(k+1) + 1/(k+1)2 + 1/(k+1)3 + ... = 1/k 이 되어, n이 0 아닌 정수라는 데 모순입니다. 따라서, e는 무리수라야 합니다. 출처:엠파스 검색