고1이 생각할 수 있는 수준이면 나머지 정리의 활용이므로 7의 거듭제곱중에 10의 거듭제곱이나 50의 거듭제곱중 가까운 수를 찾아서 하면 되겠습니다. 7^2=49이니 50을 7^2으로 나누면 나머지가 1입니다. 1억=10^8=(50*2)^4={(7^2+1)*2}^4=16*(7^2+1)^4에서 7=x라 잡으면 16(x^2+1)^4=x*Q(x)+R 로 나눗셈식을 세우면 x에 대한 항등식이 되므로 R=16. 따라서 16(x^2+1)^4=x*Q(x)+16. 좌변을 x로 나눈 나머지는 16이지만 실제로는 자연수를 7로 나눈 것이므로 나머지는 반드시 0이상 7미만이어야 합니다. 우변에 x=7을 대입하면 7*Q(7)+16=7*{Q(7)+2}+2 이므로 구하는 나머지는 2입니다.
첫댓글 [방법1] 1억=100^4=(98+2)^4
이항전개하면 98은 7의 배수이므로 맨 마지막항 2^4을 7로 나눈 나머지 2와 같다
[방법2] 100=2 (mod7), 1000=-1 (mod7)
1000^2=1 (mod7)
따라서 1억=100×1000^2=2×1=2 (mod7)
[방법3] 1억을 7로 직접 나누면 나머지는 2
감사합니다. 평안한 오후 되세요.
고1이 생각할 수 있는 수준이면 나머지 정리의 활용이므로
7의 거듭제곱중에 10의 거듭제곱이나 50의 거듭제곱중 가까운 수를 찾아서 하면 되겠습니다.
7^2=49이니 50을 7^2으로 나누면 나머지가 1입니다.
1억=10^8=(50*2)^4={(7^2+1)*2}^4=16*(7^2+1)^4에서 7=x라 잡으면
16(x^2+1)^4=x*Q(x)+R 로 나눗셈식을 세우면 x에 대한 항등식이 되므로 R=16.
따라서 16(x^2+1)^4=x*Q(x)+16.
좌변을 x로 나눈 나머지는 16이지만 실제로는 자연수를 7로 나눈 것이므로 나머지는 반드시 0이상 7미만이어야 합니다.
우변에 x=7을 대입하면 7*Q(7)+16=7*{Q(7)+2}+2 이므로 구하는 나머지는 2입니다.
감사합니다. 나머지가 한 번에 안 나오는 군요. 전 쉽게 생각했더니...나머지가 계속 7보다 크게 나와서요... 평안한 오후되세요.