수학 오디세이- 2(2020.9.20)

[권 영 칠]

■ 이만근교수의 수학오디세이 - 2

ㅇ 일자 : 2020.9.3(목)~9.20(일)

ㅇ 저자 : 이만근, 서울대학교 수학교육과에서 학사/석사 취득, 건국대학교 박사

                       현재 동양대학교 재직 중

ㅇ 출판사 : 21세기 북스, 1판 1쇄 발행(2013.2.25)

ㅇ 개요

  * 세계문명에 얽힌 수학의 미스테리를 풀어가는 흥미진진한 여행기

   - 신이 존재한다면 그는 수학자일 것이다.

   - 수학은,, 우주의 운동법칙과 삼라만상의 자연현상을 이해하기 위한 도구적 성격이 매우 강한 학문이다.

   - 수학은,, 자연과 과학의 공동어이다. 수학으로 말할 수 없다면 자연과의 대화는 원척적으로 불가능하기

                 때문이다. 

  * 차례  제1부. 프랑스,, 페르마,, 확률론의 토대를 마련한 천재

                                       갈루아,, 양자역학의 기초를 세우다

                                       파스칼,, 하느님은 존재하는가에 대한 파스칼의 계산

                                       나폴레옹,, 수학과 수학자를 사랑함

                                       제르맹,, 편견을 이겨낸 여성 수학자

              제2부. 독일   가우스,, 비유클리드 기하학 체계를 정립하다.

                                   보데,, 천문학자 보데가 태어난 곳 함부르크

              제3부. 스위스  오일러,, 세상에서 가장 아름다운 방정식을 만들다.

                                      바젤데학 수학과장 임호프와 만남

              제4부. 네델란드  램부란트,, 그림의 위작 감별에 나선 수학자

                                         기하학 패턴을 응용한 판화가에서

              제5부. 영국  뉴턴과 라이프니츠,, 바퀴의 발명에 버금가는 미적분의 창안

                                  뉴턴의 생가가 있는 울소프 매너

                                  와일즈,, 357년 만에 페르마 정리를 풀다.

ㅇ 특이사항

제1부. 프랑스(FRANCE)

▣ 페르마

   - 프랑스 툴루즈 지방법원의 법관,, "피에르 드 페르마"(1602~1665년, 63세)

 ① 고독했던 법관이 낸 숙제

   - "3차이상의 제곱수를 같은 차수의 제곱수의 합으로 나타내는 것은 불가능하다"

      "Z의 n자승 ≠ X의 n자승 + Y의 n자승" (n=1, 2인 경우는 성립)

   - 17세기에 남긴 이정리는 350년이 지난 20세기 후반(1993.6.23)

     미국 프린스턴대학의 앤드루 와일즈교수가 사흘 연속 이어진 강연으로 증명함

  ② 소수와 관련된 많은 자연수의 패턴들을 발견

   - 소수(1과 자신외에는 나누어 덜어지지 않는 수)

      1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,,,,

   - 페르마의 작은 정리

      소수 p에 대하여 a가 p의 배수가 아닌 자연수일 때,, "a의 (p-1)자승 빼기 1"은 p로 나누어 떨어진다.

▣ 갈루아(1811~1832년, 21세)

  - 5차 방정식을 연구하던 중,, 『군론』정립하고, 이는 현대 양자역학의 기초가 되다.

   - 『군론』이란,, 연산이 정의된 어떤 집합의 수학적 구조를 연구하는 것으로

                        『군』이란 용어도 갈루아가 처음 사용

   - 군론 등 갈루아의 이론은 현대수학의 기초가 됐으며, 양자역하 등 물리학에도 응용되고 있다. 

▣ 프랑스 여행기 01) 나는 이미 풀었습니다, 당신도 풀어 보세요!

   페르마는 프랑스 툴루즈에서 법원의 치안판사로 일하며 수학은 여가를 이용해 취미로 즐겼다.

   - 17세기 법관들은 일반인과 자유롭게 만나는 것이 금지되어 있다.

      법관의 판단에 영향을 줄 수 있다는 이유에서 였다. 

       낮에는 이교도에 대한 화형 등의 판결을 내리고,,,

       밤에는 사회로 부터 고립된 페르마는 피로, 무료함, 고독에서 벗어나기 위해

       서른 살쯤부터 수학에 빠져든 것으로 기록되어 있다.

   - 페르마의 고향 보몽드로마뉴에는,,, 페르마의 길, 페르마 고등학교, 도서관으로 사용되고 잇는 생가

   - 페르마의 마지막 정리

      n이 3이상인 정수일때,, 방정식 "x의 n자승 + y의 n자승 = z의 n자승"을 만족하는 0이 아닌

     정수 x, y, z는 존재하지 않는다.

▣ 프랑스 여행기 02) 창조에는 휴식이 필요하다 : 좌표계를 만든 데카르트

   - 데카르트(1596~1650년, 54세)는 수학자보다도 철학자로 더 알려져있다.

      예-1) 『나는 생각한다, 고로 나는 존재한다.』

      예-2) 하느님은 무한대를 의미하며 무는 자신외 다른 어떤 것도 창조할 수 없다.

              이를 수학적으로 표현하면,, "a×0=0"으로, 어떤 수든지 "0"을 만나면 본래의 모습은 없고

              "0"이 되어 버린는 것과 같은 의미이다.

   - 데카르트의 좌표계 도입은 수학적으로 두가지의 큰 의미가 있다.

     ① 두 좌표축 수직선에 숫자 "0"을 도입한 것이다.

         원점이 되는 (0, 0)이 모든 것의 기준점이 되며,

         "0"이라는 원점이 수직선위에 자신의 위치를 찾는 최초의 사건이다.

     ② 기하학과 대수의 결합이다.

         고대 이집트와 그리스의 경우의 수학은,, 도형과 식을 분리하여 생각 할 수 없었다.

         예-1) 곱셈 "2×3"은 가로와 세로가 각각 2와 3인 직사각형의 넓이를 의미하는 것이다.

                 따라서 "-2"와 같은 기하학 의미가 없는 수는 연구대상이 될 수 없었다.

   → 도형과 분리된 수학은 "음수, 0, 허수 등"의 발전에 큰 영향을 하게된다.

▣ 프랑스 여행기 03) 하느님이 존재하는 가에 대한 파스칼의 계산

   - 하느님을 믿을 것인가, 말 것인가,, 그것이 문제로다.

   - 파스칼의 확률적 계산,, 하느님을 믿는 것이 기대값이 높다.

                                    "하느님을 믿는 것이 안 믿는 것보다는 낫다."

     1.하느님을 믿을 경우,, 하느님이 존재하면 천국이 보장됨으로 영원한 삶이 있고

                                   설사 하느님이 없더라도 나는 그저 사라질 뿐으로 손해볼 것이 없다.

     2. 하느님을 믿지 않을 경우,, 하느님이 존재하면 지옥의 불에서 벌을 받을 것이고,

                                          설사 하느님이 없더라도 나는 그저 사라질 뿐 이익볼 것이 없다.

▣ 프랑스 여행기 04) 성당앞에 버려진 아이

   - 노트르담 대성당에 버려진 아이,, 당랑베르(1717~1783년, 76세)

▣ 프랑스 여행기 05) 수학과 수학자를 사랑한 나풀레옹

▣ 프랑스 여행기 06) 외롭고 고독한 천재, 갈루아

▣ 프랑스 여행기 07) 편견을 이겨낸 여성 수학자, 제르맹

제2부. 독일(GERMANY)

▣ 카를 가우스(1777~1855년, 78세)

   - "실수와 허수" 개발로 현대수학의 문을 연 가우스,, 영국의 아이작 뉴턴과 함께 3대 수학자임

   - 수학 신동

      예-1) 3살때,, 아버지가 계산하던 임금명세서 중,, 틀린 곳을 지적함

      예-2) 초등학교 시절,, "1부터 100까지 더하라"는 문제를 몇초만에 계산함

  ① 행성궤도 계산,, 1801년 이탈리아 천문학자 "주세페 피아치"가 『세레스』라는 작은 행성을 발견했는데,

                            가우스는 이 행성의 1년뒤 위치를,, 어느자리에 나타날지를 정학히 예측함

  ② "십칠각형" 작도법 발견

   - 자와 컴퍼스만으로 발견하고,, 기쁜 나머지 자신의 묘비에 십칠각형 작도법을 새겨달라는 유언을 남겼다.

  ③ "수학은 과학의 여왕이고, 정수론은 수학의 여왕이다"

   - "대수학의 기본정리",, 즉 "1차 방정식은 해가 하나, n차 방정식은 해가 n개이며 이런해를 구할 때

                                  복소수까지만 알면되며 더는 수가 필요없다"는 중요한 수학적 명제

  ④ "실수와 허수의 합으로 이루어진 수인 복소수"는 현대공학에서 필수적이다.

   - x축은 실수축, y축은 허수축으로 평면좌표계위에 표시되는 "복수평면"의 개발은 수학이 근대수학에서

     현대수학으로 넘어가는 결정적 계기를 마련했다는 평가를 받고 있다.

  ⑤ 비유클리트 기하학 연구체계 정립

   - 200여녀전 기하학,,  "삼각형 내각의 합은 180도"

   - "비 유클리트 기하학"

     예-1) 평행하는 직선은 만나지 않는다. → 아니다. 만난다.

     예-2) 삼각형의 내각의 합은 180도다. → 아니다. 180도보다 크거나, 작다.

   - "비 유클리트 기하학"의 탄생은 단순히 도형에 대한 인식의 전환에 그치지 않고 현실속의 기하학, 우주에

     대한 인간의 인식을 바꿨다.

▣ 독일 여행기 01) 역사상 가장 치열했던 원조논쟁 : 라이프니츠와 뉴턴

   - 미적분학의 창시자는 누구인가?,,, 영국의 아이작 뉴턴(1643~1727년, 84세)인가?

                                                  독일의 라이프니츠(1646~1716년, 70세)인가?

   - 미분, 적분을 왜 배우는가?

      수학은,, 그 자체로도 매우 중요한 학문이다.

      그리고 우주의 운동법칙과 삼라만상의 자연현상을 이해하기 위한 도구적 성격이 매우 강한 학문이다.

    - 미적분은,, 자연과 우주의 언어이다.

     예-1) 자연에서 빗방울이 떨어지는 속도

     예-2) 공학에서 전기회로의 여러 현상

     예-3) 사회에서의 인구증가

     예-4) 주식에서 주가의 변동 등을 모델링

             (주식은 사용하는 식이 워낙 다양하지만, 그중 제일 유명한 블랙숄즈방정식)

▣ 독일 여행기 02) 주역은 컴퓨터의 언어로 쓰인 책 : 라이프니츠의 이진법

▣ 독일 여행기 03) 태양계의 행성의 위치를 예언한 보데(1747~1826년, 79세)

▣ 독일 여행기 04) 독일 지폐에 나오는 가우스

   - 열살때, 초등학교 수업시간때 1부터 100까지 자연수를 모두 합하는 문제에 다른 학생들은 1+2=3,

      3+3=6, 6+4=10,,, 과 같은 방법으로 계산하고 있을때

   - 가우스는 곧바로 답을 내었다.

     (1+100)+(2+99)+(3+97)+,,,,(50+51)=101×55=5,050

      → 유명한 "급수의 합에 대한 첫번째 공식"으로 자리 잡음

   - "원의 17등분"에 성공한 가우스(1796년, 19세)

   - 수학박사 논문에 유명한 두가지 주제 발표(1779년, 22세)

   ① "대수학의 기본정리

     "모든 다항 방정식은 적어도 하나의 복수근을 갖는다"

      수학자들은 이것을 『대수학의 기본정리』라고 부르며 금과옥조로 여긴다.

   ② 복소평면의 도입이다.

      가우스 이전의 모든 수학자들은 "허수 i"의 존재를 의식적으로 무시하고 있었다.

      허수라는 이름을 붙인 데카르타 조차도 실제하지 않는 환상속의 숫자라고 믿고 있었다.

      그런데 이 수를 2차원의 평면에 도입해 눈에 보이도록 만든 사람이 가우스다.

▣ 독일 여행기 05) 자신의 연구를 불태워 없애버린 리만(1816~1866년, 40세)

   - 자신의 흔적을 지운 수학자,, 『리만』

   - 평생 단 한편의 논문이 세상을 바꾸다,,, 『리만 가설』

      복소 함수론을 공부하면 『코시-리만 방정식』이나 『리만 곡선』을 만나게 되고

      실해석학을 공부하다 보면『리만 적분』을 만나게 되며

      미분 기하학을 공부하다 보면『리만 기하학』

      그리고 정수론을 공부하면『리만 가설』을 만나게 된다.

▣ 독일 여행기 06) 수학의 모자르트와 살리에리 : 칸토어(1845~1918년, 63세)와 크로네커(1823~1891년,

                                                                68세) 이야기

▣ 독일 여행기 07) 안과 밖의 구분이 없는 도형, 뫼비우스의 띠와 클라인 씨의 병

   - 뫼비우스(1790~1868년, 78세)는 라이프치히 대학교 천문학자 교수

      클라인(1849~1925년, 76세)는 기하학 교수

   - 뫼비우스의 띠,, 종이는  앞면과 뒷면이 양면이 있다.

                          직사각형의 종이 양쪽을 맞 붙이면 안과 겉 양면이 있게된다.

                          이것을 한번 꼬아 양 쪽을 붙이면 안가 컽을 구분할 수 없다. 

                           즉 한쪽 면만 갖는 곡선이 된다.

      예-1) 윔홀(우주공간에서 블랙 홀과 하이트 홀을 연결하는 통로)

                   한 구멍으로 들어가면 같은 면의 다른 구멍으로 나올 수 있는 통로

                   윔홀을 이용하여 우주공간에서 순간 이동

   - 클라인 씨의 병,, 대롱 병에 구멍을 뚫어 한쪽 끝을 그 구멍에 넣어 만든 이상한 병,, 내부가 없는 병

      클라인 씨의 병은,, 3차원에서 완전히 그릴 수 는 없다.

                               단순히 연결관계를 보여주는 앞의 그림과는 달리 4차원에서는 이 병의 일부분이

                               자신의 몸체를 뚫고 들어가지는 않는다.

                               안과 밖의 구분이 없기 때문에 클라인 씨의 병을 따라가다 보면 안과 밖이 연결된다.

제3부. 스위스(SWITZERLAND)

▣ 오일러(레온하르트 오일러, 1707~1783년, 76세)

   - 단숨에 풀어낸 "연결망 공식",, 컴퓨터 회로의 기초가 되다.

   - 역사상 3대 수학자에 한명을 추가할 경우,, 4대 수학자로는 오일러다.

      아르키메데스, 아이작 뉴턴,, 카를 프리드리히 가우스,,, + 오일러

   - 수많은 수학 기호 정리

     ① 윈주율(파이)도 오일러가 쓰면서 일반화가 됐으며 

     ② 삼각형의 외접원에 관한 오일러 관계

     ③ 4차 방정식의 해법에 관한 오이러 방법 

     ④ 연결 그래프에 관한 오일러 정리

     ⑤ 오일러 함수

     ⑥ 복소수의 사인과 코탄젠트에서 오일러 변화값 등

▣ 스위스 여행기 01) 로피탈이 만들지 않은 로피탈 정리

   - 로피탈(프랑스 수학자, 1661~1704년, 43세)

   - "로피탈 정리",, 꼴의 극한값을 구하는 정리
     (스위스 수학자 요한 베르누이(1667~1748년, 81세)가 정리하여 로피탈에게 줌)

  * 자코프 베르누이의 묘비와 "e"의 발견

   - 1700년대에는 돈을 빌리고 그 이자를 계산하는 것은 매우 중요한 수학의 응용분야였다.

  예) 1원에 연 100%의 복리이자 계산

   - 1년후의 결과는,, (1+1/1)의 1자승= 2원이 된다.

   - 1년에 2번(6개월에 한번씩) 계산하면,, (1+1/2)의 2자승=2,25

   - 1년에 4번(4분기별 한번씩) 계산하면,, (1+1/4)의 4자승=2,24

   - 1년에 12번(각 달별 한번씩) 계산하면,, (1+1/12) 12자승=2.66

   - 1년에 365(매일 한번씩) 계산하면,, (1+1/365) 165자승=2.71,,,

   2.718,,, 의 의미는 무엇일까? 

    이는 곧 인구증가, 병원균의 증가, 이자의 증가 등 일정한 비율로 증가하는 형태에는 적용된다는 사실이다.

    이는 지수함수가 발명된 것이고 최초의 미분 방정식이 등장하게 된 것이다.

    후에 이 숫자는 오일러에 의해 『e』라고 이름 붙여졌다.

▣ 스위스 여행기 02) 세상에서 가장 아름다운 방정식을 만든 오일러

   - 장애를 극복한 오일러(1707~1783년 76세)

   - 역사상 장애를 극복하고 훌륭한 업적을 남긴 천재들

    ① 음악가 베토밴은,, 청각을 잃고도 바닥의 진동만으로 음악공연을 지휘

    ② 시력을 완전히 잃은 오일러,, 28세/1735년 한쪽 시력 상실, 59세/1766년 백내장으로 장님

       두눈을 완전히 잃은 17년 동안 자신의 업적 반을 이루었다.

       정부의 각종업무에 조언하고 380편의 논문 발표

    ③ 현대물리학자,, 스티븐 호킹

   - 세상에서 가장 아름다운 식,,, 오일러 식

    - 오일러 식(또는 항등원식),,, 수학에서 가장 아름다운 식으로 꼽히는 이유는

                                           수학에서 가장 중요한 숫자가 모두 나올 뿐만 아니라, 이 숫자들이 수식의

                                           기본연산에 해당하는 덧셈, 뺄셈, 지수로 연결되기 때문이다. 

▣ 스위스 여행기 03) 자신의 결론을 세번 부정한 아인슈타인(1879~1955년, 76세)

   - 첫번째 부정,, 광양자의 부정

   - 두번째 부정,, 상대성이론 - 블랙홀의 부정

   - 세번째 부정,, 상대성 이론 - 우주의 팽창과 수축

  * 수학자에게 필요한 세가지 자질

    첫째, 어떠한 믿음도 수정할 준비가 되어 있어야 한다.

    둘째, 믿음을 바꾸어야 할 합당한 이유가 생겼을 때는 그렇게 해야 한다.

    세째, 합당한 이유가 없는 한, 함부로 믿음을 바꾸어서는 안 된다.

  * 과학자들이 갖추어야 할 정신적 세가지 자질

    첫째, "지적인 용기"가 필요하다.

            당신의 믿음을 수정하려면 용기가 있어야 한다. 아리스토텔레스의 권위와 그와 동시에 사람들의

            편견에 도전한 갈릴레오의 행동은 지적인 용기의 대표적인 예다. 

      둘째, "지적인 정직성"이 필요하다.

             경험과 명백히 모순되는 추측을 내가 만들었다는 이유만으로 증명하기 위해 집착한다면,

            이는 정직하지 못한 일이 될 것이다.

     세째, "현명한 인내"가 필요하다.

             사람들이 유행을 따라 옷을 골라 입는 것  처럼, 신중한 조사 없이 믿음을 바꾸는 것은 어리석다.

                                              - 수학교육학자 "폴리아"의 저서,, 수학과 개연추론 중에서 

제4부. 네델란드(NETHERLANDS)

▣ 네델란드 여행기 01) 진짜와 가짜의 구별법 : 현대수학을 이용한 렘브란트 미술품의 위조 감정법 

▣ 네델란드 여행기 02) 에셔의 그림 : 프랙탈, 테셀레이션, 새로운 기하학의 탄생

제5부. 영국(ENGLAND)

▣ 뉴턴과 라이프니츠

   - 두 거물이 17세기 따로 발명한 미 적분,, 우주선시대를 열었다.

   - 영국의 아이작 뉴턴(1643~1727년, 84세)

     뉴턴의 생가는 평범한 양목장으러 중농의 집이다.

   ① 뉴턴의 사과나무,, 물체의 운동, 만유인력

   ② 미적분,, 유분법(미분)과 유분법의 역(적분법)

   ③ 주요 광학 원리 등,, 수학, 천문학, 과학사의 유명 아이디어 탄생

   - 독일의 라이프니츠(1646~1716년, 70세)

    ① 미적분

    ② 컴퓨터가 탄생하는데 결정적인 "0"과 "1"의 이진법 개발

    ③ 초기 사측연산 계산기와 미적분 공식기호

  * 미적분은,, 사물의 운동과 변화를 관측, 측정, 예측하는 도구를 인류에게 제공

   - 행성운동, 비행과 물체의 낙하, 기계 작동과 유체 흐름, 기체의 팽창, 전기력과 자기력의 활동,

      전염병의 확산, 내일의 날씨예측, 주식시장의 분석

   - 산업혁명과 20세기 후반의 인공위성이나 유인 우주선 발사 등도 미적분이 핵심기법으로 가능한 것이다.

  * 미적분이전의 모든 기하학 및 대수학은 기본적으로 고정된 물체를 대상으로 한 것이며,

    반면 미적분은 등속이나 등가속 등 최소한의 규칙성이나 일정한 패턴을 나타내는 것이면,

    고체/액체/기체를 가리지 않고 운동과 변화를 파악할 수 있게 된 것이다.

                                                                                         - 수학의 언어 중에서  

▣ 영국 여행기 01) 천문학자 수명을 연장시킨 네피어(1550~1617년, 67세)

   - 곱셈을 계산하지 못하는 유럽 종업원

   - 네피어의 수학적 업적은 로그의 발견이다.

      로그는,, 복잡한 계산을 쉽게 만들어 주는 마법과 같다.

  * 15~16세기 과학자나 천문학자는 계산 과정에서 곱셈과 나눗셈에 많은 시간을 보내고, 특히 괴롭힌 것은

    계산과정의 사소한 실수였다.

    계산과정의 사소한 실수는 엄청난 시간과 노력을 투자해 계산해 낸 결과를 엉뚱한 값으로 만들어 버린다.

   게다가 그 실수가 어느 곳에서 발생했는지를 찾아내기도 어렵다.  

   - 64살(1614년),, 네이퍼는 "놀라운 로그의 성질" 책을 출간했다.

      로그를 이용하면 "곱셈"을 덧셈으로, "나눗셈"을 뺄셈으로 바뀌게 된다는 사실을 설명했다.

      뿐만 아니라 어떤 수의 "제곱근"이나 "세제곱근"은 2분의 1 또는 3분의 1을 곱하는 계산으로 복잡한 계산을

      단순하게 만들어 준다.

▣ 영국 여행기 02) 뉴턴의 사과 : 진실은 무엇인가?

▣ 영국 여행기 03) 전쟁 영웅의 죽음 : 독 묻은 사과

▣ 영국 여행기 04) 357년만에 페르마의 정리를 끝내다.