Re:임의의 서로다른 실수...

[답인가..?]

1.
|x-y|=r 이라 하면 r>0 이므로 1/N < r 이 되는 (충분히 큰) 자연수
N 이 존재합니다. 집합 {k/N : k=0,±1,±2,±3,...} 은 유리수로 된
집합인데, 이 집합의 원소중에 적어도 하나는 x와 y의 사이에 있겠죠.

2.
조건을 추가하기 전에는 '아니오' 입니다. f(x)=1/x가 반례입니다.
조건을 추가하면 '예' 입니다. 다음 두 정리를 이용합니다.

(a) 폐구간에서 연속인 함수는 평등연속이다.
(b) 두개의 구간 I, J 가 I⊆J 를 만족하고, 함수 f(x)가 구간 J에서
평등연속이면 구간 f(x)는 구간 I에서 평등연속이다.

f(x)가 구간 (0,1)에서 연속이고, 양 끝점에서의 좌우극한이 존재하므로
f(x)의 extension g(x)를 [0,1]에서

g(0) = lim f(x) g(1) = lim f(x)
x->0+ x->1-

로 정의합니다.

그러면 g(x) 는 구간 [0,1]에서 연속, 따라서 평등연속 ----- (a)
따라서 g(x) 는 구간 (0,1)에서 평등연속 ----- (b)
따라서 f(x) 는 구간 (0,1)에서 평등연속 (∵g(x)는 f(x)의 extension)



--------------------- [원본 메세지] ---------------------
질문입니다...
***
1. 임의이 서로 다른 두 실수 x와y사이에 유리수가 존재함을 보이시오.
2. 개구간 (0,1)에서 연속인 함수f는 그 구간에서 항상 평등연속인가?
그리고 조건 "우극한 lim f(x)와 좌극한 lim f(x)가 존재한다"를 첨가
x->0+ x->1-
시키면 f는 평등연속인지를 설명하시오.

연속의 정의는 아는데 평등연속이 정확히 뭔지 잘모르겠어요...
아시는 분 있다면 답변좀 해주세요...........................