10 보석학에 대한 기본 수학 10.1 보석 기본 수학

[백산]

 10 보석학에 대한 기본 수학 10.1 보석  기본 수학

출처:  Gemology Project   소스: EK 이페어케이 플러스

10.1: 수학

 
보석학
보석학 프로젝트

보석학을 연구하는 데는 공식적인 사전 교육이 필요하지 않지만 고등학교 졸업장이 있으면 기본 수학을 더 쉽게 이해할 수 있습니다. 

특히 삼각법에 대한 지식이 도움이 될 수 있습니다.

다음은 이해할 수 있는 몇 가지 기본 계산입니다.

교차곱셈

어떤 사람들은 교차 곱셈에 어려움을 겪지만 간단한 방정식을 염두에 두면 상당히 쉽습니다.

5=102(10.1.1)
5를 1로 나눈 값 = 5이므로 \[\frac{5}{1} = \frac{10}{2}\]와 같습니다.

방정식의 왼쪽에 10을 가져오고 싶다고 가정해 보겠습니다. 분명히 10 = 5 곱하기 2이므로 교차 곱합니다.

\[\frac{5}{1}\swarrow \frac{10}{2}\] 10에 1을 곱하여 왼쪽으로 가져오고:

\[\frac{5}{1}\searrow \frac{10}{2}\] 5에 2를 곱하면 \(10 * 1 = 5 * 2\) 또는 \(10 = 5 * 2\)가 됩니다.

이것은 아마도 다음 방정식에서 더 의미가 있을 것입니다.

63=42(10.1.5)
교차곱하면 \(4*3=12\)와 \(6*2=12\)가 되기 때문에 \(12=12\)가 됩니다.

그림 \(\PageIndex{1}\)

간단한 다이어그램을 사용하면 더 쉽게 할 수 있습니다. 그림 \(\PageIndex{1}\)에서 방정식 \(10 = 5 * 2\)를 갖는 삼각형을 볼 수 있습니다("\(*\)"는 생략됨). 이중 가로 막대는 "\(=\)" 기호 또는 "\(/\)"(나눗값) 기호 역할을 합니다. 

이 간단한 다이어그램을 염두에 두면 가장 간단한 교차 곱셈을 풀 수 있습니다.

삼각형을 읽는 방법:

한 숫자에서 시작하여 다음 숫자로 이동한 다음 3번째 숫자로 이동합니다
먼저 위로 올라간 다음 아래로 내려갑니다

예제:

2에서 시작한다고 가정해 보겠습니다.

그런 다음 위로 올라가면 "\(=\)" 기호가 보입니다. 이제 "\(2=\)"가 되었습니다.

그리고 더 올라가면 10을 만나면 "\(2=10\)"가 됩니다

더 이상 올라갈 수 없으니 내려가야 합니다. 다시 이중선을 만납니다만, 

두 번째의 「\(=\)」가 될 수 없기 때문에, 나눗셈이 됩니다. 

이제 "\(2=10/\)"가 되었습니다.

더 아래로 내려가면 "\(2=10/5\)"가 되는 5가 보입니다

.
5로 시작할 때도 동일하게 작동합니다.

이제 10부터 시작하겠습니다.

10부터 시작하므로, 「\(10\)」

더 이상 올라갈 수 없으니 내려가야 합니다. 

이중선이 나타납니다. 

처음 보는 것이기 때문에 「\(=\)」가 되고, 지금은 「\(10=\)」가 됩니다

그러면 5(또는 시계 방향으로 가는지 시계 반대 방향으로 가는지에 따라 2)를 만나 "\(10=5\)"가 됩니다

더 아래로 내려갈 수 없으므로 옆으로 가야 합니다. 2를 보면 이상하게 보이는 "\(10=52\)"가 됩니다. 

이것은 실제로 좋은 수학 스타일이지만 혼란스럽기 때문에 그 사이에 "\(*\)"를 배치해야 합니다. 

그 결과 "\(10=5x2\)"가 나오는데, 이는 예비 학교 아이라면 누구나 동의할 것입니다.

물론 모든 답이 주어지기 때문에 재미는 없습니다. 

그러나 이 간단한 지식은 다음과 같은 방정식을 풀고자 할 때 기본입니다.

2.417=300x(10.1.6)
"\(10=5*2\)"를 삼각형의 새 방정식의 숫자와 알 수 없는 "\(x\)"로 바꾸면 됩니다. (힌트: "\(x\)"가 "\(2\)"를 대신합니다)

시도해보고 위의 방정식을 사용하여 다이아몬드 내부의 빛의 속도를 계산할 수 있는지 확인하십시오(300은 진공 상태에서의 빛의 속도인 300,000km/s의 약자입니다).

다른 모든 방법이 실패하면 \(5 = \frac{10}{2}\)를 염두에 두고 풀어야 하는 방정식의 미지수를 숫자로 대체하십시오.

사인, 코사인, 탄젠트

그림 \(\PageIndex{2}\)

사인, 코사인 및 탄젠트는 각도를 계산하는 데 사용됩니다.

그림 \(\PageIndex{2}\)에서 직각 삼각형의 3변(모서리 A에서 볼 수 있음)은 인접면, 반대쪽 및 빗변으로 표시됩니다. 

빗변은 항상 직각 삼각형에서 기울어진 (그리고 가장 긴) 변입니다.

반대쪽과 인접한 쪽은 모서리 A를 기준으로 합니다. A가 다른 예리한 코너에 있으면 반전됩니다.

사인

그림 \(\PageIndex{3}\)

사인은 일반적으로 sin으로 축약됩니다.

직각 삼각형에서 모서리의 사인은 반대쪽을 빗변으로 나누어 계산할 수 있습니다. 

이를 위해서는 두 가지 값을 알아야합니다.

그림 \(\PageIndex{3}\)에서 그 값은 3과 5이며, A 이상의 sin(A)의 사인은 3/5 = 0.6입니다.

\[\sin = \frac{반대\변}{빗변} = \frac{3}{5} = 0.6\]

이제 코너 A의 사인이 있으므로 해당 코너의 각도를 알고 싶습니다.

코너 A의 각도는 "역 사인"(sin으로 표시됨)입니다-1 또는 arcsin)이며 복잡한 계산에 의해 수행됩니다. 

운 좋게도 우리는 우리를 위해 더러운 일을 할 전자 계산기를 가지고 있습니다.

0.6을 입력합니다.

"INV" 버튼을 누릅니다.

"죄" 버튼을 누르십시오

이렇게 하면 약 36.87이 되므로 모서리 A의 각도는 36.87°입니다

아크신 (죄A) = 아크신 (0.6) = 36.87(10.1.8)
모서리의 각도(예: 30°)를 알면 다음과 같이 사인을 계산할 수 있습니다.

30을 입력합니다.

죄 누르기

그러면 0.5가 됩니다.

실용

보석의 입사각과 굴절각을 알면 해당 보석의 굴절률을 계산할 수 있습니다. 

또는 다음과 같은 다른 재미있는 일을하십시오.

\[굴절률\ = \frac{sin\ i}{sin\ r}\]

다이아몬드의 굴절률은 2.417이므로 입사각이 30°이면 굴절각은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

죄R=죄In=죄302.417=0.52.417=0.207(10.1.10)
따라서 역 사인을 사용합니다.

\[\arcsin \left(\sin r \right) = \arcsin \left(0.207 \right) = 11.947 \rightarrow angle\ of\ 굴절 = 11.947^\circ\]

로켓 과학이 전부는 아닙니다. 입사각과 굴절각이 무엇을 의미하는지 모르는 경우 굴절에 대한 페이지를 읽으십시오.

임계각 계산
보석의 임계각을 계산하는 것은 공식이 당신을 놀라게 할 수도 있지만 매우 쉽습니다.

\[임계\ 각도 = \arcsin\left(\frac{1}{n}\right)\]

여기서 n은 보석의 굴절률입니다.

실제 공식은 \(\arcsin(n_2 / n_1)\)이지만, 우리 보석학자들은 일반적으로 공기와 보석 사이의 임계각인 n2 = 1에만 관심이 있습니다.

이 공식의 계산은 간단하며 n = 1.54인 석영을 예로 사용합니다.

Windows 계산기를 사용할 때는 공학용 모드에 있는지 확인하십시오. 

그런 다음 다음 버튼을 누릅니다.

1
/
1.54
=
그런 다음 "inv" 확인란을 선택하고 "sin" 버튼을 누릅니다. 

그러면 대략적인 값이 40.493이 되므로 석영의 임계각은 40.5°(소수점 이하 1자리로 반올림)입니다.

코사인
직각 삼각형에서 모서리의 코사인은 사인과 유사하지만 이제 계산은 빗변으로 인접 변을 나누어 수행됩니다. 

코사인은 "cos"로 축약됩니다.

그림 \(\PageIndex{3}\)에서 4를 5로 나눈 값 = 0.8입니다

\[\cos = \frac{인접\ 변}{빗변} = \frac{4}{5} = 0.8\]

다시 사인과 마찬가지로 코사인의 역은 arccos 또는 cos입니다-1:

0.8을 입력합니다.

INV를 누르십시오.

프레스 COS

이렇게 하면 36.87도 되므로 각도는 36.87°로 유지됩니다(예상대로).

아크 코스 (cosA) = 아크 코스 (0.8) = 36.87(10.1.14)

접선
각도를 계산하는 세 번째 방법은 탄젠트(또는 "tan"으로 축약)를 통하는 것입니다. 

각도의 탄젠트는 반대쪽을 인접한 측면으로 나눈 값입니다.

\[\tan = \frac{반대\ 측면}{인접\ 측면}\]

그림 \(\PageIndex{3}\)의 경우 3/4 = 0.75 그림의 경우 가 됩니다. 

각도의 계산은 위와 같지만 arctan 또는 tan을 사용합니다.-1:

0.75를 입력합니다.

INV를 누르십시오.

tan 누르기

이것은 36.87이 되어야 하므로 이 계산 방법을 통해 모서리 A의 각도는 다시 36.87°입니다.

arctan (tanA) = arctan (0.75) = 36.87(10.1.16)
계산에 필요한 측면을 기억하는 간단한 브리지는 SOH-CAH-TOA 브리지입니다.

SOH = 사인-반대-빗변

CAH = 코사인-인접-빗변

TOA = 접선-반대-인접

도, 분, 초
우리가 도를 생각할 때 우리는 일반적으로 그것을 온도와 연관시키고 분과 초를 시간의 속성으로 간주합니다. 

그러나 삼각법에서는 원의 각도를 설명하는 데 사용되며 이를 라디안 값이라고 합니다.

완전한 원은 360도 또는 360°입니다.

모든 각도는 10 진수 세분화 대신 60 분 (시계와 같이)으로 나눌 수 있습니다.

회의록은 26'과 같이 '로 표기됩니다.

개별 분은 60초로 더 나뉘며 23''과 같이 ''로 설명됩니다.

처음에는 이상하게 보일 수 있지만 이해하기는 그리 어렵지 않습니다.

각도가 24°26'23''(24도, 26분 23초)인 경우 10진수 값은 다음과 같습니다.

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26을 60으로 나눈 값 또는 26/60 = 0.433°

23/(60 * 60) 또는 23/3600 = 0.0063°

이 합계는 십진수 값(다이아몬드 임계각의  임계각  십진수 값)에서 24 + 0.433 + 0.0063 = 24.439°입니다.

Brilliance - The Gemology Project

24.439°의 라디안 값을 계산하려면 다음을 수행합니다.

24는 24로 유지됩니다 (변경되지 않기 때문에)

60 곱하기 0.439 = 26.34로 0.439 곱하기 60이 몇 번이나 적합한지 찾으려고하므로 26 분 (0.34 남음)입니다.

초를 60 곱하기 0.34 = 20.4 (또는 초보다 낮게 계산하지 않기 때문에 20 초)로 계산합니다.

이렇게 하면 24°26'20'' 대신 24°26'(24° + 26' + 20'')가 됩니다. 3초의 차이는 이전 계산에서 소수점 이하 3자리로 반올림하여 발생합니다. 

보석학에서는 일반적으로 초를 언급하지 않으므로 ≈ 24°26'로 반올림됩니다.

이 지식이 자주 필요하지 않을 수도 있지만 기사를 읽을 때 혼란스러울 수 있으므로 최소한 그 존재를 아는 것이 중요합니다.

 값이 십진수로 제공되는 경우도 있고 라디안 값으로 제공되는 경우도 있습니다.

외부 링크

수학 입문

Java를 사용한 사인 정의 데모

Java를 사용한 코사인 정의 데모

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