Re:햇살누님 보세요..

우선 제가 지금부터 할 오염된 언어들로 풍경을 어지럽히게 될 것에 대해 사죄드리고요.. 즉 이하의 글은 햇살 빛살님의 고마운 답변에 대한 감사의 표시이니, 그점 유념(^^)해주시기 바랍니다. 햇살빛살누님... 우선 명쾌한 설명 감사드립니다. 몇가지 궁금증이 더 생겨서.. 답글을 쓰는데요.. ----------------------------- 첫 번째. 비율(분수로 나타낼수 있는 수)임에도 불구하고 왜 유리수가 안되는 것일까? 에 대해서 곰곰이 생각해 보았는데, 유리수는 정수와 정수의 비로 나타낼 수 있는 수 인데, 파이는 지름과 원주의 비이지만, 지름을 정수값으로 정하면, 원 둘레의 길이는 정수값이 되지않고, 원 둘레의 길이를 정수값으로 정하면 지름이 정수가 되지 않나봐. 그럼 비율이지만, 정수와 정수의 비율이 되지 않는거지. 그러니깐 실제로 존재하는 수이기 때문에 실수이지만, 유리수가 아니라 무리수가 되겠지. 그래서 고등학교때 무리수임을 증명하는 방법이... 유리수라고 가정하면 모순이 생기는 방법을 쓰나봐... 흠흠흠... ------------------------------- 라고 써 주셨는데요, 말씀하신 증명 방법 즉 귀류법을 정식화하면 아마 이러한 식이 되겠지요.. 1) 원주율이 유리수라고 가정하자.. 2) 원둘레=원주율*지름 이다. 3) 그런데 원둘레가 유리수이면 지름이 무리수더라.. 즉 2)의 식이 성립할 수 없다. 4) 그러므로 1)에서의 가정은 틀렸으므로, 원주율은 정수비로 나타낼 수 없는 무리수다.. 궁금한건 3)이 되는 과정 즉 원둘레가 유리수이면, 왜 반지름이 무리수여야 하는가가 궁금한것입니다. 즉 왜 하나가 유리순데 다른하나는 무리수여야만 하는가? 하긴 그러니깐... 원주율이 무리수겠지만요.^^ 3)의 증명 없이는 의혹이 완전히 풀릴것 같지는 않은데요.. 누님의 말씀을 듣고 보니 3)에 대한 직관적인 이해는 힘들고, 또한 3)을 증명하는것은 약간 기술적인 과정이 필요한것 같아서, 더이상 묻지는 않겠습니다. 그리고 중요한건 아니지만, 유리수는 정수와 정수의 비율말고, 정수와 유리수의 비율로도 나타낼 수 있지 않나요? ex> 1:2/5 = 5:2 그러므로 위에 써주신 식대로 하면 다음과 같은 반례가 가능하군요. 원둘레(정수)=원주율(유리수)*지름(정수가 아닌 유리수) 근사공식과 초월수에 대한것이 참 흥미롭군요.. 고등학교때 2제곱근의 근사값을 구하는 걸 배운걸로 기억하는데요(가물 가물..).. 왜 원주율 구하는 공식은 2제곱근과 같은 근사값구하는 방법으로 구하는 설명을 하지 않는지도 궁금했었거든요.. 원주율은 대수방정식으로 표현할 수 없는 초월수이기 때문에, 근사값 구하는 방법으로 구하기 어렵다는건 처음 알았습니다. 말씀을 들어보니 원주율을 구하는 방법은 여러가지가 있군요.. 오일러 급수, 라이프니츠 급수, 탄젠트를 가지고 구하는법, 미적분을 가지고 구하는법등 모두... 그 공식 유도 과정이 궁금하지만... 책을 찾아볼 만큼은 아니군요.. ^^ 찾아봐도, 공식들을 잘 이해하기 위해서는 다른 많은 노력들이 필요하겠지요..^^ 그리고 누님께서 설명하신 것중에서 불확정성 원리를 좌표상에서 실수의 정확한 계측불가능성과 연결하신 점에 대해서 한마디 하면은요.. 우선 저의 짧은 지식으로는 불확정성 원리는 전자보다 작은 소립자의 경우 소립자를 관찰하려면, 전자를 쏘아야 하는데(왜 물체를 보려면 빛같은 광선을 쏘아야 할것 아니겠어요), 전자를 쏘아서 위치를 파악하면, 전자보다 작은 소립자는 전자에 튕겨져서 그 질량을 파악하기 힘들고, 질량만 파악하자니, 소립자의 위치를 파악할 수 없겠다... 하는 거죠.. 그러니 어떤 소립자의 t시간에서의 위치와 질량을 한꺼번에 알 수 없다는거줘.. 그런식으로 우리가 어떤 공간에서의 소립자의 정확한 존재는 확률로써, 파악할 수 밖에 없다는게 불확정성 원리였던것 같습니다. 아인슈타인이 자신의 권위를 앞세워 '신은 주사위놀음을 하지 않는다.'는 말로 대답한것이 바로 불확정성원리를 두고 한말이였지요.. 그런데, 누님께서 불확정성 원리와 실수 좌표계에서 실수의 존재론을 연결시킨건, 좀 이상한데요.. 만일 불확정성 원리가 틀렸다면, 그러니깐 신이 주사위놀이를 싫어한다면, 우리는 어떤 단위 소립자의 위치와 질량을 파악할 수 있는데요. 만일 그렇다고 해도, 가장 작은 소립자의 위치와 질량을 파악한다고 해도.. 물리적 공간에 무리수의 점을 소립자로 찍을 순 없겠지요. 이는 비단 무리수 뿐 아니라 유리수에도 해당되는 문제인것 같습니다.. 1과 2사이의 무한히 많은 유리수들은 1센티미터내의 최소 소립자의 개수의 문제와 다르기 때문입니다. 즉 2제곱근뿐 아니라, 1과 2사이에서 1/2, 1/3, 1/4 라는 점을 찍는것도 문제가 된다는 거지요.. 고로 실수좌표계를 물리적 공간과 대응시키는 문제는, 불확정성 원리보다는 가장 작은 소립자의 존재 유무와 관련있겠는데요.. 요즘에는 초끈 이론 등 이상한 이론이 등장했다는 말만 들었지... 잘 모르겠습니다. 혹시 여기까지 읽으신 분중에서 아시는 분이 양자역학에 대해 잘 아시는 분이 있으시면 설명을 부탁드릴께요..^^ 불확정성원리가 떠오르신것도 무리가 아니라고 생각되는건, 미시세계에서의 물리적 측정불가능과, 수학적 측정 불가능사이에서.. '불가능'이라는 점에 대한 유비가 있을 수 있지요.. 말을 해놓구선, 인문학을 공부하는 사람이 뭔가 '지적 사기'를 치는 느낌이 드는군요.. 사족의 첫번째 다리. 원주율 소수 1000자리 까지 외워도 원의 넓이를 구하는데 도움이 되지 않는것처럼, 제가 하는 공부며 여타의 것들이 혹시 소수 1000자리까지 외우는데 지나지 않을까 하는 걱정이 듭니다. 사족의 두번째 다리. 3월 14일날 1시 59분 2초에 파이를 먹는게 좀더 근사하지 않나요.. 사족의 세번째 다리. 개구리 노총각을 누가 올렸는지를 아시면 더 재미있을 껍니다.^^ 사족의 네번째 다리. 그냥 메일로 보내시지요.. 민망하게시리..