고딩수학강의 로그 3편!

[F킬러]

 (1) 자연대수 e

 -e의 정의

 lim{1+(1/h)}^h [h->∞] (혹은 lim(1+t)^(1/t) [t->0])
 이 극한값이 수렴함이 알려져 있으며 이를 e라고 부른다.
 (약 2.72다.)

 이 숫자는 중요한 순간마다 나타나 우리를 구원해주니 기억해 두도록 하자.

 특히, e를 밑으로 하는 로그를 ln(LN이다. IN이 아니다.) 로 쓰며, 이를 자연 로그라고 한다.

 간혹 이 중요성때문에 어떤 옛날에 나온 도서를 보면 상용로그를 밀어내고 log의 형태를 사용하기도 한다. 그런경우 당황하지 말고 ln으로 가볍게 생각해 주자.

 (2)로그함수(이하 나오는 log는 모두 정의되기 적절한 밑과 진수를 가진다)

  -정의 
 f(x) = log_a x 
 의 형태를 가지는 함수 혹은 이를 평행이동한 모든 함수를 로그함수라고 부른다.

  -기본적 특징
  정의역 : 로그가 정의되는 범위로 한정된다.
  치역 : 실수 전체범위.
  점근선 : (f(x) = log_a x의 경우) x=0을 점근선으로 가진다.
  f(x) = log_a x 의 경우 a의 값에 상관없이 (1,0) 을 지난다.
  a>1 이면 증가함수, 0<a<1 이면 감소함수이다.
  f(x) = log_a x에서 lim f(x) [x->+0] 일때 a의 값에 따라 양의무한대 혹은 음의무한대로 발산한다.

 -주목할만한 함수 그래프의 성질 (f(x) = y)
  x축, y축 방향으로의 평행이동은 y = log_a (px+q) 꼴로 표현이 가능하다.
  y = log_a x 는 적당한 실수 k를 이용하여 y = k log_b x 의 꼴로 변형 가능하다.

  이의 증명은 로그의 기본 성질을 이용하면 간단히 할 수 있다. 연습문제로 남겨두도록 한다.

 -역함수
 로그함수의 역함수는 지수함수의 꼴로 나타난다.
 모든 로그함수는 rlog_a (px+q) 의 꼴로 변형 가능하므로
  f(x)= rlog_a (px+q) 를 x에 관하여 정리하면 x = [{a^(f(x)/r)}-q]/p
  역함수의 정의에 따라 역함수를 g(x) 라 하면
  g(x) = {a^(x/r)-q}/p
  이는 지수함수이다.

 -몇가지 로그함수의 그래프
 y = log x

 y = ln x

 y = log_(1/10) x

 y = log_x , y = x , y=10^x

 (3)로그의 극한에 관하여-①

 -로그의 진수부분에 함수가 나타날 경우의 극한값.
 일반적 증명은 ε-δ 논법을 통하여 가능하다고 하나, 고교과정에 나오지 않는 로그의 극한에 관한 매우!!!! 중요한 성질이 있다.

 진수로서 적합한 치역과 적합한 극한값 lim f(x) [x->t]를 가지는 f(x)에 대하여

 lim {log_a f(x)} [x->t] = log_a {lim f(x) [x->t]}
 
 가 성립함이 알려져 있다.

 -y = log_a x

  0<a<1 일때
 lim y [x->+0] = ∞
 lim y [x->∞] = -∞

  1<a
 lim y [x->+0] = -∞
 lim y [x->∞] = ∞

 정밀한 증명은 어차피 ε-δ 논법을 이용하여 진행해야 하므로 생략한다. 하지만 그래프를 통해 충분히 숙지하기 바란다.(다음에 기회가 있으면 증명해 놓도록 하겠습니다.^_^)

 -특이한 극한값
 최고차항의 계수가 양수인 n차와 m차의 다항함수 N(x) 와 M(x) 에 대하여
 lim {N(x) / M(x)} [x->∞] = n/m 이다
 증명은 연습문제로 남겨둔다.

 (4)연습문제

 ⓐ다음 세 명제를 증명하여라.

 ->x축, y축 방향으로의 평행이동은 y = log_a (px+q) 꼴로 표현이 가능하다.

 ->y = log_a x 는 적당한 실수 k를 이용하여 y = k log_b x 의 꼴로 변형 가능하다.

 ->최고차항의 계수가 양수인 n차와 m차의 다항함수 N(x) 와 M(x) 에 대하여
 lim {N(x) / M(x)} [x->∞] = n/m 이다

 ⓑ y=[logx]+1 를 10진수의 자리수에 주목하여 그 의미를 해석하라.

 상용로그가 아닌 2이상의 자연수 n 에 대하여 생각해보라.

 ⓒ다음 함수의 역함수를 구하여라

 ->f(x) = {e^x + e^(-x)}/2 (이 함수를 cosh x라고(쌍곡코사인) 한다.)

 ->h(x) = 7^(x+1)²(단, x≥-1 )

 읽어주셔서 감솨합니다. 다음은 로그함수의 마지막! 로그의 미분과 적분 들어갑니다.!

[PhibriJo]

호..고생하셨습니다(__)

[jys34]

오옷... 멋져요... 특히 로그의 극한... 하구 그래프가 멋있었어요.. 그래프는 뭘로 그리셨나요? (그러고 보니 예전에 쓰다가 지워진 Matlab이 생각나는... -0-;; ㅋㅋ)

[역전코드™]

로그 함수가 +0으로 갈수록 거의 y축과 수직이 되는군;;;; 멋져요 ~!

[한번만말하겠다!]

오~ 킬러님 멋집니닷 !

[F킬러]

으흐흐 ㄳ 그래프매티카라고 있더군요 ^^;

[ㅇHㄱiㅈi뽀]

아무도 이걸보고 공부 안한다 ㄱ-

[김용연[金龍淵]]

킬러님 -_-;; ε-δ 논법을 이용하여 증명해주세요 ㅋㅋ

[성은]

그건 용연님이 강의를....ㅋ

[Triple_M]

오우! 카이스트에서 출판한MathLetter 9권에 있는 것을 발견했는데... 너무 길어서 차마 여기에 적을 수 없습니다ㅠㅠ