동치관계와 분할, 기수, 군.환.체의 대수학적 의미, 대수학과 선형대수학의 차이, 대수학이란 무엇인가?

[폭풍속으로]

게시판 "수학 이야기" 에 있는 글을 퍼왔습니다. 도움이 되셨으면 좋겠습니다...

[동치관계와 분할, 기수, 군.환.체의 대수학적 의미, 대수학과 선형대수학의 차이, 대수학이란 무엇인가?]

1. 동치관계와 분할이 대수학에서 왜 필요한가?
☞ 동치관계는 수학에서 가장 중요하다고 할 수 있는 2개의 관계중 하나입니다.
나머지 하나는 바로 함수관계이지요.
대수학에서 사용되는 가장 중요한 동치관계는 잉여류의 개념입니다.
현재 스터디 교재로 사용되고 있는 Fraleigh의 대수학 책에는 2.3절에 잉여류의 개념이 소개되는데요, 그것이 대수학의 근간을 이루는 잉여구조의 개념으로 연결이 됩니다.
동치관계에 의한 동치류들의 집합이 다시 대수적 구조를 이룬다는 것이죠!
제1동형사상정리라는 것이 있습니다. 가장 중요한 몇안되는 정리중 하나입니다.
정의역의 군을 준동형사상의 핵(Kernel)로 잉여군을 만들면 상(Image)와 동형된다는 것입니다.
잉여구조는 대수학에서 가장 근간이 되는 것인데요, 군의 구조를 이해하기 위해서는 필수적으로 잉여구조를 알아야 합니다.
그런데 그런 잉여구조를 만들기 위해서는 동치관계와 동치관계에 의한 분할의 세포(cell)의 집합이 필요합니다.
그러므로 동치관계와 분할은 대수학을 공부하기위한 필수불가결한 요소라고 말할 수 있을 것입니다.

2. 자연수,정수,유리수,실수에 대한 기수(cardinality)를 구하는 과정은 왜 필요한가?
☞ 수체계는 대수학이든, 해석학이든 관계없이 모든 수학의 근간이 되는 부분입니다.
자연수를 Peano공리로 존재성을 보장한 후에 대수적인 방법과 해석적인 방법을 통해서 정수, 유리수, 실수, 복소수로 확장하는 것이죠.
이 부분은 자료실에 한글파일로 정리하여 이미 올려 놓았습니다.
기수(cardinality)라는 개념은 해석학이라고 하기보다는 오히려 집합론의 주된 연구 대상이라고 말할 수 있을 것입니다.
그러나 대수학에서도 기수는 상당히 중요한 위치를 점유하고 있습니다.
그것은 군이나 환의 분류에서 가장 기초적인 역할을 하기때문입니다.
주어진 군들을 동형관계로 분류할 때, 우선적으로 점검되는 것이 바로 기수(원소개수)이기 때문이지요.
스터디 교재의 2.4절, 3.2, 3.3절에 보면 동형인 군을 분류하는 내용이 나오는데요, 그때 상당히 중요한 역할을 하는 것이 기수의 개념입니다.
그러므로 기수개념 역시 대수학에서 상당히 중요한 기본개념이라고 할 수 있을 것입니다.

3. 군, 환, 체가 대수학에서 가지고 있는 의미는?
☞ [군, 환, 체는 대수학의 볼트와 너트이다]라는 말이 서문에 있습니다.
- 군이라는 것은 하나의 이항연산을 갖는 가장 일반적인 대수적 구조라고 할 수 있습니다.
결합적인 이항연산과 이항연산에 대한 항등원, 항등원에 대한 각 원소의 역원을 가지는 집합을 군이라고 합니다.
군보다는 공리가 약한 대수적 구조가 있는데요, 그것을 보통 반군(semigroup)이라고 합니다. 결합적 이항연산을 갖는 대수적 구조를 말합니다.
군과 반군이 대수학에서 중요한 이유는 많은 대수적 구조들이 그 하부구조로 군 또는 반군을 가지고 있기때문입니다.
실제로 환은 곱셈에 대한 반군이 되는 대수적 구조입니다.
즉, 가장 기본이되는 대수적 구조가 바로 군과 반군입니다.
군은 연산을 함수합성으로 갖는 치환군의 성질을 추상화한 것입니다.

- 환은 2개의 이항연산을 갖는 가장 일반적인 대수적 구조입니다.
환은 덧셈에 대한 가환군이라는 기본 구조를 가지고 있고 그 위에 곱셈을 다시 정의하여 곱셈이 결합적이고 덧셈과 곱셈의 상관관계를 말하는 분배법칙이 성립할 때, 환이라고 합니다.
환에는 두개의 연산이 있기때문에 행렬과 다항방정식을 정의할 수 있습니다.
환은 군과 마찬가지로 가장 기본적인 대수적 구조입니다.
즉, 2개의 연산을 갖는 대수적 구조는 그 하부구조로 환의 구조를 가지고 있습니다.
그리고 우리에게 친숙한 수체계인 정수도 환이라는 구조를 가지고 있습니다.
사실, 환이라는 대수적 구조는 정수가 가지고 있는 성질을 추상화한 것입니다.
환론에서 중요하게 다루는 것은 정역(integral domain)과 다항식입니다.
0이 아닌 두 원소를 곱하면 절대로 0이 되지 않는 구조가 정역입니다.
최소한 정역이라는 구조는 되어야 우리가 알고 있는 상식이 통합니다.

- 체는 2개의 이항연산을 갖는 대수적 구조중에서 성질이 가장 좋은 것입니다.
유리수, 실수, 복소수 집합은 통상적인 덧셈과 곱셈에 대하여 체라는 대수적 구조를 이룹니다.
우리 교재에서 다루는 체론은 체의 구조를 연구하는 것이 아니고 다항방정식의 해를 구하는 것으로 초점이 맞추어져 있습니다.
대수학의 오랜 주제였던 것이 바로 다항방정식의 해법이죠.
그러한 해법의 존재성을 연구하는 것이 체론이라고 할 수 있을 것입니다.

4. 대수학과 선형대수학의 차이는 무엇인가?
☞ 우리 스터디 교재의 8.6절에 보면 Module(가군)이라는 대수적 구조가 나옵니다.
이것이 바로 벡터공간(Vector Space)입니다. 벡터공간의 일반적인 형태가 바로 가군인 것입니다.
제가 알기로는 가군이론(Module Theory)이라는 분야도 있는 것로 압니다.
실제로 가군은 대수학의 주된 연구대상 중 하나입니다.
환위에서 가환군의 구조를 연구하는 분야가 바로 가군입니다.
그렇다면 대수학의 주제인 가군이 어떻게 독자적인 학문 형태로 발전되었을까요?
그것은 선형대수학이 가지고 있는 구조적인 깔금성(?)과 폭넓은 응용력때문일 것입니다.
제가 깔끔성이라고 한 것은 선형대수학의 각 정리에 대한 증명의 명료성때문입니다.
선형대수학의 정리가 명료한 것은 그 연구 대상 때문입니다.
선형대수학은 체위에서 가환군의 구조를 연구하는 학문입니다.
가환군은 1개의 이항연산을 갖는 가장 좋은 대수적 구조이고, 체는 2개의 이항연산을 갖는 가장 좋은 대수적 구조입니다.
가장 좋은 대수적 구조만을 연구하기때문에 증명이나 정리가 명료할 수밖에 없는 것이죠.
선형대수학의 응용성은 이루말할 수 없을 정도로 넓은데요, 단적인 예로 실해석학이나 미분기하학을 공부하는데에도 선형대수학의 내용이 없으면 어려움이 많이 있습니다.
선형대수학을 한마디로 말하라고 한다면, 일차함수인 Y=AX에 대해서 연구하는 학문이다 라고 할 수 있습니다.
다만 Y와 X는 벡터이고 A가 행렬이기때문에 내용이 어려운 것 뿐이죠...
결론적으로 선형대수학의 대수학의 한 분야로써 체위에서의 가환군의 구조를 연구하는 학문이라고 요약할 수 있습니다.

5. 대수학이란 무엇인가?
☞ 한마디로 요약하기는 어렵습니다만, 다항방정식의 해를 구하는 학문이 대수학이라고 해도 과언은 아니라고 생각합니다.
목차를 보시면서 잘못 생각했다는 느낌을 받으셨다면 이유는 간단합니다.
다항식의 해를 구하는데 왜 군이 필요한 것인가? 아마도 이런 의문이셨을 것 같습니다.
다항식의 해를 구하는 것과 군이 어떤 관계인가? 아니 어떻게 해서 관계가 있게 되었는가?
이 물음의 대답은 프랑스의 천재 수학자 E. Galois에게서 찾을 수 있습니다.
몇백년동안 다항방정식의 해를 구하는 것은 대수학, 아니 수학의 커다란 주제였습니다.
잘 아시겠지만 1차, 2차, 3차, 4차 다항방정식에 대한 대수적 해법이 존재합니다.
즉, 근이 공식이 있다는 것이지요.
참고로 많은 분들이 3차 다항방정식의 근의 공식을 카르다노가 발견했다고 알고 계시는데요, 카르다노는 3차 다항방정식의 근의 공식을 처음으로 출판한 사람입니다.
처음으로 3차 다항방정식의 근의 공식을 발견한 사람은 니콜로 폰타나(일명 타르탈리아)입니다.
니콜로 폰타나가 발견한 공식을 카르다노가 허락도 없이 출판한 것입니다.
아무튼 1차에서 4차 다항방정식에 대한 근의 공식이 있기때문에 5차에 대한 근의 공식도 생각할수 있을 것입니다.
많은 수학자들이 5차 다항방정식의 근의 공식을 찾으려다가 실패합니다.
왜냐하면 존재하지 않기때문이지요.
그것을 증명한 수학자가 바로 노르웨이의 천재 수학자 아벨입니다.
아벨은 5차 다항방정식의 일반적인 대수적 해법이 존재하지 않음을 증명하였습니다.
그렇다면 그 다음에는 어떤 5차 다항방정식이 대수적으로 풀 수 없을까 하는 것이 자연스러운 의문이 될 것입니다.
이 의문을 해결한 것이 바로 갈루아 입니다.
주어진 5차 이상의 다항방정식이 대수적으로 풀 수 있는지의 여부를 판단하는 방법과 대수적으로 풀수 있다고 판단된 다항방정식의 일반해법을 발견한 것이지요.
갈루아가 찾아낸 다항방정식의 풀이여부를 판단하는 방법에서 결정적인 역할을 하는 것이 바로 군입니다.
스터디 교재의 3.5 절에 소개되는 가해군(solvable)이 바로 그것입니다.
한명의 천재 덕분에 전혀 연관이 없었던 2개의 대수적 구조가 기가막히게 연결이 된 것이지요.