미분과 도함수(Differential & Derivative)

[조충연]

미분과 도함수(Differential & Derivative)

극한과 연속이라는 개념을 알아보았습니다. 그동안 미분이 궁금해서 오셨던 분들은 어서 미분이나 보여줬으면 하셨을겁니다..ㅎ 이제 극한의 개념을 가지고 미분을 하나씩 알아보겠습니다. 어? 연속은 어디서 쓰냐구요? 연속이라는 개념은 함수에서 미분가능성을 판별할 때 매우 중요하답니다. 실제로 물리, 천문을 공부하면서도 많이 접하는 개념이기도 합니다. 지금부터 극한의 개념을 통해 미분을 알아보도록 하겠습니다.

1. 평균변화율(average rate of change)

평균변화율을 살펴봅시다. 평균변화율은 임의의 함수에서 x가 변화했을 때 y가 얼마나 변했는지를 나타내주는 것입니다. 물리에서 평균속도와 같은 개념이죠. 더 자세히 알아보기 위해 예를 들어보겠습니다.

 

위의 그래프는 y=x^3을 그린 것입니다. 여기서 x의 변화량을 Δx라고 합니다. y의 변화량은 Δy가 되겠죠? X가 2에서 3으로 증가할 때의 Δx는 1이 됩니다. 그동안 Δy는 27-8인 19가 되지요. 평균변화율은 다음과 같이 나타냅니다. 참고로 Δx는 ‘델타 x (Delta x)’라고 읽습니다.

 

위의 식에서 가장 오른쪽에 있는 모양이 낯설 것입니다. 그러나 생각해보면 매우 쉽습니다. y의 변화량을 구하는 방법, 즉 27-8을 수학적으로 나타낸 것뿐입니다. 위의 그래프에서 x0는 2이고 평균변화율은 19/1 = 19입니다. 참 쉽죠?

2. 도함수(The Derivative)

위에서 알아본 평균변화율을 바탕으로 순간변화율을 알아보겠습니다. 순간변화율이란 어느 점에서 순간적으로 변화한 비율을 이야기합니다. 수학적으로는 다음과 같이 기술합니다.

   

위의 식을 천천히 이해해봅시다. Δx가 처음 평균변화율을 구할 때에는 1이였습니다. 그러나 이 크기를 점점 줄여나가기 시작합니다. 1에서 0.5로 다시 0.1로… 이런식으로 매우 작게 줄여나가면 결국 Δx는 0에 아주 가깝게 되고 따라서 2에서의 순간변화율이 될 것입니다. 극한의 개념을 잘 떠올리시면 됩니다. 이해를 돕기 위해 아래에 Δx가 점점 작아지는 그래프를 그려보았습니다.

 

이런 방법으로 한 점에서의 순간기울기를 구할 수 있습니다. 바로 이 기울기를 미분계수라고 하지요. 또한 위의 식2를 ‘함수f(x)에서 x0에서의 도함수(The Derivative)’ 라고 합니다. 도함수를 이용하면 자신이 원하는 함수에서 어떤 점에서의 접선의 기울기를 마음대로 구할 수 있지요. 바로 미분이란 이 도함수를 구하는 방법 혹은 수학을 말합니다.

3. 도함수를 나타내는 방법들

도함수를 나타내는 여러 수학적인 방법이 있습니다. 위의 2번 식처럼 쓰자니 너무 번거롭기 때문입니다.

   

보통 y나 f(x)위에 점을 긋는 방법(y’ f’(x) )으로 많이 씁니다. 가장 표현이 간단하기 때문입니다. 그러나 문제를 풀 경우 개념적으로 dy/dx 라는 표현 또한 자주 쓰게 됩니다. 가장 오른쪽에 있는 표현은 나중에 여러 변수를 가진 함수를 미분할 때 유용하게 사용됩니다. 이처럼 표현법이 많은 이유는 번거로움과 혼동을 피하면서 개념을 직관적으로 이해할 수 있는 방법들이 다양하기 때문입니다.  일반적으로 물리학에서는 시간에 대한 미분을 표현할 때 변수 위에 점을 찍어 표현하기도 합니다.

   

미분이란 바로 임의의 함수에서 도함수를 구하는 방법을 말합니다. 가끔 미분이라는 개념이 ‘잘게 썬다’ 라고 설명을 합니다. 이는 Δx가 0으로 매우 작아지는 모습이 꼭 x축이 잘게 썰리는 것처럼 보이기 때문입니다. 직관적으로 이해가 되죠?

지금까지 극한을 이용해 도함수를 구하는 방법을 알아보았습니다. 연습문제에서 도함수를 직접 구해보고 함수에서 어떤 점에서의 기울기를 계산해보겠습니다. 꼭 연습문제를 풀어보시길 바랍니다.

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질문 : 델타(Δ)와 d의 차이(박재민 별님)

델타(Delta, Δ)란 일반적인 변화량(혹은 값의 변화량)을 의미합니다. 보통 수학에서 델타를 사용할 경우 셀 수 있는 간격이나 일반적인 값의 차이를 말합니다.
그러나 d(dy/dx)의 경우에는 셀 수 없이 아주 작은 간격, 즉 델타에 극한이 붙어 셀 수 없이 작은 간격을 의미합니다. 이는 결국 미분을 의미하게 되지요.

추가로 설명해드리자면 d는 단독으로 쓰일 수 없으며 미분연산자(d/dx)형태나 전미분(dx, dy 한창 후에 나올 미분의 한 형태입니다.)의 형태로 쓰여야 합니다.