삼각측량

[선통박영수]

6장. 삼각측량

 측량 기법을 위치 결정 정확도에 따라 분류하면, “기준점측량(Control Surveying)”과 “세부측량(Detail Surveying)”으로 나눌 수 있다.

기준점측량: 정밀도가 높은, 지형 재현을 위해서 기준이 되는 점의 위치 결정을 위한 측량; 골조측량이라고도 부름

세부측량 : 기준점측량에 비하여 정밀도가 낮은 기법으로서, 세부적인 위치와 지형재현 및 객체묘사를 위하여 기준점을 기준으로 하여 행하는 측량

 기준점측량 방법:

1. 트래버스측량(Traverse Surveying) : 거리-각도 조합에 의한 유일해 좌표 결정 기법

2. 삼각망측량(Triangulated Network Surveying) : 삼각망 형태로 관측 망 을 조성하고 거리와 각도의 중복 관측에 의한 좌표 결정 기법; 예전에는 삼 각망 측량을 삼각측량과 삼변측량으로 구분하였으나, 현재는 구분의 의의가 거의 없어짐

(1) 삼각측량 (Triangulation) : 각도만 관측하는 측량 기법

(2) 삼변측량 (Trilateration) : 거리만 관측하는 측량 기법

3. GPS측량(GPS Surveying) : GPS 수신기를 사용하여 측점의 3차원 좌표 (수평위치와 타원체고: Horizontal Positions and Ellipsoidal Heights)를 얻는 측량 기법

 기준점측량과 조정은 측지측량(지구곡률을 고려한 측량)의 조건 하에서 실시되 어야 하지만, 투영된 평면직각좌표계상에서 계산 및 조정을 한 후 측지좌표로 환원하는 방법을 쓸 수도 있다. 즉, 측량대상지역 근처에 있는 기지의 삼각점(평 면직각좌표가 알려져 있는 삼각점)을 이용하여 측량하고, 미지점의 좌표를 계산 및 조정한 후 측지좌표로 환원하는 것이다.

 우리나라에는 국가평면직각좌표계가 있고, 이에 대응되는 미국의 평면직각좌표 계는 State Plane Coordinate System (미국의 평면직각좌표계: 미국은 주마다 좌표체계(투영법)이 다르다)이 있다.

 우리나라 평면직각좌표계를 현실 세계에 실현시킨 것이 우리나라 삼각점망 이며, 이에 대응되는 미국의 삼각점망은 NAD(North American Datum)라고 부른다.

 삼각망 측량”

- 기준점 위치결정을 위한 측량 기법으로서, 측점들 간의 관측 망을 삼각형 형태로 구성하고 측선의 길이와 측선 간의 각을 관측하여 측점의 좌표를 계산 하는 측량기법을 “삼각망측량”(Triangulated Network Surveying)이라고 한다.

- 측량요소인 각과 거리를 관측하여 대상 측점의 평면위치를 결정하는 기법 으로서 “트래버스 측량”과 동일하지만, “트래버스측량” 기법이 한 측선에 대하여 한 번의 수평각 관측과 한 번의 거리 관측을 행하여 측점 좌표의 유일 해를 구해 나가는 기법인 반면에, “삼각망측량”은 한 측점 좌표 계산을 위해 많은 잉여 관측이 이루어진다는 점이 다르다.

- 잉여관측이 많으므로 “트래버스측량”에 비하여 정밀한 결과를 얻을 수 있으 며, 따라서, 평면위치결정을 위한 지상 측량 기법으로서는 가장 높은 정밀도 를 가지는 기법이며 지상 측량에서 핵심이 되는 기법이다.

* 삼각망을 결정(삼각망의 위치, 크기, 모양, 자세의 결정)하기 위한 관측요소와 결정요소

관측 요소	결정 요소
각 관측	삼각망의 모양 결정
변 관측	삼각망의 모양 + 크기 결정
좌표 관측	삼각망의 위치 결정
방위각 관측	삼각망의 자세 결정

<표1. 삼각망의 관측요소와 결정요소>

* 삼각망을 결정하기 위해서는 삼각망 전체에 걸쳐서 <표>의 관측 요소가 조합 되어 4가지 결정요소가 모두 결정될 수 있어야 하며, 동시에, 각 측점에 대하여 2회 이상의 관측이 수행되어야 한다.

 모든 측선에 대해 변 관측을 한 경우는 각관측을 생략할 수 있다.

 삼각망에 2점의 기준점이 포함되면, 삼각망의 크기, 좌표, 방위각이 결정되었다고 할 수 있다.

- “삼각망측량” 기법은 다음과 같은 용도로 이용된다.

1. 국가 기준점을 측량할 때

2. 국가 기준점으로부터 사업 구역 인근으로 보조기준점을 내리고자 할 때

3. 항공사진측량 및 위성영상의 지상기준점(GCP: Ground Control Points) 이 필요한 때

4. DGPS 측량의 기지기준점이 필요한 때

 삼각망측량을 삼각측량(Triangulation)과 삼변측량(Trilateration)으로 구분 하기도 한다.

1. 삼각측량

 측점 간의 관측계획을 삼각망 형태로 구성하고, 측선 간의 각도만을 관측 하여 좌표를 결정하는 기법을 “삼각측량”이라고 한다.

 EDM이 출현하기 이전에는 거리관측이 매우 어려웠다. 즉, 각관측의 정밀도 가 거리관측의 정밀도에 비하여 훨씬 높았으므로 모든 측점에 관하여 각관측 으로 모양을 결정하고, 최소한의 정밀 거리관측으로 삼각망의 크기를 결정 하였다.

 각도만을 관측하면, 삼각망의 모양만 결정될 뿐, 크기, 위치, 자세는 결정되지 않는다. 따라서, 반드시 한 변 이상의 측선에 대한 거리 관측이 있어야 하며, 기준점 한 점과 방위각 관측도 있어야 한다.

 이 최소한의 거리관측을 위한 측선을 “기선(基線, Base Line)”이라고 하고, 삼각망의 크기 검사를 위한 검사용 잉여 기선을 “검기선(檢基線, Check Base Line)”이라고 한다. 한 두변의 측선 거리로 삼각망의 크기를 결정하게 되므로, 기선관측의 정밀도는 곧 삼각망 전체의 정밀도의 기본이 된다. 즉, 삼각측량에서는 기선관측의 정밀도가 가장 중요한 요소이기 때문에 “거리 측량”의 주요 적용 부분은 본 기선관측이 되었다. 그러나, EDM의 출현으로 거리관측이 정밀하면서도 쉽게 수행이 가능하게 되어서, 삼각망 결정에 다수 의 EDM관측을 포함시킬 수 있게 되면서, 기선관측의 의미는 거의 없어졌다 고 할 수 있다.

2. 삼변측량

 측점 간의 관측계획을 삼각망 형태로 구성하고, 측선 거리만을 관측하여 좌표를 결정하는 기법을 “삼변측량”이라고 한다.

 변 길이만을 관측하면 삼각망의 모양과 크기가 결정되며, 위치와 자세는 결정되지 않는다. 따라서, 기준점 한 점 이상 관측과 방위각 관측도 있어야 한다. 물론, 기준점이 2점 이상 포함되어 있다면 방위각 관측을 생략할 수 있다.

3. 삼각측량과 삼변측량의 비교

 어떤 삼각망에 대하여 삼각측량을 적용할 것인가 삼변측량을 적용할 것인가 의 논의에 대한 해답으로는 두 방법을 혼용하여, 즉, 각과 거리를 동시에 관측 하여 목표로 하는 좌표 정밀도를 만족하도록 해야 한다고 말할 수 있다.

 삼각망을 형성하고, 관측할 측량요소와 그 요소 관측 정밀도를 모의 (simulation)하여 수평망조정프로그램을 수행한다. 그 모의 결과물 중에서 좌표 정밀도, 즉, 오차타원을 분석하여 삼각망의 기하학적 형태를 바꾸거나, 장비의 성능이 좋은 것을 사용하거나, 각 또는 거리 관측(삼각측량 또는 삼변측량)을 추가하거나 하는 방법으로 반복해서 모의를 수행하여, 최적의 수평망기하, 장비와 측량요소를 선택한다.

 단순히, 각 관측과 거리 관측을 대비한다면, 다음과 같은 각과 거리관측의 정밀도를 고려할 수도 있다.

* 각과 거리 관측의 정밀도에 따른 미지점 위치 정밀도(예시)

- Total Station(TopCon GTS500 Series) 각도 정밀도: 1“

-> 관측거리를 km라고 하면, 오차거리: ( )

- Total Station(TopCon GTS500 Series) 거리관측 정밀도 : 2mm 2ppm

- 관측거리를 km라고 하면

각도 정밀도 = 4.8 (mm)

거리 정밀도 = 2mm2 (mm)

4.8 =2+2 ; 2.8 =2

(결론) 이 Total Station을 사용한다면, 0.7km 이내의 거리의 측점에 대해서는 각도관측이 더 정밀하고 0.7km보다 먼 측점에 대해서는 거리관측이 더 정밀하다.

가. 삼각망측량의 넓이에 따른 분류

- 측량 구역의 넓이에 따라 평면 삼각망측량과 측지 삼각망측량으로 구분한다.

- 측량의 정밀도을 으로 생각할 때, 직경 약22km 지역까지를 평면삼각망 측량으로 볼 수 있다.

- 측지삼각망측량으로 간주하는 구역에서는 삼각형을 “구면삼각형”이라고 부르며 그 내각의 합이 180°를 넘게 된다. 즉, 구면삼각형 내각의 합 = 이 되는데, 180° 보다 초과하는 을 “구과량(球過量, spherical excess)”라고 한다. 구과량은,

또는,

로 표현된다. 여기서, 는 구과량(라디안 단위), F는 구면삼각형의 면적, R은 지구 평균곡률반경, a, b는 구면삼각형의 두 변의 길이, C는 변 a, b의 사이각 이다.

- 한 변의 길이가 10km인 정삼각형의 경우 구과량은 약 0.2“, 한 변의 길이가 40km인 정삼각형의 경우 구과량은 약 3.5” 정도 이다.

나. 삼각망의 모양에 따른 명칭

(1) 단열삼각망

- 하천측량, 노선측량, 터널측량 등과 같이 폭이 좁고 거리가 먼 지역에 적합

- 거리에 비해 관측수가 적으므로 측량이 신속하고 비용이 적게 드는 반면 정밀도 는 낮음

<그림1. 단열삼각망>

(2) 사변형망

- 측점 개수에 비해 잉여관측이 많기 때문에 가장 높은 정밀도를 얻을 수 있음

- 대상 면적에 비해 관측량이 많아 다소 비경제적임. 특별히 높은 정밀도를 필요 로 하는 측량이나 기선 삼각망 등에 사용

<그림2. 사변형망>

(3) 유심삼각망

- 대상지역의 중앙 부근에 측점을 둠

- 넓은 지역의 측량에 적당. 정밀도는 단열 삼각망과 사변형 삼각망의 중간정도임

<그림3. 유심삼각망>

(4) 격자형 삼각망

- 특별한 형태로서의 명칭을 부여할 수 없고, 시준선이 이루는 형태가 복잡한 일반적 삼각망을 통칭하여 “격자형 삼각망 ”또는 "네트웍 삼각망"이라고 한다.

다. 삼각측량 수행

- 계획, 답사, 선점, 조표, 관측, 조정 및 계산의 순서로 삼각망 측량을 수행한다. 삼각측량을 수행하므로써 기선 관측이 필요한 경우에는 기선의 선점과 기선 관측이 정밀도를 결정하는 가장 중요한 요소가 된다고 할 수 있다.

(1) 답사와 선점

- 답사에서 파악해야 할 것:

 작업조건(지형 및 피복 상태, 접근 용이성, 도로 및 민가와의 근접 여부, 작업난이도, 삼각점과의 근접 여부, 기선 설치 가능 위치)

 선점계획(측량 목적, 요구 정확도, 작업조건)

- 기선 선정에서 고려해야 할 사항

 평탄한 지형

- 삼각망의 변장과 거의 동일한 직선거리를 확보할 수 있는 지점, 또는 기선증대 를 통하여 삼각망의 한 변에 연결이 가능한 위치

- 기선상의 모든 점이 서로 시통이 되는 직선상의 점이 되어야 함

- 삼각점과의 연결이 용이한 점

- 측점 선점에서 고려해야 할 사항

- 각 측점이 서로 시통이 가능해야 하며, 삼각형이 정삼각형에 가깝도록(내각이 60°에 가깝도록) 한다. 내각이 30°보다 작거나 120° 보다 크게 되는 위치는 피한다.

- 장비의 거리 및 각도 관측 정밀도를 고려하여, 예상되는 거리와 각도 조합이 비슷한 정밀도가 되도록 위치를 정한다.

- 기타 견고한 지반, 연결 작업의 용이, 시준선 상의 방해물, 자동차 또는 일반인 의 통행, 벌목량 등을 고려한다.

(2) 조표: 측점 표지 설치를 “조표”라고 한다.

(3) 관측

각 관측은 세오돌라이트로 수평각과 수직각을 관측하며, 거리관측은 일반적으로 EDM을 사용한다.

(4) 조정 및 계산

- 관측된 측점 간의 거리와 측선이 이루는 수평 각도를 이용하여, 수평망조정 프로그램으로 각 측점의 좌표를 계산한다.

- 간단한 삼각망의 경우는 수계산으로 계산할 수 있는데, 이때는 조건방정식에 의해 관측 자료를 조정하고, 방위각계산에 이은 측점 좌표를 계산한다.

라. 관측각 조정

- 제4절 “각 관측”에서 설명한 관측 기법중 하나의 기법을 사용하여 관측하는데, 삼각망측량에서는 대체로 “정밀각관측법” 또는 “방향법”을 사용한다.

(1) 편심관측과 계산

- 각 관측에서 측점의 위치에 타겟을 세우지 못하는 경우(이때는 장비도 세우지 못한다고 간주), 또는, 타겟은 세울 수 있으나 장비를 세우지 못하는 경우가 발생할 수 있다.

<그림4. 편심관측>

- <그림>에서, 각도 c를 관측하고 싶지만 상황에 의하여 c를 관측하지 못하게 된 경우, 측점 C에 인접한 곳에 점 C'을 설치하여 관측이 가능한 모든 자료를 관측 하여 c를 계산해 내는 기법을 “편심관측” 기법이라고 한다.

- 측점 C와 편심점 C'에서 관측 가능한 요소가 무엇인가에 따라 계산하는 방법이 달라진다.

- 예를 들어, 측점 C에 타겟설치는 가능하고 세오돌라이트 설치는 가능하지 않아 서 편심점 C'을 설치하였다면, 변 AC와 변 BC의 거리관측과, c'과 d 각도관측, 변 CC' 거리관측이 가능하다. 이때의 기하학적인 각도 관계을 보면,

이 식에서 x와 y를 구하면, c를 계산할 수 있다.

x와 y는,

로 구할 수 있다.

(2) 관측각 조정

- 관측 자료(거리와 각도)를 이용하여 측점의 평면 좌표를 구하는 것이 삼각망 측량의 최종 목표이며, 일반적으로는 최소제곱법의 해를 구현한 수평망조정 프로그램으로 처리한다. 이것을 “엄밀계산법“에 의한 계산이라고도 한다.

- 여기서는, “간편계산법”에 의한 계산 방법을 기술하였는데, 트래버스계산에서와 마찬가지로,

 각 측선의 방위각 계산

 sin 법칙과 cosine 법칙에 의한 변 길이 계산

 좌표 계산의 순서를 따른다.

- 방위각 계산에 앞서 관측된 각도를 먼저 조정하는데, 삼각망이 삼각형의 조합인 것에 착안하여 여러 기하학적인 조건을 만족하게 하는 방법으로 각도를 조정 한다.

- 각도조정을 위하여 삼각망에서 만족되어야 할 기하학적 조건으로는 다음의 5가지가 있다.

 측점조건

한 측점의 둘레각이 모두 관측되었다면, 그 중심각의 합은 360° 가 되어야 한다. 또는, 각각 관측된 두 각이 합하여진 각을 관측하였다면, 각각의 관측 각도의 합은 합각 관측값과 동일하여야 한다.

 도형조건

 각조건

 변조건

 방위각조건

 좌표조건

- 기하학적인 각도 또는 거리의 계산에서 잉여관측이 있는 경우에 위의 조건이 나타나게 되며, 이 조건을 수식으로 표현한 것을 “조건방정식(Condition Equation)”이라고 한다. 즉, 한 개의 삼각형에서 2개의 내각만 관측하면 기하학 적인 삼각형의 모양은 결정이 되지만, 만일 다른 1개의 내각도 마저 관측하였다 면, 그 3개 내각의 합은 180° 가 되어야 한다는 “각조건”이 발생하게 되고,

라는 “각조건방정식”을 조성할 수 있게 된다.

- 조건방정식의 수는 잉여관측의 수와 동일하다.

(가) 조건식 수

 조건식의 총수(잉여 관측의 총수)

- S개의 삼각점일 경우,

미지수의 개수 = 2S - 3

* 1점의 절대좌표(x,y)와 삼각망의 자세(즉, 다른 한점의 x 또는 y좌표)가 알려진 것으로 간주하여, 총 미지수 2S개에서 3개의 미지수를 소거하였음

- n개의 서로 다른 각 관측과 L개의 서로 다른 변 관측이 있었다면,

관측수 = n + L

- 따라서, 조건식 총수 = n + L - (2S - 3) = n + L - 2S + 3

 측점조건식 수

- 한 측점의 둘레가 완전히 ‘각측량’이 되었을 때 = 1

- 중복되게 각 측정이 되었을 때 = 1

 각조건식 수

n - (개별 삼각형이 결정되기 위한 최소의 각 수)

* 별해

- 변의 수 :

- 편관측 변의 수 : <- 각이 변의 한쪽에서만 관측된 경우

- 각조건식 수 :

 변조건식 수

- 개의 변

- L개의 변관측(기선, 검기선 관측)

- 측점 1개를 결정하기 위해서는 2개의 측선이 필요하다. 단, 처음 출발의 선(기선)은 제외한다.

- 미지수 = 2S - 3

- 관측수 = + (L - 1)

- 따라서, 변조건식 수 = ( + L - 1) - (2S - 3)

= + L - 2S + 2

 방위각조건 수

- 방위각이 1회 관측되었을 때 = 1

 좌표조건 수

- 좌표가 알려졌을 때 (x방향 좌표 = 1, y방향 좌표 = 1)

조건식수 계산 예제

(예제1)

<그림5. 단삼각형>

- 총 조건식수 = n + L - 2S + 3 = 3 + 3 - (2 * 3) + 3 = 3

㉮ 각 조건식 수 = 3 - 2 = 1

* 별해 = 3 - 0 - 3 + 1 = 1

㉯ 변 조건식수 = ( + L - 1) - (2S - 3) = (3 + 3 - 1) - (2 * 3 - 3)

= 2

(예제2)

<그림6. 유심삼각망>

- 총 조건식수 = n + L - 2S + 3 = 8 + 1 - (2 * 4) + 3 = 4

㉮ 측점 조건식 수 = 1

㉯ 각 조건식 수 = 8 - (3*2) = 2

* 별해 = 6 - 1 - 4 + 1 = 2

㉰ 변 조건식 수 = (6 + 1 - 1) - (2 * 4 - 3) = 1

(예제3)

<그림7. 복합유심삼각망>

관측자료 (변수( = 19, 측점수(S) = 10, 변 관측(L) = 2, 각 관측수(n) = 30)

- 총 조건식수 = n + L - 2S + 3 = 30 + 2 - 20 + 3 = 15

㉮ 측점조건식 수 = 2

㉯ 각 조건식 수 = 30 - (10*2) = 10

* 별해: = 19 - 0 - 10 + 1 = 10

㉰ 변 조건식 수=( + L - 1) - (2S - 3)= (19 + 2 - 1) - (2 * 10 - 3) = 3

(예제4)

<그림8. 사변형망>

- 관측자료 (측점수 S = 4; 변수 = 6; 각 관측 n = 5; 변 관측 L = 1; 편관측 변수 = 3)

- 총 조건식수 = 5 + 1 - (2 * 4 - 3) = 1

㉮ 각 조건식수 = 6 - 3 - 4 + 1 = 0

㉯ 변 조건식수 = (6 + 1 - 1) - (2 * 4 - 3) = 1

조정 예

 단삼각형(독립된 삼각형) 각조정

<그림9. 단삼각형 >

관측각 : 잔차 :

각조건 방정식 1 개:

(폐합오차)

* 각 조정

조정각

* 각조정에 이어서, 방위각 계산, sin법칙에 의한 변 길이 계산, 위거 및 경거 계산을 완료한다. 기지점의 좌표에 위거와 경거를 더하여 미지점의 좌표로 한다.

 단열 삼각망 각조정

<그림10. 단열삼각망>

- 관측자료: 측점 = 6; 변수 = 9; 각관측 = 12; 변관측 = 2; 편관측변수 = 0; 방위각관측수 = 2

- 총조건식수 = 12+2+2 - (2*6 - 3) = 7

㉮ 각 조건식수 = 12 - (4*2) = 4

* 별해: (9-0-6+1) = 4

㉯ 변 조건식수 = (9+2-1) - (2*6-3) = 1

㉰ 방위각 조건식 수 = 2

조정:

 제 1 조정(4개의 각 조건에 대한 각조정)

삼각형 4개에 대하여 단삼각형의 조정과 같은 방법으로 조정한다.

* 조정의 결과는 개별 삼각형의 내각의 합이 180°가 되도록 한 것이다.

 제 2 조정(2개의 방위각 조건에 대한 각조정)

* 방위각을 조정하여야 하는데, 본 삼각망이 좁은 구역이라고 가정하면 점A와 점E에서의 진북 방향이 동일하다고 할 수 있다. 따라서, 조정과정의 이해를 위하여 “방향각”이라는 용어를 사용한다.

- S1의 방향각 : T0 + 180 +

S2의 방향각 : S1의 방향각 - 180 - = T1‘

S3의 방향각 : S2의 방향각 - 180 + = T2‘

. . .

최종 계산된 측선 EF의 방향각을 Tb‘ 이라고 하면,

폐합오차() = Tb‘ - Tb

- 본 폐합오차에 가 n개 관련되었다면 만큼씩을 배분하여 를 조정하는데, 위 연산식의 부호에 따라 더하거나 뺀다. 즉, 폐합오차가 +로 나왔다면, 은 작아지도록, 는 커지도록 조정한다.

- 의 조정에 따라, 제1조정에서 결정되었던 를 다시 조정하여야 하는데, 에 의해 삼각형 내각의 합이 달라진 만큼을 에 씩 더하거나 빼어서 조정한다.

 제 3 조정(1개의 변조건에 대한 각조정)

- sin법칙에 의하여,

가 되므로, 결국, 측선 EF의 계산된 측선 길이

가 된다. 따라서, 관측된 길이 b를 기준으로(정답으로) 보아서 만큼의 불일치가 발생하게 된다.

- 이 불일치량을 해소하기 위해서 각도 를 얼마만큼 보정해야 하는지를 계산하여야 하는데, 간이조정법에서는 에 동일한 량을 조정하여, 즉, 와 같이 조정하여 삼각형의 내각의 합이 달라지지 않도록 한다.

라고 하면

로서 가 계산된다. 여기서, 는 제2조정까지 조정된 값을 대입한 값이다. 이 가 0가 되도록, 즉, 가 되도록 하여야 하는데, 요구되 는 R의 변화량은 이다.

- 여기서, Ro에 대하여 에 +1“의 조정을 하였을 때의 R를 이라고 하고,

로 계산하면, Ro에 대하여 에 +1“의 조정을 하였을 때의 변화율은,

가 되며, 요구되는 S의 변화량에 이르기 위한 조정량, 는,

이 된다. 여기서, 이 1보다 큰지 작은지, 가 1보다 큰지 작은지에 따라서 조정량의 부호를 결정해야 한다.

마. 삼각측량 계산

각조정이 완료된 후, 미지점의 좌표를 구하기 위해서는 변장계산, 방위각계산, 좌표계산의 절차를 거친다.

(1) 변장 계산

변 길이가 알려진 어떤 측선에서 출발하여, sin법칙을 이용하여 삼각망 모든 변의 길이를 계산한다.

(2) 방위각 계산

방위각이 알려진 어떤 측선에서 시작하여, 조정된 각을 이용하여 삼각망 모든 변의 방위각을 계산한다.

(3) 좌표 계산

좌표가 알려진 측점을 측선 시작점으로 하여, 측선의 변장과 방위각으로 위거와 경거를 구하고 앞 측점의 좌표에 구한 위거와 경거를 더하여 측선 다른 쪽 측점 의 좌표로 한다. 이 측점을 시작점으로 하여 다시 동일 과정을 반복하여, 모든 측점의 좌표를 계산한다.

* 변관측(삼변측량)에 의한 좌표계산

 변장을 관측하여 삼각형을 결정하고, 각도, 좌표, 면적 등을 결정하는 경우에 유용한 삼각함수 및 방정식으로는 사인법칙, 코사인법칙, 변공식 등이 있다. 측점 A, B, C가 이루는 꼭지점 각을 각각 A, B, C라고 하고, 그 꼭지점에 마주 보는 변을 각각 a, b, c라고 하면,

 사인법칙(sin law)

 코사인법칙(cosine law)

, 또는,

 변공식

삼각형 면적 =

 변장이 관측된 경우에는 이 공식들을 이용하여 삼각형 내각을 구하고, 다시 방위각으로 환산한 후, 트래버스 계산에서와 마찬가지로 측점의 좌표를 계산 한다.

바. 삼각점 성과표

- 우리나라 평면위치의 기준으로서, 지상에 설치된 삼각점의 집합을 “국가 삼각점 망(Datum)”이라고 한다.

- 삼각점에 대한 최종 성과를 정리하여 표로 만든 것을 “삼각점 성과표”라고 하는 데, 현재는 “수준점 성과표”와 함께 통털어서 “기준점 성과표”라고 부른다.

- 우리나라 삼각점은 일제 강점기에 수행된 “삼각측량”에 의한 성과를 사용하여 왔으나, 최근에 모든 삼각점에 대한 “삼변측량”을 수행하여 그 계산 결과를 재 고시하였다.

삼각점 등급	평균 변장	내각 기준
1등	30km	60°
2등	10km	30° ~ 120°
3등	5km	25° ~ 130°
4등	2.5km	15° 이상

- 우리나라의 경우는 1등, 2등, 3등, 4등 삼각점이 있으며, 등급에 따른 변장의 길 이와 내각 기준은 다음과 같다.

<표 삼각점 등급에 따른 기준>

- 기준점 성과표에 기록된 항목은 다음과 같다.

1. 기준점의 등급 및 점의 종류(예: 4등 삼각점; 1등 수준점)

2. 점의 부호 및 명칭(예: 466 원천; BM 15)

3. 성과표 번호

4. 수준점경선 및 점번호(예: 교15)

수준측량의 경로(수준망 번호) 및 수준점의 번호

* 수준점의 경우에만 해당함

5. 1:50,000 도엽번호 및 명칭(예: NJ52-9-19 수원)

점이 위치한 도엽의 명칭

6. 점의 소재지(예: 경기도 수원시 원천동 재말)

점 소재지의 주소

7. 토지소유자 주소 및 성명

8. 약도 및 점 위치에 대한 묘사

9. 관할경찰서 및 파출소(예: 수원경찰서)

10. 관측년월일 및 관측자, 매설년월일 및 매설자, 조제년월일 및 조제자, 점검년월일 및 점검자, 비고

11. 경위도

- 측지좌표로서 경위도좌표를 o, ', “ 로 표시; 초 단위는 소수 이하 4자리까지 표기 가능

- 위도는 B, 경도는 L로 표시

12. 직각좌표, 좌표원점

- 우리나라 평면직각좌표계상의 좌표로서, 자오선 방향을 X, 자오선에 직각인 동쪽 방향을 Y로 표기

- 좌표원점은 서부, 중부, 동부원점 중에서 하나로 표기

13. UTM 직각좌표

52S 좌표계에서의 좌표로서, N(Northing)과 E(Easting)으로 표기

* 경위도, 직각좌표, UTM 직각좌표는 삼각점의 경우에만 기재

14. 표고

- 수준점의 표고는 1등 또는 2등 수준점의 허용오차 이내의 정밀도를 가진 표고 기재

- 삼각점의 표고는 일부를 제외하고는 삼각형의 변장과 연직각을 사용한 계산에 의한 표고이므로, 수준점과 동일한 정밀도의 표고로 생각해서는 안된다.

15. 진북방향각(자오선수차: Convergence of Meridian)

- 이 점에서의 진북방향(자오선 방향)이 도북 방향으로부터 벗어난 각도를 삼각점의 진북방향각(진북의 방향각)이라고 한다. 여기서의 도북은 평면 직각좌표 원점에서의 자오선 북쪽 방향이다.

- 삼각점이 원점의 동쪽에 위치할 때는 -, 서쪽에 위치할 때는 + 부호를 가지게 된다.

16. 평균방향각(Mean Direction Angle)

- 이 삼각점에서 어떤 다른 삼각점에 이르는 방향각을 나타낸다.

- 이 방향각을 방위각으로 바꾸기 위해서는, 방향각에 진북방향각을 빼주면 된다.

17. 거리의 대수(Logarithm of Distance)

이 삼각점에서 어떤 다른 삼각점에 이르는 변장에 log10을 취한 값이다.

18. 기록 및 평가

삼각점에 대한 특기 사항, 조사 및 설치 사업명, 표석 실태조사 결과 등을 기재

예) 경도(L)에는 10.405“를 가산하여야 함.

예) 표석이 약간 파손되었으나 위치 손상은 없음, 동북 측면에 대삼각점이라고 표기 되었음