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정리 3.1 |
【증명】
이므로
를 얻는다. □
함수 가 미분가능하면 도함수 는 또 하나의 함수가 된다. 만일 이 함수 이 미분가능하면 의 도함수를 의 2계도함수(second derivative)라 하고 으로 나타낸다. 다시 이 미분가능하면 의 도함수를 의 3계도함수(third derivative)라 하고 으로 나타낸다. 일반적으로 가 번 미분가능하면 번째 얻어지는 도함수를 의 계도함수(n-th derivative)라 하고 으로 나타낸다. 흔히 2계 이상의 의 도함수를 통틀어 고계도함수라고도 하며 다음과 같은 기호를 쓴다.
【예제4】 함수 에 대하여
,
,
이다.
정리 3.2 |
【증명】
의 어떤 근방에 대하여
인 함수 를 정의하자. 이때 미분가능성으로부터 가 성립한다. 또한,
이므로 가 성립한다. 그러므로 는 에서 연속이다. □
【예제5】정리3.2의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 함수 는 에서 연속이지만 예제2에 의하여 미분불가능이다.
미분가능한 함수 에 대하여, 이 곡선 위에 두 점 를 잡고 이 두 점의 좌표를 각각 라 하면 그에 대응하는 좌표는 가 된다. 에서 축에 수선을 내리고 그 발을 이라 하고, 에서 축에 평행선을 긋고 선분 와의 교점을 이라 하면
직선 가 축과 만나는 각(양의 각)을 라면
여기서, 으로 하면 가 되어 직선 는 점 에서의 접선 T에 한없이 접근하며 에서의 접선이 축과 이루는 각을 라 하면
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[그림3-2] |
이다. 따라서 미분계수 은 에서의 접선의 기울기가 된다.
만일 이면
즉, 점에서의 접선은 축에 평형하며 이 때 는 무한대가 된다. 또 는 곡선 상의 각 점에 있어서의 기울기를 표시하므로 의 에서의 접선의 방정식은
이고, 법선의 방정식은
【예제6】 위의 점 에서의 접선 및 법선의 방정식을 구하여 보자. 예제3에서 이므로, 이다. 따라서 접선의 방정식은
또는
이고, 법선의 방정식은
또는