§1 부정적분
함수
를 도함수로 갖는 함수
를 생각하여 보자. 함수
가 주어졌을 때
가 되는 임의의 함수
를
의 원시함수 또는 부정적분이라 한다. 예를 들어 함수
에서
이므로 함수
은
의 원시함수가 된다. 일반적으로 함수
가
의 원시함수이고,
는 임의의 상수
이면
이므로
와
는 모두
의 원시함수이다. 이 사실의 역도 성립함을 다음 정리를 통하여 알 수 있다.
【증명】
새로운 함수
를 구간
에서
로 정의하면 가정으로부터
이므로 적당한 상수
가 존재하여 구간
에서
, 즉
가 된다. □
의 부정적분은 무수히 많으며, 그 중에서 한 개의 부정적분을 알면 다른 것은 어떤 상수를 더하여 얻어진다는 것을 알 수 있다. 이때
의 부정적분은
라는 기호로 나타낸다. 또
의 부정적분은 어떤 부정적분
에 어떤 상수
를 더하여 얻어지므로
(
는 적분상수)
로 표시한다. 함수
가 주어졌을 때, 그것의 부정적분을 구하는 것을
를 적분한다고 하고 그 계산법을 적분법이라 한다.
미분공식으로부터 다음 적분의 기본공식이 성립함을 알 수 있다.
는 상수)
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