스크랩 [정보] ＜오르비 펌＞ 수학 응용문제를 잘 풀고싶다??

[잉글리쉬 페티셔]

-unique님 글 퍼왔음..  아는 의대다니는 형도 이런 공부방법 말 했던거 같은데..어쨌든 굉장히 도움되는 글 ㅋ

이건 많은 학생들이 고민하는 주제중 하나죠. 그리고 많은 학생들이 그 해결책을 찾기위해 고난이도 문제집, 응용력을 키울수 있는 문제집을 풀곤합니다. 물론 응용문제를 잘 풀기위해선 난이도있는 문제들을 많이 풀어보는게 좋겠죠. 하지만 그 전에 자신이 알고있다고 생각하는 개념을 정말로 제대로 알고있는지 스스로에게 물어볼 필요가 있습니다. 아무리 기초적인 문제라 할지라도 왜 그렇게 푸는지에대한 철저한 탐구과정이 없으면, 고난이도 문제집 풀이 또한 단순히 문제유형 외우기에 지나지 않게되기때문이죠. 그리고 새로운 유형이 나올때마다 당황하게 되고...

수리적 사고력을 기르는 방법은 생각을 많이하는 방법밖에 없습니다. 자기가 알고있다고 생각하는 개념도 정말로 스스로 잘 알고 있는지 계속묻고 답하고, 모르는거 다시 찾아보고 해야죠. 자기가 알고있는 것같아도 스스로에게 질문해보면 모르는 것 투성이일 것입니다. 그것을 하나하나 매꿔갈때 응용력은 키워지는 것이구요.

다음문제들은 대부분의 문제집에 있는 가장 기초적인 문제들입니다. 아마 스스로 개념을알고있다고 생각하시는 분들은 다 풀수있는 문제들일 것이라 생각되구요. 하지만 제가 지금부터 할 질문에 얼마나 답할 수 있는지 스스로 체크해보기 바랍니다. 수학에서의 개념이란 이러한 모든 것들을 완벽하게 답할 수 있을때 비로소 제대로 알고있다라고 할수 있겠죠. 제가 여기에 제시하지 않은 것이라도 하나하나 다 따져가면서 그 이유를 알아갈때 비로소 응용력은 키워집니다.

1. 3^100은 몇자리 수인가하는 문제구할때 상용로그를 쓰죠. 왜 그렇죠?
   지표에다가 1을더하면 자리수라서? 그럼 그건 왜그렇죠?

2. 3^100의 최고자리 수를 구할때역시 상용로그를 씁니다. 왜 그렇죠?
    반면 일의자리수를 구할때는 상용로그를 쓰지않고 다른방법을 쓰죠.
   왜 그렇죠? 상용로그를 써서는 구할 수 없는 것일까요? 있다면 어떻게
   할 수 있는지, 없다면 왜그런지 생각해보세요.

2. 원순열은 (n-1)!로 구하죠. 왜 그렇죠? 이 이유를 모르면 원순열문제의
   70~80%는 해결하지 못합니다. 저 원리에서 파생된 문제가 무궁무진하거든요.

3. 편지 5개를 우체통 3개에 넣는 방법은 각 편지가 들어갈수있는 우체통이 3가
   지이므로, 3*3*3*3*3=243으로도 구할 수 있지만, 이 문제는 중복순열의
   가장 기본적인 예제로도 등장합니다. 3∏5는 어떻게해석해서 센 것일까요?
   그리고 처음 구한 방법과의 차이점은 무엇이죠?

4. 계수가 복소수인 이차방정식에 근의 공식은 쓸 수 있을까요? 판별식은?
   판별식은 어떻게해서 나온식이죠? 왜 그 값이 실근이 개수에 영향을 미칠
   까요? 근의 공식이 어떻게 나온식이고, 판별식이 어떻게 나온식인지를
   알면 답은 자명해 집니다.

5. (이과생에게만 질문) 10-가나 부등식에 나오는 코시슈바르츠 부등식은
   수2에 나오는 벡터와 매우 밀접한 관련이 있습니다. 어떠한 관련이 있을까요?
   코시슈바르츠 부등식의 등호조건이 직관적으로 왜 그런지 설명해보세요.

6. 중학교때 배우는 피타고라스 정리는 고등학교 내용에서 두가지 형태로 일반
   화가 됩니다. 한가지는 10-가나 삼각함수에 등장하고, 한가지는 수2 공간
   도형에 등장하죠. 과연 무엇일까요?

7. f(x)=g(x)의 방정식을 풀때, 종종 y=f(x)와 y=g(x)의 교점을 찾는 경우가 있습
   니다. 왜 저 두 그래프의 교점은 방정식의 해가 될까요?

8. 10-가나 정석책 삼각함수부분에보면 각변환시킬때, 90도*(홀수)이면 모양이
   바뀌고, 짝수이면 모양이 그대로고, 얼싸탄코해서 부호따져주고 머 그런 공
   식이 있습니다. 왜 그런 공식이 나왔을까요? 다른 방법으로 쉽게 할수 있는 방
   법은 없을까요? 그리고 한가지만 질문하겠습니다.
   sin(90도+120도)는 90도*(홀수)니까 cos으로 바뀌고, 주어진 각이 3사분면이
   니까 -cos(120도)일까요? 예라고 답하신 분은 책을 다시 보시기 바랍니다.

9. (이과생에게만 질문) ↓평면에서라는 조건 추가-^^
    두 정점으로부터 같은거리(1:1)에 있는 점들의 집합 ->두 점의 수직이등분선
    두 정점으로부터 m:n(m≠n)거리에 있는 점들의 집합 -> 원
    한 정점과 정직선으로부터 같은거리에 있는 점들의 집합 ->포물선
    한 정점과 정직선으로부터 m:n(m≠n)거리에 있는 점들의 집합 -> ?????

10. (이과생에게만 질문)
    원추곡선(원뿔곡선)을 평면으로 자를때 나오는 모양은 원,타원,쌍곡선,포물
    선중 하나가 된다. 왜 그런가? 어떻게 자를때 각각의 모양이 나오는가?
   ->참고로 이문제는 내가 서울대 정시면접볼때 받았던 질문이다.

11. 복소수는 정말로 크기비교를 할 수 없을까? a+bi라 했을때, 실수부와 허수부
    를 사전식 순서로 나열해서 비교하면? 가능하지 않은가? 그렇다면 왜 교과서
    에는 비교할 수 없다고 했을까?

1. (이과생 미적분 선택한 학생들에게만 질문)
e는 왜 필요할까? 정의도 이상할 뿐더러, 숫자도 2.71어쩌구저쩌구
맘에 안든다. 근데 저것을 밑으로하는 로그를 또 자연로그(natural logarithm)
이란다. 왜 그것이 자연스러운 것일까?
Hint. 지수함수의 미분을 미분의 정의를 이용해서 공식을 한번만 유도해보세
요. e가 없으면 미분된 꼴이 매우 지저분해진다는 것을 알수 있을껍니다.

2. 다음 문제를 보자.
(문) a+b=5이고, a,b는 양수라 하자. 이때 2^a + 16^b의 최소값을 구하여라.
(풀이) 2^a + 16^b >= 2*root( 2^(a+4b) )
등호가 성립할때가 최소값이므로,
2^a = 16^b
∴ a=4b
a+b=5라 했으므로,
∴ a=4, b=1
따라서 구하는 최소값은 2^4 + 16^1 = 32

참고로 이 풀이는 틀린 풀이일 뿐더러, 최소값도 32가 아니다. 어디서
틀린것일까? 산술기하평균 부등식에서 주의해야할 점은 등호성립조건
이 항상 최대값이나 최소값의 발생조건이 아니라는 것이다. 왜 그럴까?

3. 표본표준편차와 표본평균의 표준편차의 차이를 아는가? 통계적 추정에서
표본표준편차는 모표준편차와 같은 값으로 취급하지만, 표본평균의 표준
편차는 root(n)으로 모표준편차를 나눈값이라고 배운다. 이 둘을 구분하지
못하면 문제를 풀때 root(n)을 나눠야하는지 말아야하는지를 헷갈리게된다.
왜 root(n)으로 나누는지는 대학과정이니 그냥 받아들이기로 하더라도,
표본평균의 표준편차가 모표준편차보다 작다는 것은 직관적으로 당연하다
고 생각되어야한다. 그렇게 되는가?

4. \'분산\'이란 용어는 말 그대로 \'퍼져있는정도\'를 뜻하고 실제 계산값도 그 정
도를 나타내줄수 있도록 식이 정의되어있다. 그럼 표준편차는 왜 \'표준편차\'
라는 말을 붙였을까? 어떤의미에서 편차의 표준을 제시한다는 뜻일까?
그리고 분산으로도 퍼져있는 정도를 나타낼 수 있는데, 굳이 root를 씌워서
새로 표준편차라는 것을 정의한 이유는 뭘까?

그냥 몇가지만 생각나는대로 적어봤습니다. 위의 질문중엔 수능과 직접적인 연관이 있는것도 있고 아닌것도 있습니다. 하지만 구술면접까지 생각한다면 벗어나는 문제는 하나도 없습니다.

저 외에도 스스로에게 질문할 부분은 무수히 많죠. 그리고 쉽게 답할 수 없는 문제들도 많습니다. 하지만 저런 질문을 스스로에게 던지고 하나하나 답을 알아갈때, 개념의 본질을 알게되고, 많은 응용문제들에대해 왜 그렇게 풀어야만 하는지에대한 타당한 이유들을 찾을 수 있을 것입니다.

덧글. 필자가 고3끝나고 방정리할때 버린 수능수학문제집은 학교 보충교재로 쓰던 책 딸랑 4권이었습니다(정석 제외). 저에게 있어서 주교재들은 교과서와 학교 보충교재가 전부였죠. 하지만 전 그 책들을 철저하게 보았습니다. 모든 궁금사항들을 책 여백에 적어놓고, 눈에 보일때마다 생각했죠. 그리고 생각나면 적곤 했습니다. 그리고 기존에 풀린 문제가 다른 방식을 풀리면 옆에다 적어놓았죠. 일종의 단권화 작업 비슷한 것이었습니다. 수학 책들을 보다가 떠오르는 생각이 있으면 기존의 보던 책 여백에 모두 적었습니다. 결국 수능직전에 펼친 책 4권에는 그동안 제가 고민했던 흔적들이 모두 남아 있었죠.

제가 푼 문제수는 많지않지만 전 고교 3학년때 본 17번의 모의고사와 수능모두 수리영역 만점을 받았습니다. 그리고 모든 시험에서 두번 이상의 검토를 했을정도로 시간이 남았죠. 이건 제가 머리가 좋아서 그런게 아닙니다. 위의 과정을 오래 거치게되면 누구나 할 수 있습니다. 위의 과정을 거치면 누구나 응용문제를보면 문제를 어떻게 풀어야겠다는 feel이 오게됩니다. feel은 타고나는 것도 있지만, 후천적으로 만들 수 있습니다. 후천적인 feel은 논리적으로 만들어진 feel이죠. 지금 문제의 상황이 이러하기때문에 이런이런 아이디어를 시도해볼수 있는데, 지금 상황으로보아 이 아이디어를 쓰는게 맞을 것 같다라는 식의 feel말이죠. 하지만 많은 학생들이 feel을 키우기보다는, 단순히 문제유형 외우기에 급급해합니다. feel을 키우기위한 작업을 하다보면 생각이 많아지고 자연스레 문제푸는 수가 줄어들거든요. 하지만 질적인 면에선 어느것도 따라올 수가 없습니다. 사실 다들 문제풀어봐서 알겠지만, 문제집 4권이면 수능모의고사에 출제되는 문제의 80%이상 걸립니다. 나머지 20%는 그동안 고민했던 것들과 저 4권에 있던 문제풀이 skill을 합쳐서 해결했던거죠.

[따앙코옹!]

ㅇㅇ원래 기초가 중요한거여

[멀바색갸]

훌턴에서만 네번봄

[KOSCA]

기초개념,기초원리

[발악오바마]

근데 앞의 문제들 대부분이 고교 수준을 넘는 기초 개념인데... 마지막 복소수 크기 비교 문제는 순서체의 개념을 알아야 제대로 답하는 건데..