페르마의 마지막 정리

[이바울]

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페르마의 마지막 정리(영어: Fermat’s last theorem)란, 정수론에서 �

이 3 이상의 정수일 때, ��+��=��

을 만족하는 양의 정수 �,�,�

가 존재하지 않는다는 정리이다.

이 정리는 1637년 프랑스의 유명한 수학자였던 피에르 드 페르마가 처음으로 추측하였다. 수많은 수학자들이 이를 증명하기 위해서 노력하였으나 실패하였다. 페르마가 자신의 추측을 기록한지 358년이 지난 1995년에 이르러서야 영국의 저명한 수학자인 앤드루 와일스가 이를 증명하였다. 이 방법이 페르마가 살던 시기에는 발견되지 않은 데다가 매우 복잡하기 때문에 수학자들은 페르마가 다른 방법으로 증명했거나 증명에 실패했다고 추측한다.

이 정리를 증명하기 위한 수학자들의 각고의 노력 덕분에 19세기 대수적 수론이 발전했고 20세기에 모듈러성 정리가 증명되었다. 앤드루 와일스의 증명은 기네스북에서 가장 어려운 수학 문제로 등재되었다.

이 문제는 고대 그리스의 저명한 수학자인 피타고라스가 증명한 피타고라스 정리가 세제곱 이상에서도 성립할까라는 질문에서 시작되었다고 한다

역사[편집]

피에르 드 페르마

1637년 피에르 드 페르마는 1621년 출간된 디오판토스의 《산법》(Arithmetica)의 여백에 다음과 같이 주석을 달았다.

“	임의의 세제곱수는 다른 두 세제곱수의 합으로 표현될 수 없고, 임의의 네제곱수 역시 다른 두 네제곱수의 합으로 표현될 수 없으며, 일반적으로 3 이상의 지수를 가진 정수는 이와 동일한 지수를 가진 다른 두 수의 합으로 표현될 수 없다. 나는 이것을 경이로운 방법으로 증명하였으나, 책의 여백이 충분하지 않아 옮기지는 않는다. Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.	”
	— [1]

페르마는 ��+��=��

 식에서 �

이 3 이상인 모든 정수 �

 에 대한 증명을 남기지는 않았지만, �=4

인 경우에 대해서는 자세한 증명을 남겼다. 이 증명에 지수의 법칙을 적용하면, 결국 페르마의 마지막 정리에 대한 증명은 모든 정수 n에 대하여 살필 필요 없이 소수의 경우만 증명하면 된다. 페르마가 추론을 적은 1637년부터 2세기 동안 �

 이 3, 5, 7 인 경우가 증명되었고 1839년 소피 제르맹이 100 이하의 소수에 대해 증명하였다. 19세기 중반 에른스트 쿠머는 정규 소수 전체에 대해 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것을 증명하였다. 이후 쿠머의 작업을 기반으로 컴퓨터를 사용한 정교한 연구를 통해 4백만 이하의 모든 정수에 대해 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것이 증명되었다.

1984년 게르하르트 프라이(Gerhard Frey)는 당시 다니야마-시무라 추론으로 알려진 타원 곡선에 대한 모듈러성 정리가 참일 경우 모든 정수 �

 에 대하여 페르마의 마지막 정리 역시 성립된다는 것을 보였다. 1986년 케네스 앨런 리벳은 프라이의 추론 가운데 일부를 증명하였고, 1995년 앤드루 와일스는 리벳의 작업을 바탕으로 리처드 로런스 테일러의 도움을 받아 모듈러성 정리가 참이라는 것과 따라서 페르마의 마지막 정리 역시 성립한다는 것을 증명하였다. 와일스의 증명은 널리 알려졌으며 여러 책과 텔레비전 프로그램에서 소개되었다.

수학적 배경[편집]

페르마의 마지막 정리는 피타고라스 수의 관계식 �2+�2=�2

을 일반식 ��+��=��

으로 확장시켰을 경우, 정수인 지수 �

에 대해 �

이 3 이상일 때 정수 해가 없다는 것을 뜻한다. 여기에는 피타고라스 수 외에도 디오판토스 방정식과 같은 수학적 배경이 자리하고 있다.

피타고라스 수[편집]

 이 부분의 본문은 피타고라스 수입니다.

�2+�2=�2

위 식을 만족하는 세 수는 직각삼각형의 세 변이 된다.

피타고라스 수는 다음의 등식을 만족하는 세 정수로 된 튜플 (�,�,�)

이다.

�2+�2=�2. 

이 등식은 페르마의 방정식에서 �=2

 인 경우에 해당한다.[2]

피타고라스 수에 대한 간단한 예로는 (3, 4, 5) 와 (5, 12, 13) 이 있다. 피타고라스 수를 이루는 세 정수로 된 튜플은 무한히 많다.[3] 여러 문화에서 튜플을 이루는 정수가 존재하는 지에 대한 문제이다.