프랙탈 구조

[윤영도근육학교실]

네이버지식정보란에서 검색한 내용입니다.

프랙탈의 정의

어떤 물체나 형체의 전체구조 혹은 일부 구조가 그 물체 혹은 형체의 내부에서 끊임없이 반복되는 구조를 가질때 그 물체는 프랙탈 구조를 가지고 있다고 말합니다.  좀더 쉽게 말해서 프랙탈 이란 몇번을 반복해서 확대를 하더라도 전체와 비슷한 구조가 계속 반복되는 그런 구조를 가진 물체를 말합니다.  여기서 주의할 점은 확대의 횟수에는 제한이 없다는 점과 반드시 전체와 똑같은 구조일 필요없다는 점입니다.  즉, 무한히 확대를 한다고 하더라도 전체와 비스무리한 구조가 계속 반복되는 것이죠.

우리가 살고 있는 이 세상의 곳곳에 존재하는 프랙탈

프랙탈 구조를 가지는 물체나 형상들은 우리가 살고 있는 이 세상에 무수히 많이 존재합니다.  단지 그 구조가 너무나 세밀하고 조밀한 부분에 존재하는 경우가 많기 때문에 보통의 눈으로 보면 잘 보이지 않는 경우가 많습니다.  즉, 두눈을 크게 부릅뜨고, 정신을 집중해서 사물을 관찰해야만 합니다.  또한, 많은 경우에 있어서 프랙탈 구조는 겉으로는 평범한 물체같지만, 실제로는 그 물체의 보이지 않는 내면의 세계에 숨어있기 마련입니다.  즉, 우리가 살고 있는 이 세상의 이면의 거의 모든 곳에 프랙탈이 숨어있다라고 말할수가 있습니다.

프랙탈의 예

프랙탈의 예는 딴 한가지만 들겠습니다.  자세한 수학적인 설명은 생략하도록 하지요.

밑의 그림은 만델브로 집합이라는 유명한 프랙탈중의 하나입니다. 

위의 그림에서 흰색테두리로 둘러싸인 부분을 확대시켜 보겠습니다.

어떻습니까?  앞의 그림과 비슷한 구조가 반복되어 나타나지요?  하지만 완전히 똑같진 않군요.  이제 대충 이 그림의 어떤 부분을 확대해도 비슷한 구조가 나오리란 느낌이 드실껍니다.  그래도... 의심이 가실지 모르니 흰 테두리로 둘러싸인 사각형 부분을 다시 확대시켜 보겠습니다. 

정말 놀랍지 않습니까? ^^)/   도대체 만델브로 집합에는 어떤 비밀이 숨어있길래..  이런 이상한 도형들이 끊임없이 반복되어 보이는 것일까요??  불과 5~6년 전까지만 해도, 만델브로 집합은 수학자들만의 영역이었습니다.  그런데, 최근에 만델브로 집합과 거의 흡사한 형태를 가지는 구조를 물리학자들이 실제 실험을 통해 발견했다는 얘길 들었습니다.  결론만을 말씀드리자면,  이러한 만델브로 집합의 프랙탈 구조를 만들어내는 원리는 카오스 이론에 의한 결과입니다.

카오스의 정의

"단기 예측은 가능하지만, 장기 예측은 불가능한 결정론적인 인과율엔 근거하여 만들어지는 준 무작위 현상 (pseudo-random phenomenon)" 을 카오스 현상으로 정의할수 있습니다.

카오스 현상에서의 단기 예측이 가능한 예 (나비 효과)

이해를 돕기위해 카오스 현상과 완벽한 무작위 현상 두개를 비교하여 설명하도록 하겠습니다.

위의 그림을 가만히 살펴보시면, 실험에서 관측된 카오스 현상과 무작위 현상은 겉보기엔 별차이가 없어보입니다. 하지만, 초기의 값을 아주 미세하게 차이를 둬서 카오스의 경우만 다시 실험을 해보도록 하지요.  과연 어떻게 될까요?

그렇습니다.  그림에서 보시는 바와 같이 초기의 조건을 아주 미세하게만 다르게 했을때 바로 앞에서의 관측한 실험 데이터 (이 그림에선 회색 점과 실선으로 연결된 데이터들) 는 새로 관측된 실험 데이터와 비교했을때, 시간의 초기 영역에서는 단기 예측이 가능 하군요.  하지만 어느 순간을 넘어서면 장기 예측이 불가능 해지는 군요.  바로 이런 것이 카오스란 것입니다.  일명 "초기 조건에의 민감성" 혹은 "나비효과" 라고도 하는 것이죠.

반면에 완벽한 무작위 현상이란건, 단기 예측조차도 불가능한 현상 을 말하는 것이겠죠? ^^

카오스와 프랙탈

카오스가 등장하는 곳엔 어김없이 프랙탈이 등장하고, 프랙탈이 등장하는 곳엔 어김없이 카오스가 등장합니다.  즉, 같은 현상의 다른 이름인 셈이죠.  만약, 자연계에 존재하는 새로운 프랙탈을 발견했다면 그 이면에 존재하는 카오스 현상에 대해서 규명해야하고, 반대로, 카오스 현상을 발견했다면 그 이면에 존재하는 프랙탈 구조를 밝혀내야 한다는 말입니다.

어떤 사람은 프랙탈이 좀더 넓은 개념이다,  혹 어떤 사람은 카오스가 좀 더 넓은 개념이다 이런식으로 말할수도 있겠습니다만, 두개의 학문을 모두 제대로 공부한 사람이라면, 반드시 프랙탈과 카오스는 같은 것의 서로 다른 면이다라고 말할수 있어야 한다는 것이지요.  이유인즉, 실제 자연계에 존재하는 모든 프랙탈 형상을 만들어내는 원리는 카오스라는 의미입니다. 

카오스에 나타나는 프랙탈

아래의 그림은 Bifurcation Diagram이라는 건데요,, 카오스를 연구하다보면 많이 등장하는 그림입니다.  난류같은데서 특히 이러한 놀라운 그림들이 많이 발견되고 있습니다.

분명, 앞의 만델브로 집합과 비슷한 유형의 자기 유사성 ( self-similarity ) 가 보이시죠??

그림에서 빨간 테두리로 둘러싸인 부분을 확대해 보겠습니다.

어떻습니까?  앞의 그림과 똑같진 않지만 비슷한 유형의 복잡한 그림이 반복되지요.  이러한 복잡하면서도 놀라운 자기 유사성이 앞의 만델브로 집합처럼 끊임없이 반복된답니다.

(참고이미지)지)

역경의 프랙탈 구조 이미지