§1 급수의 수렴 발산

[김동석]

§1 급수의 수렴 발산

   다음 수열의 각 항의 합은 어떻게 변화할 것인가?

항들이 무한히 계속되기 때문에 이 수열의 부분합을 조사하여 보기로 하자.

           부분합                            합의 결과

 1 항                                   

 2 항                             

 3 항                        

                                                             

항            

이 수열은 이기 때문에 로 수렴함을 알 수 있다. 이와같이 무한개의 항의 합을 단순히 구한다는 것은 불가능하지만 일 때의 부분합의 극한으로써 이 무한 수열의 합을 정의하는 것은 타당할 것이다.

[그림8-1]

    일반적으로 수열 에서 이 수열의 각 항을 합한 모양인

를 무한급수라 하며 을 이 급수의 항이라고 한다. 또 기호로

으로 표시하기도 한다.  실제로 무한번을 합한다는 것은 불가능하므로 이 무한급수의 뜻을 수열의 부분합의 극한을 이용하여 나타내 보도록 하자.

   무한급수의 처음 항까지의 합

을 무한급수 의 부분합이라고 한다. 또한 어떠한 무한급수에 대해서 부분합으로 된 수열

                     

                     

                        

                     

                        

을 특히 부분합의 수열이라고 한다. 만일 이면 의 극한값은 급수의 모든 항을 합한 것으로 생각할 수 있으므로 다음과 같이 정의한다.

정의 8.1 (무한급수의 합)

무한급수 에서 부분합의 수열 이

                          

일 때, 무한급수 은 수렴한다고 하고 를 이 무한급수의 합이라고 하며, 로 나타낸다. 수열 이 발산할 경우에는 무한급수 이 발산한다고 한다.

【예제1】 임을 보여자.

이라 두면

그러므로

 

이므로

  한편, 이므로

                           

【예제2】 급수 는 발산함을 보이자. 부분합의 수열 을 구해 보면

이므로 이 수열은 발산하므로 급수는 발산한다.

【예제3】 급수 은 수렴함을 보이고 그 합을 구하여 보자. 이므로

따라서

정의 8.2

 급수 에서 앞의 항에 일정한 수를 곱하여 다음 항이 될 때, 즉 의 모양일 때 이 급수를 기하급수(geometric series)라 한다.

따라서 기하급수는

과 같은 모양이 되고 그 부분합은

정리 8.3

기하급수 에서

               이면 수렴하고, 그 합은

               이면 발산한다.

【예제4】 에서 공비는

                          

이므로 정리8.3에 의하여 수렴함을 알 수 있고

이다.

【예제5】급수 의 수렴, 발산을 조사하고, 만일 수렴하면 그 합을 구하여 보자. 번째 항은 이므로, 부분합

                 

   따라서 이 부분합의 극한은

이므로 수렴하고, 급수의 합   

 

이다.

정리 8.4
 급수 이 수렴하면 이다.

 

【증명】

을 부분합이라 하고, 라 하자. 한편 일반항 은 으로 나타낼 수 있으므로

가 성립한다.   □

  위의 정리는 이면 급수 이 발산함을 말해준다. 아래의 계는 특히 급수가 수렴하지 않는다는 것을 보일 때 유용하다.

계 8.5
 만일 이면 급수 은 발산한다.

   여기서 의 뜻은 수열 의 극한이 존재하지 않거나 또는 존재하더라도 이 아닌 모든 경우를 말한다.

【예제6】조화급수 이 발산함을 보이자.

이므로

  

이 되어  주어진 급수는 발산한다. 한편 이므로 본 예제는 정리8.4의 역이 성립하지 않음을 보여준다.

정리 8.6
 무한급수 이 수렴하면

ⅰ)

ⅱ) (단, 는 상수)

 【증명】

ⅰ) 라 하고

라 두면

이므로

그러므로

가 성립한다.

ⅱ) 이므로

 □

【예제7】 을 계산하여 보자.