Re:Re:Re:제가 괜히 좌표 변환한다고 수고한건 아닙니다.

기하학적으로 접근하면 sin(x)sin(45) 는 y=x 에 대한 회전체의 수직 높이임을 알 수 있습니다. 그 수직높이가 신좌표에서 y' 이죠. 그때 x' 의 위치는 x' 가 아닌 x'+sin(x)/√2 입니다. x' 축에선 y'=0 이므로 x 와 x' 의 관계는 간단히 x' = √2 x 가 됩니다. 우리가 기하학적으로 쉽게 얻을 수 있는 정보는 y'(x') 가 아니라 y'(x'+sin(x)/√2 )= g(x') = sin(x)sin(45) 입니다.(여기서 x=x'/√2 입니다.) 회전체의 부피는 신좌표에서 다음으로 구할 수 있겠죠. pi ∫ {y'(x')}^2 dx' ( 0~x'~pi√2 ) 구르자님과 심심풀이수학풀이님은 여기서 그냥 pi ∫ {g(x')}^2 dx' = pi ∫ {sin(x)sin(45)}^2 dx' x'= √2 x 이므로 dx'=√2 dx (Yes,미소두께 맞습니다.하지만 g(x') 의 미소두께입니다.) =pi ∫ {sin(x)sin(45)}^2 *√2 dx (0~x~pi) = pi^2 / 2√2 로 풀었을 겁니다. 그러나 y'(x') 를 회전한 것을 구한 것이 아니라 g'(x') 를 회전한 부피를 구한 것입니다. 회전부피를 구하기 위해선 y'(x') 를 알아야 합니다. sin(x)sin(45) 에서 x=x'/√2 로 둔다면 y'(x')를 얻지 못하고 g(x') 를 얻게 됩니다. y'(x') 를 얻기 위해선 x = (x' - y')/√2 로 두어야지요. 그러면 y'(x') = sin{(x' - y')/√2}/√2 를 얻게 됩니다. 이제 pi ∫ {y'(x')}^2 dx' = pi ∫ {sin(x)/√2 }^2 dx' but x= (x' - y')/√2 에서 dx = (dx' - dy')/√2 ==> dx' = √2 dx+ dy' ( 그리고 앞에 저의 풀이에서 미소두께 dx' = √2 dx/(1-df/dx')= {(2 +cos(x))/√2} dx 이지요.) 0~x~pi/2 의 범위라면 <==잘못된부분 0~x'~pi/sqrt(2) 이고, 변환관계식에 의해 0~x~1.1206 임 회전체 부피 = pi^2/4√2 +pi/6√2 가 나오게 되는데 님의 방법데로 하면 나올지 의문이군요. ==>이 값이 아니라 회전체의 부피 대략 1.079768 정도 나옴. --------------------- [원본 메세지] --------------------- 좌표 변환하신다고 수고하셨네요. 단무깡님처럼 풀면, 일반적인 공식으로 튀어나옵니다.. 풀이 맞구요.. 근데, 성급하시군요.. 조금더 깊이 생각해보셨으면... 단무깡님 식에을 보면 두 term 으로 나눠져있죠? 앞에 term은 얇은 원기둥이 축을 y=x 에 두고 있는 부분을 적분하는 역할을 하죠... 물론 이 얇은 원기둥 두께는 dx * root2 입니다.. 그리고 두번째 term을 보시면, 위에서 적분할때 적분 안된 나머지 회전부분을 적분하는 역할을 하죠.. 예로 든, 0~ x~ pi/2 인 경우를 종이에 그래프를 그려보면 쉽게 이해가 갈겁니다.. 왜냐하면 회전체가 x가 pi/2 까지 있는게 아니쟎아요?? 더 길죠 그리면 보여요.. y=x 중심으로 회전했으니까.. ^^;;; 단무깡님의 풀이대로면, 말그대로 공식처럼 되는거죠... 왜냐하면, 아예 원천적으로 좌표를 변환해서 풀었으니까... ^^;;; 근데, 제 풀이의 경우는 공식이 아닙니다.. sinx 가 x=pi 일때 0니까 간소하게 풀리는 거죠... 그리고 두께는 dx * root 2 맞습니다.. 미분의 기본 소양을 가졌다면 당연한거죠? 그리고, 문제가 0~ x ~ pi/2 일때, 당연히 제 풀이는 공식이 아니니까 그냥 pi/2 대입하면 안되죠... 역시 얇은 원판(두께 dx * root2 )을 회전시킨 회전체에다가, 물론 범위는 0~ x ~ (pi/2 + 1/2) 이죠.(수선을 두번그어보세요..) 이 회전체의 부피에 불필요하게 들어간 원뿔 부피 빼주면 됩니다.. 그죠?? 그러면 pi/2 까지를 y=x로 회전시킨 회전체의 부피가 나옵니다,, 계산은 각자들 해보시고.. 이 문제는 미분의 기초개념인 구분구적에 대한 개념에 대한 이해도를 평하하려는 의도의 문제인것 같네요..... --------------------- [원본 메세지] --------------------- y=x 를 따르는 축을 새로운 좌표축 x' 로 정의하고 그에 수직인 축을 y' 로 정의하면 그 새로운 좌표축은 원래의 좌표축 (x,y) 에서 45 도 반시계 방향으로 이동시킨 것입니다. 구좌표 (x,y) , 신좌표 (x',y') 의 관계식은 행렬을 이용해 구할 수 있겠죠. 즉 x= (x' - y')/√2 y= (x' + y')/√2 이를 y = x + sin(x) 에 대입하면 (2/√2 )y' = sin[ (x' - y')/√2 ] ==> 신좌표에서 보았을 때 그래프의 함수가 되겠죠. 회전체 부피 = π∫(y')²dx' = π ∫[sin(x)/√2 ]²dx' ( 적분구간은 0~ x' ~ π√2 ) but x= (x' - y')/√2 에서 dx = (dx' - dy')/√2 ==> dx' = √2 dx+ dy' 그러므로 π∫(y')²dx' = π∫(y')²*(√2 dx+ dy') =π∫[sin(x)/√2 ]²√2 dx + π∫(y')²dy' 왼쪽항 적분범위는 (0~x~pi) ,오른쪽항은 (0~y'~0) = (pi)²/2√2 <참고로> 심심풀이수학풀이님이 말씀하신 미세원판의 두께는 잘못 되었습니다. 그래서 구르자님의 풀이도 잘못 되었습니다. 미세 원판의 두께는 root2 * dx 가 아닙니다. dx' = √2 dx+ dy' 여기서 y' = f(x') 이므로 dy' = (df/dx')dx' 따라서 미소 원판의 두께(dx')는 dx' = √2 dx+ (df/dx')dx' ==> dx' = √2 dx/(1-df/dx') 만약 구르자님 또는 심심풀이수학풀이님의 풀이대로 접근한다면 범위가 0~x~pi/2 일때는 틀린답을 얻을 것입니다. 왜냐면 π∫(y')²dy' 이 0 이 아니기 때문입니다. --------------------- [원본 메세지] --------------------- 훔후.. 첫번째 님의 실수가 x+sinx를 y=x로 돌리면 당연히 제자리로 와서 파이까지 적분이 된다고 생각해서 오류. 두번째 님은 넘 복잡해여 그냥 첫번째님이 풀었던 것중 오류가 생긴 범위 부분을 피타고라스 정리를 써서 구해준다음 x축 중심 적분 하면 끝납니당. 글니까..무슨 소리인고 하니.파이까지 적분인데 이게 기울어 져있는 직선이라서 이걸 x축과 평행하게 놨을대 어디까지 적분하면 되냐 이걸 구하면 직빵이란거죠/(이해 하실려나.)