한양대 수학경시 문제풀이

얼마 전에 누군가 올리셨던 문제를 틈틈히 풀어봤습니다. 3 번과 5 번은 문제를 몰라요......아시면 올려주세요. <Jensen의 부등식>에 대한 자세한 설명은 자료실[문제&풀이] 158 번을 참조하세요. 1.양수 a에 대해서.. (1+a^1)(1+a^2)…(1+a^n)>=[1+a^{(n+1)/2}]^n임을 증명하여라. f(x) = ln( 1 + a^x ) 이라고 한다면, 이계도함수 f''(x) = a^x*(lna)^2/(1+a^x)^2 > 0입니다. 위의 사실은 f(x)의 그래프의 개형이 아래로 볼록한 형태임을 말해주고, 그러므로 <Jensen의 부등식>에 의해 { f(1) + f(2) +......+ f(n) }/n >= f( ( 1 + 2 + ..... + n )/n ) -----(*) 이 성립합니다. (단, 등호는 f(1) = f(2) =..... = f(n) 일 때, 즉 a = 1 일 때 성립) (*) 부등식을 정리하면, (1+a^1)(1+a^2)…(1+a^n)>=[1+a^{(n+1)/2}]^n 임을 알 수 있습니다. [증명끝] 2. 0<=θ<=π일 때, (sinθ+1)/(cosθ-3)의 최대, 최소를 구하여라. tan(θ/2) = t 라고 두면, t >= 0 이고, cosθ = (1 - t^2)/(1 + t^2) , sinθ = 2t/(1 + t^2) . [준식] = f(t) = (t^2 + 2t +1)/(-4t^2 - 2) 입니다. lim(t->∞)f(t) = lim(t->-∞)f(t) = -1/4 이고, lim(t->0)f(t) = -1/2 라는 사실. f'(t) = 4(2t-1)(t+1)/{(4t^2 + 2)^2} 라는 사실로 대략적인 그래프의 개형을 그릴수 있습니다. 결국 t>=0에서, 최대값은 f(0), lim(t->∞)f(t) 중에 하나고, 최소값은 f(1/2)입니다. ∴ 최대값 = -1/4, 최소값 = -3/4 [증명끝] 3. 생략.. 도형 잔뜩 나와있어서.. 4. 정수 a1,…,a2002에 대해서.. a1=a2002일 때, (a1-a2)+(a2-a3)^2+…+(a2001-a2002)^2001가 짝수임을 증명하여라. 임의의 정수 a 에 대하여, 다음이 성립하는 것을 쉽게 알 수 있습니다. < a^n = a (mod 2) (단, n은 양의 정수) > 그렇다면, { a_i - a_(i+1) }^i = { a_i - a_(i+1) } (mod 2)입니다. 그러므로, (a1-a2) + (a2-a3)^2 + … + (a2001-a2002)^2001 = (a1 - a2) + (a2 - a3) + (a3 - a4) + ........ + (a2001 - a2002) = a1 - a2002 = 0 (mod 2) 입니다. [증명끝] 5. 생략 6. 주사위를 세 개 던져서 나온 숫자의 합이 5가 되는 경우가 6이 되는 경우보다 먼저 나올 확률은? 주사위 세 개를 동시에 던졌을 때, 합이 5가 될 확률은 1/36, 합이 6이 될 확률은 5/108 , 합이 5도 6도 아닐 확률은 25/27. 다음을 이해합시다. 첫 번째 시행시 5가 될 확률 = 첫 번째 시행시 5가 되고, 그 뒤에 어느 시행 지점에서 6이 될 확률 (풀이: 첫 번째 시행시 5가 될 확률 = 1/36 첫 번째 시행시 5가 되고, 그 뒤에 어느 시행 지점에서 6이 될 확률 = 첫 번째 시행시 5가 되고, 두 번째 시행시 6이 될 확률+첫번째 시행시 5가 되고, 두 번째는 6이 아니고, 세번째에서 6이 될 확률+첫번째 시행시 5가 되고, 두 세 번째는 6이 아니고 네 번째에서 6이 될 확률+...................... = (1/36)(5/108) + (1/36)(103/108)(5/108) + (1/36)(103/108)^2(5/108) + ............. = 1/36 ) 그러므로, 결국 답은 첫 번째 시행시 5가 될 확률 + 첫 번째는 5도 6도 아니고, 두 번째 시행시 5가 될 확률 + 첫 번째 두 번째는 5도 6도 아니고, 세 번째 시행시 5가 될 확률 + ............ = 1/36 + (25/27)(1/36) + (25/27)^2(1/36) + (25/27)^3(1/36) + .................. = 3/8 [증명끝]