2117 배재민 dbpia 논문 요약

[2117배재민]

논문 : 사이클로이드 곡선의 역사와 그 특성에 대한 증명

수학의 역사에 등장하는 가장 유명한 곡선중 하나인 사이클로이드는, 직선 위를 굴러가는 원 위의 한 점이 그리는 자취이다.

예시

사이클로이드 곡선은 16세기에서 18세기까지의 시기에 여러 수학자들에 의해 연구되었고, 이러한 연구들이 해석기하학과 미적분, 변분미적분 ( 변화에 대한 미분, 적분 )의 탄생과 발전에 중요한 역할을 하였다. 이 시기에 수학자들이 새로운 수학적 방법을 발표할 때 흔히 사이클로이드에 적용하는것을 예로 들었다. 

사이클로이드는 기하학의 헬렌 이라 불려졌는데, 이는 이 곡선 자체가 가지는 수학적인 아름다움뿐만 아니라, 이 곡선에 대한 연구과정에서 야기된 수학자들 사이의 갈등에서 유래된 별칭이다.

사이클로이드 곡센에 대해 제기되었던 문제들과 밝혀진 결과들을 정리하면 다음과 같다.

사이클로이드 곡선 아래 영역의 넓이 구하기	직선l 위를 굴러가는 생성원에 의해 그려지는 사이클로이드 곡선의 한 주기에 해당하는 아치와 직선l로 둘러싸인 부분의 넓이는 그 생성원의 넓이의 3배.
사이클로이드 곡선의 길이 구하기	사이클로이드 곡선의 한 아치의 길이는 그 생성원의 반지름의 8배이다.
등시주기운동 문제	진자의 운동 주기가 일정하려면 추의 이동 궤적이 사이클로이드를 이루어야 한다.
사이클로이드의 신개선	평면위의 사이클로이드 곡선에 접하는 직선을 곡선을 따라서 회전시킬때 직선 위의 한 정점이 그 평면위에 그리는 곡선은 다시 사이클로이드를 이룸.
동시강하 곡선	지면과 수직인 평면에서 뒤집어놓은 사이클로이드 곡선의 어느 위치에서 시작해서 구슬을 굴려도 최저점에 도달하는 시간이 같다.
최소시간강하 곡선	지면과 수직인 평면의 한 점에서 다른 한점을 연결하는 어떤 경로를 따라 구슬이 굴러 내려올 때, 사이클로이드를 따라 내려오는 시간이 다른 어떤 곡선을 따라 내려오는 시간보다 짧음.

사이클로이드 곡선의 역사

'움직이는 원 위의 한 점에 의하여 생성되는 곡선' 이 문헌에 최초로 언급된것은 1501년 부벨이 원의 넓이를 구하는 과정에서 그러한 곡선을 이용했다는 것이다.

사이클로이드 라는 이름을 명명한 것은 1599년 갈릴레오에 의해서였다. 갈릴레오는 사이클로이드의 한 아치 아랫부분의 넓이를 구하는 수학적 방법을 찾으려고 했으나 성공하지 못했다. 그리고 금속판으로 생성원과 사이클로이드 모양을 만들어 무게를 비교해 사이클로이드 아치의 넓이가 생성원의 넓이의 3배라는 결과를 얻었으나, 정확한 값은 3이아닌 어떤 무리수였을것이다.

이후 1634년에 프랑스의 수학자 로비벌이 카발리에리의 불가분량의 방법 ( 구의 부피를 구하는 방법 ) 을 이용해 사이클로이드 아치의 넓이가 3πr^2임을 구하였다.

사이클로이드의 접선을 그리는 문제에 대해서는 로비벌을 비롯하여 페르마, 데카르트등이 각각 서로 다른 해법을 발표하였다. 

토리첼리 ( 카발리에리의 제자 )도 사이클로이드의 넓이와 접선에 관한 자신의 발견을 1644년에 발표하였다.

1658년 영국의 건축가이자 천문학자였던 렌은 사이클로이드의 한 아치의 길이가 생성원의 지름의 4배임을 밝혔다. 이후에 발명된 미적분을 이용하면 사이클로이드 곡선의 넓이와 길이를 구하는 문제나 접선을 그리는 문제 등은 아주 간단하게 풀수 있지만 최초의 증명들은 무한급수만을 이용하여 기하학적 방법으로 접근하였으며 뛰어난 통찰력과 고심끝에 얻어진 것들이었다.

사이클로이드 곡선의  성질에 대한 이러한 발견들에 이어서 흥미롭고 중요한 연구결과들이 계속 나타났다. 1673년 네덜란드의 물리학자 호이겐스는 '진자시계'라는 저서에서 진자의 궤적이 원의 호가 아니라 사이클로이드 곡선이 되어야 진자의 주기가 정확히 일정하게 된다는 것을 증명하고 이러한 성질을 이용해 진자시계를 만들었다. 그 이전 시대인 1583년, 갈릴레이가 피사의 성당 천장에 매달린 진자의 주기가 일정하다는 것을 발견했다는 일화가 유명한데, 실제론 한 점에 매달려 원의 호를 따라 진동하는 단진자는 진폭이 아주 작을 경우에만 거의 일정한 주기를 갖는다. 이때도 주기가 정확히 일정한 것은 아니었지만 정밀한 시계가 없었던 갈릴레오 시대에는 측정으로 이를 알아내기는 어려웠을것이다. 

호이겐스는 사이클로이드 곡선의 신개선 ( 평면 위의 곡선에 접하는 직선을 그 곡선을 따라 회전시킬 때, 직선 위의 한 정점이 그 평면 위에 그리는 곡선 )이 다시 사이클로이드임을 증명하고 이 원리를 바탕으로 두 개의 사이클로이드 벽면 사이에서 진자가 움직이도록 하여 진자의 궤적이 사이클로이드 곡선을 따르는 진자시계를 제작하였다. 이렇게 고안된 진자시계의 추는 이론상 진폭에 관계없이 같은 주기로 움직이는데, 이는 사이클로이드가 동시강하곡선이기 때문이다. 즉 시계의 추가 사이클로이드 곡선상의 어느 위치에서 출발하여도 중력에 의하여 내려와서 최저점에 도달하는데 걸리는 시간은 같아야 한다. 하지만 현실적으로는 마찰때문에 일정한 주기가 유지되지 않았다.

이후 1675년, 호이겐스는 가느다른 나선형의 금속스프링이 감겼다 풀렸다 할때 진동의 주기가 일정한것을 응용한 시계를 고안하였고, 이시기에 과학자들은 용수철에 매달린 물체와 진자의 운동에 관심을 갖고 연구하였고, 그 결과로 근대적인 시계의 발명, 표준 도량형의 정립 등오로 이어지며 자연을 수량화하여 연구하는 기초가 되었다.

1696년, 요한 베르누이는 유럽의 수학자들에게 한 도전 문제를 제시하였는데, 지면에 수직인 한 평면에 놓인 두 점 사이를 연결하는 어떤 경로를 따라 고잉 중력에 의하여 굴러내려 올 때 최단시간이 걸리도록 하는 경로의 곡선을 찾는 문제였다. 최단시간곡선이라 불려졌던 이 곡선을 처음으로 찾은 사람은 요한 베르누이 또는 그의 형 쟈크 베르누이로 알려져있다. 이 문제의 해법을 찾은 수학적 업적을 두고 두 형제 사이 다툼이 있었다. 그리고 이 문제가 제안된후 곧 라이프니츠, 로피탈, 뉴턴도 각각 해법을 찾았다.

요한 베르누이의 해법은 최소시간곡선 문제를 해결하는 뛰어난 방법이었지면 광학에 비유하는것에 의존하여 일반화 될수 없었다. 한편 쟈크 베르누이는 동생 요한이 제안한 최단시간곡선 문제에 대한 해법으로 이 문제에서 고려되는 여러가지 곡선을 변수로 생각하는 방법을 고안하였다. 그의 이러한 생각은 변분미적분의 시초가 되었다.

요한 베르누이에 의하여 제기된 최소시간곡선 문제를 발단으로 시작되어 자크 베르누이가 초석을 놓은 변분법은 이후 비슷한 시기에 물리학에서도 모페르튀와 오일러, 라이프니츠 등에 의하여 독립적으로 고안되어 이용되었고 후에 '최소작용의 원리'라고 불리게 되었다.  빛이 최소시간경로로 진행한다는 페르마의 법칙도 이변분법적인 접근의 한 특별히 놀라운 응용이다. 양자역학의 성립에 기여한 플랑크는 20세기, 변분법적인 접근을 가장 열정적으로 주창한 학자였다. 그는 '최소작용의 원리'가 형식과 내용에서 이론적 연구의 이상적이고 최종적인 목적에 가장 근접한 것이라고 말하였으며, 모든 물리법칙들 중에서 가장 포괄적인 것일 뿐만 아니라 신의 생각의 가장 순수한 표현을 나타낸다고 주장하였다. 반면 이 원리를 시작했던 페르마는 "자연은 모호하고 숨겨진 길로 움직인다"고 말하며, '최소작용의 원리'는 빛의 행동을 묘사하는 순수하게 추상적인 수학적 정리라고 생각하였다.

뉴턴의 역학에서 똑같은 질량을 가지는 두 입자가 중력에 의하여 직선방향으로 서로 끌릴때 두 물체 사이의 거리와 시간의 관계가 사이클로이드를 이룬다. 이 사이클로이드 관계는 시간을 각 입자의 상대적 시간으로 이해하여 일반상대성이론을 적용하여도 여전이 성립한다. 이 사실로부터 중력이 물체를 한 위치에서 다른 위치로 이동시킬때, 가장 효율적인 방법으로 작용한다고 이해할 수 있다.