정육각형의 효율성

[손님]

  같은 둘레 길이로 닫힌 곡선을 만들어서 일정한 넓이를 둘러쌀 때 안의 넓이가 가장 넓은 것은 원이다. 이 명제는 넓이가 같은 닫힌 곡선을 만들 때 둘레가 가장 작은 것은 원이라고 해도 같은 뜻이다. 이 사실은 등주부등식(isoperimetric inequality)

A ≤ L2/4π
이라는 형태로 알려져 있다. 여기서 A는 닫힌 곡선 안의 넓이, L은 넓이가 A인 원둘레이다.

   그리고 정다각형은 원에 가까울수록, 즉 변의 길이가 많을수록 같은 둘레라도 안의 넓이가 더 넓으며, 둘레가 같은 다각형 중에서는 정다각형이 넓이가 가장 넓다. 그러나 원을 여러 개 겹치면 틈새가 남으므로 원으로는 평면을 완전히 채울 수 없고, 정삼각형, 정사각형, 정육각형 중의 한 형태로만 평면을 채울 수 있다.

   이는 정다각형의 내각을 합해서 360°를 만들 수 있는가, 즉 내각의 정수배가 360°가 될 수 있는가 하는 데서 나오는 것이다. 정삼각형, 정사각형, 정육각형의 내각은 각각 60°, 90°, 120°이므로 각각 6배, 4배, 3배를 하면 360°가 된다. 반면, 다른 정다각형은 이런 성질을 만족하지 못한다. 예를 들어 정오각형은 내각이 108°라서 여기에 정수를 곱해서는 360°가 안 되고, 따라서 정오각형으로는 빈틈이 없이 평면을 채울 수 없다. 참고로 정 n각형의 내각의 합은 180°×(n - 2), 한 내각의 값은 180°×(n - 2)/n이다.

   위에서 설명했듯 원에 가까운 모양일수록 같은 둘레로 더 넓은 범위를 감쌀 수 있고, 그래서 정육각형이 평면을 빈틈없이 채울 수 있으면서 같은 둘레로 최대 넓이를 둘러싸도록 만들 수 있는 도형이 된다. 꿀벌이 벌집을 정육각형으로 만드는 이유도 흔히 이런 사실로써 설명하고 있다.

   한 가지 정다각형만으로 평면을 채우는 경우는 정육각형이 가장 효율적임을 확인했는데, 2가지 이상의 평면도형으로 평면을 채우는 다른 방법과도 비교해서 정육각형이 가장 효율적인가는 대부분 수학자들이 긍정적으로 생각했으나 오랜 기간 동안 증명은 되지 못하고 미해결로 남아 있었다.

   평면도형으로 평면이나 공간을 빈틈없이 채우는 방법을 타일링(tiling) 또는 테셀레이션(tessellation)이라고 해서 기하학의 한 과제로 취급하는데, 정육각형이 가장 효율적이라는 것은 정육각형 타일링이 도형의 넓이에 대한 둘레의 비율이 가장 낮다는 것과 같다. 물론 평면 전체를 채울 때 넓이는 무한이 되므로 비율은 유한 개 조각을 이어붙였을 때 (둘레의 길이)/(넓이)의 극한을 구함으로써 생각한다. 이 문제는 벌집 모양이 육각형인 것과 연관지어서 육각형 벌집 추측(Hexagonal Honeycomb Conjecture)이라는 이름으로 불린다.

   육각형 벌집 추측은 지난 1999년 6월 미시건 대학교 교수 토머스 헤일즈(Thomas Hales)가 증명하였다. 다각형으로 평면 타일링을 할 수 있으려면 변의 평균 개수가 6개 이하여야 한다는 사실이 이미 증명되어 있었고, 이 사실을 이용해서 다각형을 이용한 타일링 중에서는 정육각형이 가장 효율적이라는 것이 1960년대에 이미 증명되어 있었다. 헤일즈는 여기에 덧붙여서, 변이 볼록하거나 오목한 곡선일 때 변이 직선인 도형, 즉 다각형보다 비효율적임을 보이고 이로써 평면 타일링 중 정육각형 타일링이 넓이에 대한 둘레의 비율이 가장 낮음을 보였다.

   헤일즈는 이전 해인 1998년 9월 부피가 같은 공을 쌓아올릴 때 일상적으로 공을 쌓는 방법(공 4개를 정사각형으로 놓고, 그 사이에 1개를 올리는 방식)이 가장 효율적이라는 케플러 추측(Kepler Conjecture)을 컴퓨터를 이용해 증명한 수학자로 2001년 이후로는 피츠버그 대학교 멜론 석좌교수(Mellon Professor)로 재직중이다.

   케플러 추측, 육각형 벌집 추측을 비롯해서 헤일즈의 연구 분야나 증명한 문제에 대한 자료는 피츠버그 대학교 수학과에 개설된 토머스 헤일즈 교수 홈페이지(http://www.math.pitt.edu/~thales/)에서 읽을 수 있다.