한편, 선분 AB의 길이가 l2n이므로 l4n은 선분 AC의 길이인데. 이 길이는 두 삼각형 AOG와 ACG가 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리를 써서 구할 수 있다. 즉, 선분 AC의 길이는 l2n과 r의 식으로 다음과 같이 나타내어진다.
이와 같은 방법으로 유휘는 반지름이 1자인 원에 내접하는 정육각형에서 출발하고 위의 과정을 반복하여 정96각형의 변의 길이를 구하고 정192각형의 넓이를 구할 수 있었다.
이제, 원의 넓이와 정2n각형의 넓이 및 정4n각형의 넓이의 관계를 생각해보자. 위 그림에서 정4n각형의 넓이에 비해서 원은 노란색으로 표시된 부분만큼 더 넓다. 또한 정2n각형의 넓이와 정4n각형의 넓이의 차이는 파란색으로 표시한 부분이다. 그런데 파란색으로 표시한 부분이 노란색으로 표시한 부분보다 더 큰 것은 쉽게 알 수 있다. 따라서 다음과 같은 관계가 성립한다.
유휘는 앞서 구한 정192각형의 넓이와 위의 관계를 이용하여 원의 넓이가 다음과 같음을 밝혔다.
그리고 편의에 따라 3.14(제곱자)를 취했다. 이는 원주율을 3.14= 157/50로 택했음을 의미한다. 이 원주율을 그 뒤 유휘신술(劉徽新術) 또는 간단히 휘술이라 불렀다.
원주율을 계산한 동서양의 차이
원을 정다각형으로 세분하여 원의 넓이를 계산하였다는 점에서 이 방법은 나중에 “할원술”(割圓術)이라 불렀다. 이는 지난 3월 10일자 글에서 알아본 원에 내접하고 외접하는 정다각형의 둘레를 이용하여 원주율을 구하는 아르키메데스(Archimedes)의 방법과 비교해 보는 것도 재미있을 것 같다.
조충지(祖沖之)는 그 뒤에 원주율을 더욱 연구했는데, 이 연구를 통해 소수점 아래 여섯째 자리까지 정확한 밀률(密率) 355/113 = 3.1415929...와 소수점 아래 둘째 자리까지 정확한 약율(約率) 22/7를 얻었다.
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