2번은 로피탈정리를 이용하여 생각해볼수있습니다. f(x)=x•r^x(0<r<1)에서 L=1/r 이라하자. 그러면 1<L 입니다. 즉 f(x)=x/L^x 이다. (x->∞)lim f(x) 를 로피탈의 정리를 이용하여 =(x->∞)lim 1/(L^x)' , (L^x)'=ln(L)•L^x이므로 =(x->∞)lim 1/ln(L)•L^x=0(존재하므로 로피탈의 정리 적용가능) (왜냐하면 L>1) 따라서 (x->∞)lim f(x)=0이므로 연속의 수열판정법에 의해 n•r^n=f(n)—>0(as n->∞) 입니다.
첫댓글 이어서 마지막으로 6번 문항에
f가 적분 가능하다는것은 과잉조건(강한조건)이 아닌가 생각이드는데..
꼭 있어야하는 조건인지 궁금합니다.
네. 극한함수 f가 [a,b]에서 리만적분가능하다는 조건이 빠져도 해당명제는 참 입니다.
1번은 잘 풀어주셨습니다.
m(고정된 자연수) {x_n}:실수열 이라하자.
(x_n)^m—>0(as n–>∞) 이면 xn—>0(as n–>∞) 가 성립합니다. 이를 연속의수열판정법을 이용해서 증명할수있습니다.
f:[0,∞)—>R, f(x)=√x 라 하자.(√x는 m제곱근x)
f는 [0,∞)에서 연속함수입니다.
수열 (x_n)^m—>0이므로 |(x_n)^m|는 영으로 수렴하는 [0,∞)에서의 수열입니다. 즉 |x_n|^m—>0 입니다.
f는 0에서 연속인 함수이므로 연속의 수열판정법에의해 f(|x_n|^m)—>f(0)이 성립. 이때 f(|x_n|^m)=|x_n|이고 f(0)=0이므로 |x_n|—>0이고, 따라서 x_n—>0입니다.
2번은 로피탈정리를 이용하여 생각해볼수있습니다.
f(x)=x•r^x(0<r<1)에서 L=1/r 이라하자. 그러면 1<L 입니다.
즉 f(x)=x/L^x 이다.
(x->∞)lim f(x) 를 로피탈의 정리를 이용하여
=(x->∞)lim 1/(L^x)' , (L^x)'=ln(L)•L^x이므로
=(x->∞)lim 1/ln(L)•L^x=0(존재하므로 로피탈의 정리 적용가능) (왜냐하면 L>1)
따라서 (x->∞)lim f(x)=0이므로 연속의 수열판정법에 의해 n•r^n=f(n)—>0(as n->∞) 입니다.
정말 감사합니다.
특히 2번째 문항에 대한 답변이 정말 생각지도못한 풀이인데.. 노력해야 겠네요 ..