로지스틱 방정식(logistic difference equation)

[김남용]

로지스틱 방정식(logistic difference equation)

1. 로지스틱 방정식(logistic difference equation)의 정의

  로지스틱 방정식(logistic difference equation)은 흔히 병참 방정식, 보급 방정식 등으로 불리우기도 하지만 모두 정확한 번역이 아니다. 왜냐하면 로지스틱 방정식은 처음에 한정된 분야에서만 사용되었지만 오늘날에는 로지스틱 방정식의 지수적 증가 곡선은 단순히 미시적인 개체수 증가에 국한하지 않고 거시적으로 제품의 수명주기, 기업의 수명주기에까지 적용될 수 있게 되었기 때문이다.

이 방정식의 기본 아이디어는  Malthus (1798)의 “인구론”에서 표현된 바 있다. Malthus는 만일 인구가 일정한 비율로 증가하는 경우에 어떠한 문제가 발생할 것인가 하는 단순한 질문을 던졌다. 즉 현재의 인구를 y 라고 이야기할 때 만일 대 재앙이나, 기근, 혹은 질병 등이 없다고 하면 다음기의 인구는 전기 인구에 비해 일정한 증가율 즉 k 배만큼 증가를 한다면 인구폭발 현상이 곧 도래 할 수 있다는 점을 보여주었다.

이것은 박테리아와 같은 미생물들의 번식에서도 잘 관찰되는 현상인데 이것은 로지스틱 방정식이 생태계의 개체수의 변화에 대한 생물학에서 자주 논의되는 이유가 되기도 한다.

2. 로지스틱 방정식의 수식

  맬서스는 기하급수적인 인구증가라는 표현을 썼는데 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

이것의 미분방정식을 풀어 시간t의 함수로 나타내면 다음과 같다.

  여기서 k값은 인구의 성장률이라고 말할 수 있고, 더 자세히 말하지만 출생율-사망율을 가리킨다. k값이 1보다 작으면 인구는 감소하게 되지만 1보다 크면 인구는 다음 그래프처럼 급격히 증가한다. 즉 시간의 흐름에 따라 지수분포적인 증가현상을 인구 증가가 나타낼 수 있는 것이다.

  그러나 이와 같은 Malthus의 방정식은 현실적이지 않다. 왜냐하면 실제로는 이렇게 증가하기 전에 증가를 억제하는 요인들로 인해 증가폭이 둔화되고 결국은 증가를 범추게 되기 때문이다.

  이 문제점을 극복하기 위해 제시된 것이 Pierre-Francois Verhulst의 인구성장 방정식이다. Verhulst는 인구가 증가함에 따라 k 값 즉 인구성장률이 둔화될 수 있음을 지적하고 이것을 방정식에 포함시켜 아래와 같은 형태의 인구성장방정식을 제시하였다.

  여기서 μ는 사망률(mortality)를 나타내는 개념으로서 인구의 지수분포적 성장을 제약하는 요인으로서 기능을 하게 된다. 이 μ를 포함한 두 번째 항은 인구가 작은 경우에는 전체 인구수의 변화에 큰 영향을 주지는 못하지만 인구가 증가할수록 전체 인구수를 결정하는데 매우 큰 영향을 주게 된다. 이것은 작은 공간에 박테리아를 배양시킬 때 일정 수준을 넘은 박테리아의 개체수가 급격히 감소하는 현상에서도 확인할 수 있다.

  이러한 Verhulst의 인구성장방정식은 후에 Logistic growth equation 이라고 알려졌는데 이것을 좀 수정해서 살펴보기로 하자.
 
  
  생물학자들에게 있어서 K는 환경의 한계수용능력(carrying capacity of environment)이라고 알려져 있고 r은 재생률(reproductive rate)이라고 불리운다. 자 위 식을 좀 더 친근한 형태의 Logistic 방정식의 형태로 나타내보기로 하자. 일단 위 방정식의 Scale을 환경의 부양능력 한 단위당 인구의 수로 조정을 하면 환경의 부양능력 한 단위당 인구수를 x 라고 하면 가 되며 이것이 일반적으로 이용되는 logistic 방정식이다.

3. 정책적 함의

  이 방정식은 생태계의 개체수의 변화에 대한 생물학에서 자주 논의되었지만 조직연구에 있어서 조직개체군 생태학에 적용될 수 있다.

참고문헌
최창현 (2000). 복잡사회체제의 모형화및 시뮬레이션, 한국행정학보, 제34권 제3호
최창현. (1997). Chaos이론과 조직혁신. 「성곡학술논총」, 28(2).
최창현 옮김. (1996). 「카오스 경영」. 한언.
최창현(1999), 복잡성이론의 조직관리적 적용가능성 탐색, 한국행정학보, 제33권 제4호

키워드: 로지스틱 방정식, 인구성장 방정식, 생태계
저  자: 최창현(choich@kd.ac.kr);
작성일: 2014.07