오마이뉴스를 보는 도중에 재수생의 수학공부이야기가 있어 흥미롭게 읽었습니다. 어제 오늘 정치경제학 강좌안 1.2.3.4 프린트물을 보면서, 요약 방향, 재작성시 보충사항, 강좌안 5와의 연계성 등등 여러가지 검토 중입니다.
아래 여학생의 글에서 수학공부를 완전히 새로 하기로 맘먹었던 사건이 도형위주의 시험에서 아주 낮은 점수를 맞은 일이라는 군요. 그런데 강좌안은 도형그림 위주이고... 강좌안 4를 올린 이후, 공부방내의 질문들을 보면서, 또 전체적으로 이론 보급의 미진함, 왜 강좌안 보급이 덜 되고 있는가? 뭐가 읽어도 잘모르는 이유인가? 물론 저의 설명이 부족해서 입니다만... 여학생의 수학공부 이야기를 읽으면서. 수학 때문인가.. 생각이 듭니다.
저는 중,고등학생 때 수학을 잘 했습니다. ㅎㅎ 도형을 아주 좋아했습니다. 시험에 나오지 않는 도형문제도 재미나게 풀고, 그려보고, 증명도 하고... 그때 실력이 지금의 제 수학실력입니다. 교과서 수준으로 보면, 고 1정도, 이제는 중 3정도 쯤 될거로 봅니다.
고 1 때 '정석'이란 수학 참고서로 미분을 한참 공부할 쯔음 본고사가 없어진다는 소식이 들려오고, 그 이후 더 어려운 수학공부는 생활에서 밀려나게 되었습니다. 수학을 재미있게 공부하는 친구도 없었고, 선생님도, 시험문제도... 그래서 지금도 변동모델을 구성하거나 스스로 이해하는데 장애가 있습니다.
지금도 수학잘 하는 친구에게 물어보고 싶은데... 사용하는 용어가 달라져서... 이글을 쓰면서도 변화율의 수학적 표현에 대해 물어보러 가고 싶습니다. 결론적으로 수학을 좋아하지만, 잘하는건 아닌 셈입니다... 계량경제학의 고급수학은 문제로만 이해될 뿐 현실의 어떤것으로 연상이 되지 않습니다. 금융분석에 어려움을 느끼는 이유도 됩니다.
고1 이후 수학에 열정을 잃게 된 이유가 지금와서 보니, 도형이 더 이상 나오지 않아서 인것도 같습니다. 입체도형의 절단면... 종이 위의 평면도형으로 표현하는데 한계가 있습니다. 입체로 그리고, 그 그림이 움직인다면, 대부분의 대수학(수식으로 표현되는 수학)을 기하학으로 옮길수 있는데... 움직이는 그림이나, 입체그림의 내부 형태 등을 단지 수식으로만 설명하고 이를 사람들 보고 이해하라고 하는 건 너무 어렵습니다. 여튼 저는 지금도 누군가 그림그려서 설명해 주면 좋겠습니다. 플래쉬, 동영상 얼마나 좋습니까? 움직이게도 하고 입체그림을 이리저리 자르면서.... 수학을 설명해 주면 얼마나 좋을까?.
각설하고요. 정치경제학 공부와 수학공부가 뭔 관련이 있나?
빵장사의 정치경제학 쉽게알기 강좌안을 보신분들은, 정치경제학은 수학이야.. 이런 생각을 가질 겁니다. 사실 사회과학 자체가 수학에 기초해 있고요. 이론과 설명의 대부분이 수학적 입니다. 더하기 빼기, 방정식, 함수... 그런데 변동모델의 경우 시간개념이 있고, 변화율 이런 어려운 수학도 있습니다. 세상 자체가 복잡합니다. 기초적이며, 본질적인 부분이란 세상속에서 추출된겁니다. 단지 더하기 빼기가 홀로 독립되어서 존재하는 건 아닙니다.
예를 들어 생산물=지대+임금+이자, 에서 생산물-지대=임금+이자 가 정치경제학의 기본식입니다. 산수에서 더하기를 배우고, 빼기를 배우기전, = 등식의 의미를 가르치면서 나옵니다. 그런데 이게 세상을 정치경제학을 통해 이해할 때, 가장 본질적이며 근본적인 이론, 법칙이라고 이야기 하는 겁니다. 이후 모든 이론적 설명에서 위 등식이 언제나 전제됩니다.
한편, 투기지대선, 단결지대선, 정상지대선 등등 경제불황, 경기변동을 설명할 때에는 고등학교 정도의 수학이 필요합니다. 그렇지만 나누어서 이해하고, 그림을 통해 설명하면 복잡한 수식이 필요가 없습니다. 실제 경제정책을 결정하거나, 공동체내에서 실제 임금, 이자, 지대를 분리할 때에 고급수학을 사용할수도 있고, 아니면 나누어서 인식하고, 대략 80%정도 참이면 됩니다. 인간이 하는 일이니까요.
각설 함 더 하고요.
헨리조지의 [진보와빈곤]은 영국대학에서 영문학 교재로 사용된다고 합니다. 저는 수학은 좋아했는데, 외우는 걸 싫어해서 영어는 잘못하고 싫어했습니다. 시험 때문에 억지로.. 억지로.... 100을 노력하면 그 돌아오는 대가는 20이나 될까... 수학은 시험에 안나오는 것도 좋아서 공부했는데.... 91년 헨리조지를 만나고, [진보와빈곤]을 통해 첨으로 영어공부를 했습니다. 그래서 지금도 잘하지는 못하지만, 영어가 이런것이구나.. 이렇게 생각하는 구나 정도는 압니다. ㅡ,.ㅡ
다른 분들에게 권합니다. [진보와빈곤]을 통해서 수학공부를 해보시기 바랍니다.
책 자체의 내용도 수학적으로 짜임새 있습니다. 아래 여학생의 글에서 수능문제를 잘 짜여진 예술이라고 표현했던데, [진보와빈곤]은 600 여 페이지에 달하는 하나의 예술적 수학문제와 같습니다. 물질적으로 진보하는데 왜 평범한 사람들은 가난해 지느냐? 문제아닙니까? 그 답을 수학적으로 설명해 줍니다.
제가 [진보와빈곤]에 나오는 정치경제학이론을 압축 요약 정리해서 기하학 도형으로 그리고 있습니다. 헨리조지가 그렇게 잘 설명해 놓았기 때문입니다. 그가 보는 세상과 제가 보는 세상이 다른 점 보다는 같은 점이 아주 훨씬 많아서 같다고 할수 있습니다.
버나드쇼는 헨리조지의 강연을 듣고, 그의 사상과 이론을 이해하고 희곡(지금으로 치면 영화나 티브이 연속극 같은겁니다.)을 썻고, 톨스토이는 어린이들이 보는 우화집도 만들고, 부활이란 소설도 썼습니다. 손문은 경제개발을 하기 위한 공화혁명을 했고요...
수학은 이 세상을 이해하는 하나의 수단입니다. 예를 들어 [진보와빈곤]에 나오는 이론들을 아주 쉬운, 초보자 형태로 설명하게 되면, 어린이 산수교재가 되지 않을까 저는 생각한답니다. 그림, 조각, 영화, 소설, 등등 예술작품을 볼 때 우리들 각자가 알수 없는 교감 끝에 무언가 느껴지듯이.. [진보와빈곤]은 세상을 잘 반영하고 있는 책입니다. 저는 수학으로 많이 바라보고 있는 셈입니다.
[진보와빈곤]과 강좌안이 어렵다고 느껴지시는 분, 재미있는 수학공부를 한다고 함 생각해 보세요. 또는 덤으로 수학공부도 하는 것이다고 위로도 해보시기 바랍니다.
현실에서 대학가기 위한 수학공부는 다들 넘 어렵다고 합니다. 왜냐 실제와 분리되어 버렸기 때문입니다. 분업체계 속에서 수학전문가가 필요합니다. 그리고 대학에서 배우는 학문들의 전문적 연구 영역에 고급 수학이 사용되기도 합니다. 그런데 따로 따로 놉니다. 이세상이 하나이니까, 궁극에는 다 연결이 되는데, 그 연결점 까지 글로 서술한 책을 저는 아주 가끔만 보게됩니다.
현실의 예를 들어서, 재미있게 흥미롭게 수학 공부를 하자. 추상적 사고력을 기르자..[진보와빈곤]을 통해서 함 해보시길 권합니다.
2003.12. 21
가야산에서 빵장사
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나는 재수생이다. 많은 인문계 여학생들이 느끼는 거겠지만, 수학은 공부를 하면서도 늘 불안한 과목이다.
고3 수능 때 수학 점수는 48점. 84%에 3등급. 인문계니까 어쩔 수 없다며 그래도 이 정도가 어디냐며 나름대로 만족을 했다. 하지만 재수의 길을 들어서게 된 이상, 수학은 절대 피할 수 없는 관문이었다.
고3때 주변 친구들이 수학을 포기하는 걸 여러번 봤다. '인문계니까 사탐 더 잘보지 머.' '해도 안돼' 등등. 이유도 많았지만, 수학을 포기하고는 점수가 잘 나올 수가 없다. 아마 많은 학생들이 공감할 것이다. 나도 모의고사를 볼때 다른 영역 점수는 비슷하면서 수학에서 20점 정도 밀리는 바람에 등수가 확 떨어지는 경우가 많았으니까.
수학을 가장 힘들어 하는 이유는 마음속의 두려움이다.
수업시간에 나름대로 열심히 듣고 학원에서도 공부를 했고, 또 과외까지 했는데도 막상 문제를 풀면 막힌다든가. 아니면 나는 정말 죽어라 문제를 풀어보고 또 풀어보는데도 시험지만 받아들면 앞이 깜깜하다. 수학은 공부를 해서 시험을 치든 다 찍어버리든 점수가 똑같다든지.
나는 중학교 2학년때부터 학원에서 정석으로 공부했다. 학원에서 특수고반이라고 하여 일찍 부터 수업을 시켜 줬는데, 비교적 간단한 수와식 단원부터 한 것으로 기억이난다. 그렇게 5년을 동고동락한 정석책. 그리고 학교, 학원 수업. 거기에 이제까지 사서 풀다가 내다버린 수학책까지 하면. 나도 어마어마한 돈을 수학이란 한 과목에 투자한 셈이다. 열심히 공부 했다고 생각했고, 내신에서는 다 맞든지 한 두개만 틀리면서도 모의고사만 보면 비가 우수수 내렸다. 뭐가 문제 인지 알 수가 없었다. 너무 억울했고, 수학이 너무 멀리 있는 것 같았다. 결국 수1 뒷 단원인 확률과 통계, 그리고 극한 부분은 거의 포기한 채로 시험장에 들어갔다.
2월부터 시작된 재수 생활 역시 정석책과 함께! 다만 이번에는 양을 좀 더 늘리자 싶어 개념원리 책을 같이 덧붙였다. 고3때 개념원리책만 5번 정도 완벽히 풀어내고 70점을 쭉 넘기는 친구를 봤기 때문이다. 정석에서 예제와 유제를 풀고, 개념 원리로 다시 한번 풀어주고. 수업 시간 집중해서 듣고. 그렇게 한달 반 정도를 공부했고, 3월에 본 첫 모의고사 성적은 68점. 고3때도 못받아본 점수에 눈이 휘동그레졌다. 물론 시험이 쉽긴 했지만, '아~ 내가 수학에서 대박을 내는군!' 이라며 혼자 흐뭇했다. 정말 수학이 된다고 착각을 했다. 3월 교육청 모의고사 54점, 4월 모의고사 50점. 점수가 계속 떨어지고 있긴 했지만 그래도 그정도면 잘한다고 생각했다. 내 공부 방식이 맞다고 생각했고, 그렇게 공부를 계속 했다. 거기에 조금 더 한것이라면 수업 시간에 필기하시는 문제나 내용들은 반드시 필기를 했다. 새 노트에 하나 하나 다 적어나간 것이다.
5월 모의고사. 평소에 기피 대상이었던 도형이 거의 문제 절반을 채웠던 것같다. 시험 시간 내내 긴장해가며 최선을 다했다고 생각했는데, 채점 결과 22점. 이럴 수가 없었다. 첫 시험 이후 계속 떨어지는 점수에 설마 했지만, 하늘이 노랬다.
'공부 방식에 문제가 있는 게 아닐까.?' 넌지시 던진 선생님의 이야기에 다른 방법이 없었다. 그제서야 수학을 잘 하는 같은반 오빠들과 선생님에게 계속 상담을 받았다.그러면서 파악한 내 문제점들이다.
◎ 수학에 대한 두려움 ◎ 약간 복잡한 용어나 정의에 대한 기본적 개념이 정확하지 않음 ◎ 문제만 정확하게 이해하고 관찰해도 풀리는 문제를 전혀 읽어내지 못함 ◎ 끝 마무리(산수 계산 등)에서의 집중력 부족 ◎ 복잡해 보이거나 복합 문제에서의 이해력 부족 ◎ 수학을 암기 과목이라고 생각함 ◎ 도형이나 그래프 등에서 머리속으로 그려내지 못하는 것
아마 수학을 싫어하는 학생들도 위에 말한 나의 문제점 중 한, 두가지라도 공감을 할 것이다.
내가 제일 먼저 한 일은 정석과 개념 원리를 사물함에 꼽고 더이상 꺼내지 않기로 한 것이다. 공대를 졸업하고 직장에 근무하다 약대에 가려는 30살 아저씨에게 정석이 수능과는 전혀 동떨어진 책이라는 말에 동의했기 때문이다. 개념이 하나도 없이 처음 시작하는 거라면 해볼만한 책이었지만 고3때까지 비교적 수업을 충실이 들었고, 스스로 기본적인 내용이 어느정도 머리속에 들어있다고 판단했다.
수능 수학문제 30개 중, 전형화 해서 보면 바로 풀수 있는 문제도 나온다. 하지만 그건 수능을 치를 모든 수험생이 다 풀어낼 수 있는 문제이고, 조금이라도 더 나은 점수를 받기 위해서는 그외 문제에서 싸워야 한다. 그럼 매년 신유형, 신유형 하는데 전혀 얼토당토 않는 문제를 학생들에게 던져주냐 하면 그렇지 않다. 정말 교과서에 나오는 기본적인 개념들만 정확하게, 그리고 확실하게 꽤 뚫고 있으면 풀리는 문제가 대부분이다. 다만 그 문제들이 화려한 모습을 하고 있기 때문에 접근을 못하는 것이다. '나는 당연히 수학을 못해'라며 주저앉아 버리게 하니까..
이렇게 다시 방향을 잡고 공부 계획을 세운 게 5월 중반. 잘 해낼 수 있을 것이라는 자신감 보다는 얼마 남지 않았다는 불안감에 막막하기만 했다. 만점에서 한두개 틀리는 친구들을 보면서 한없이 처져 있다는 두려움이 견디기 힘들었지만, 어차피 시작이 다른 거고 난 내식으로 할 수밖에 없었다.
힘들었지만 재미있었던 수능 수학 공부 2 |
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원현지(king10425) 기자 |
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물론 한번도 직접 본 적은 없지만, 소를 죽일때 가장 편안하게 죽이는 방법은 소 머리의 정수리를 한번에 정확하게 치는 것이라고 한다.
평소에는 엄마가 자질구레한 잔소리를 하시며 하루에도 열두번씩 나와 크고 작은 말다툼을 하지만, 정작 아빠는 가만히 계신다.그러나 아빠가 아무말씀 없이 지켜 보시다 정확하게 내가 잘못한 것들만 지적 하시는 날에는 난 입도 뻥끗 할 수가 없다.
어느 공부를 하든지 그것 또한 마찬가지라고 생각한다.
어느 문제든지, 그것은 본질(문제의 핵심)과 표현(문제 문장의 길이, 도표, 그림 등 본질을 설명해 놓은 것) 으로 이루어지는데, 표현 방식에 휘둘려 그 문제가 무엇을 묻는지 정확하게 파악하지 못하면 결코 완벽한 대답을 할 수가 없다. 아무리 내 머리속에 많은 지식이 들어가 있더라도 그것과 문제의 요구사항을 연결 시키지 못하더라도 대답을 만들 수 없다.
5월 중반부터 스스로에게 내린 계획은 이것 한가지 뿐이다.
'문제의 본질을 파악하자.'
하루가 급하게 새로운 교재가 필요했다. 그렇게 해서 만나게 된 책은 다름 아니 <8개년 수능 기출 모음집>. 이걸로 어떻게 하라는 말인지.
나 혼자서는 대책이 서질 않았다. 이제까지 내 기억속의 수능 기출 문제는 단순히 수능 끝나고 나면 대충 훑어 보고 넘어가는 것. 문제집에 반복되는 문항에대해서는 풀이법을 외워 답을 맞추는 것이었다. 이제까지의 행동을 봐서는 이번에도 그 꼴이 반복될것 같았다. 결국 다시 선생님과 같은반이었던 30살 아저씨(교주님)의 도움을 구할 수 밖에 없었다.
선생님과 교주님이 나에게 조언해준 수학 공부 방법을 정리해 보면 다음과 같다.
- 시간을 재면서 풀지 말것 - 답지는 절대 보지 말것. - 한 가지 방법이 아니라 여러가지로 접근할것 - 답을 구했다면, 최대한 잔머리 써서 풀이법을 연구할 것 - 위 몇가지 단계를 충분히 거친 후에도 도저히 답을 구할 수 없을때, 질문 할것 - 그리고 가장 중요한 것.. 반드시 풀어낼 수 밖에 없다는 자신감과 아무리 어려워 봐야 니가 수학문제 밖에 더 되겠냐는 배짱!
단순히 몇 개년 기출 모음집만 가지고는 부족할것 같아, 단원별로 기출 문제를 정리한 책을 한권 더 구입했다. 그리고 교주님이 해주신 조언들. 반드시 이겨 보리라 결심했다.
1. 시간을 재면서 풀지 말것
수능 시험 이라는게, 정해진 시간 내에, 지정된 장소에서, 30개의 문제와 싸워야 한다. 앞 기사에서도 말 했듯이, 누구든지 읽으면 줄줄 손으로 풀어낼 수 있는 전형적 문제가 반드시 출제 된다.
하지만 더 많은 점수를 얻으려 한다면, 반드시 '사고력'이 따라줘야 한다고 생각한다. 내가 문제점이라고 지적한 집중력, 이해력 부족은 수학적 지식이 부족한것도 이유가 되겠지만,그보다 더 큰 이유는 문제를 읽고 그대로 이해할수 있는 사고력 부족했기 때문이라고 생각한다. 읽고 바로 손으로 끄적 거리다가 포기하는 수동적 문제 풀이에서, 문제를 읽고, 이 문제가 무엇을 요구하는지/숨겨진 본질이 무엇인지에 대해 충분히 생각해 본 뒤, 그 다음에야 비로소 손을 들어 계산을 하는 능동적이고 적극적인 모습으로 바껴야 하는 것이다.
이때 문제의 본질이 무엇인지 떠오르지 않을 때에는 문제를 정확하게, 그리고 꼼꼼하게 다시 읽어 봐야 한다. 흔히 문제가 길면 짜증부터 내게 마련이고, 심지어 읽어 내려가다 포기하고 넘어가는가 하면, 문제는 A라고 말하는데 본인은 F 라고 이해해 버리는 웃지 못할 일들이 벌어진다.
앞에서 말한 사고력이라는게 하루 아침에 만들어 지는 것이 아니다.초등학생에게 칸트의 사상에 대해 설명한다고 해서 70% 이상 받아들이기 힘든 것과 마찬가지가 아닐까? 그 초등학생이 꾸준한 독서와 학습을 통해 자신의 지식의 양을 쌓아갈때 칸트 뿐만 아니라 다른 사상가의 이론을 습득할 수 있는것과 같다고 본다.
꾸준한 시간과 노력을 통해 자신의 잘못된 습관을 고치고, 어떤 트릭을 써서 문제를 내게 되는지, 어느 개념이 이러 이러한 이유에 의해 어떤 방식으로 문제에 적용이 되는지 등. 어느 잘 나가는 문제집, 참고서에서도 가르쳐 줄 수 없는, 자기 머릿속에 어떤 틀을 형성해 내야 한다.(이건 나로서도 더이상 어떻게 설명을 할 수가 없다. 자기의 노력으로 몸으로, 그리고 마음으로 느껴야 한다.)
시간을 재지 말고 풀라는 이유는 바로 이것이다. 하루에 한문제 밖에 풀지 못하더라도, 이렇게도 뜯어 보고 저렇게도 뜯어보면서 생각의 폭을 키워주는 것이다. 그 과정이 반복되고 누적되다보면, 당장에는 잘 느끼지 못하겠지만 차츰 사고의 폭이 커지고 문제를 보는 눈을 뜰 수 있게 된다. 불안한 마음에 문제집만 계속 사고 다 풀지도 못해 버벅 거리곤 한다. 그 마음을 십분 이해하지만, 문제집의 권 수로 승부를 보겠다는건, 무리가 따른다.
그럼 왜 수능문제로 이 연습을 하라고 하는 걸까? 수능 문제는 예술이다. 올해 오답 시비도 붙고 말이 많지만,정말 깔끔하고 완벽한 문제라 할 수 있다. 모든 문제를 한가지 방법이 아닌 여러가지 방법에서 접근해 볼 수 있다. 교수들이 칼같이 내는 문제. 아무리 문제집을 많이 푼다고 하더라도 기출 문제만큼 따라갈 수가 없다. 문제집에 나오는 문제들은 모두 기출 문제를 바탕으로 두고 요리, 조리 바꾸고, 뒤집고, 조금씩 뜯어와서 만들기 때문이다. (일반 문제집과 기출의 차이는 스스로 풀어보면 풀어볼 수록 확실히 느낄수 있다)
시간에 구속받지 않고 하루에 기출문제 중 어렵다고 넘어갔었던 문제들부터 한,두개씩 골똘하게 생각해 보는것. 수학과 친해지기 위한 내 첫번째 피나는 노력이었다. |
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제가 글 쓰는 실력이 부족해서, 양은 계속 늘어나는데 빨리 빨리 못 넘어가서 죄송합니다. | |
2003/12/21 오전 10:16 |
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