수란> 무리수는 유리수보다 크기가 더 크다

두 집합 A, B 의 크기가 다르면 ｜A｜≠｜B｜로 나타내기로 한다. 유리수와 자연수는 서로 크기가 같고, ｜{유리수}｜=｜{자연수}｜으로 나타내었다. 그렇다면 모든 수의 집합은 자연수와 크기가 같을까? 결론적으로 무리수는 순서대로 나열할 수 없다. 칸토르(Cantor)의 대각화방법( diagonalization process )을 이용하여 증명하여 보자. 1 - **.31571240651 ... 2 - **.15571465715 ... 3 - **.74523657712 ... 4 - **.70124035258 ... 5 - **.01231035640 ... 6 - **.40286158924 ... 7 - **.74851023560 ... 8 - **.01957531189 ...   이 때, 정수부분은 적당한 정수를 택하되 소수점 아래 부분을 다음과 같이 결정한다. 1. 첫번째 수의 소수점 첫째 자리를 살펴보아 이 수가 1이 아니면 1을 선택하고 1이면 0을 선택한다. 위의 수에서는 첫번째 수의 소수점 아래자리가 3 이고 이것은 1이 아니므로 1을 선택한다. 2. 두 번째 수의 소수점 둘째 자리를 살펴보아 그 수가 1이 아니면 1을 선택하고 1이면 0을 선택한다. 위의 수에서는 두번째 수의 소수점 둘째 자리가 5 이고 이것은 1이 아니므로 1을 선택한다. 3. 세 번째 수의 소수점 세째 자리를 살펴보아 그 수가 1이 아니면 1을 선택하고 1이면 0을 선택한다.위의 수에서는 세번째 수의 소수점 세째 자리가 5 이고 이것은 1이 아니므로 1을 선택한다.   이런 식으로 선택한 새로운 무리수 0.11110110 ... 는 위에서 나열된 어느 수와도 다른 수이므로 순서대로 나열한 모든 수의 나열에 들지 않는다. 즉 이 새로운 수에 짝 지워지는 자연수를 찾을 수 없다   이처럼 모든 무리수를 나열하였다고 보았을 때 나열되지 않는 새로운 무리수를언제든지 찾아 낼 수 있으므로 모든 무리수를 순서대로 나열할 수 있다는 것은틀린 말이 된다. 이 때, 자연수와 유리수는 일대일 대응관계를 만들 수 있지만, 자연수와 무리수는 일대일 대응관계를 만들 수 없고 자연수에서 무리수로 가는 일대일 함수(단사함수)를 만들 수 있으므로 정수의 집합보다 그 크기가 더 크다고 할 수 있다.   한 편 두 집합 A, B 에서 B의 개수가 A의 개수보다 많을 때, 집합 A에서 집합 B로 가는 일대일함수(단사함수)가 있지만 집합 B에서 집합 A로 가는 일대일함수(단사함수) 가 없을 때,B의 개수(기수)는 A의 개수(기수)보다 크다고 하고｜A｜<｜B｜로 나타낸다. 또, 집합 A에서 집합 B로 가는 일대일함수(단사함수)가 있고 집합 B에서 집합 A로 가는 일대일함수(단사함수) 가 있을 때, B의 개수(기수)는 A의 개수(기수)보다 같다고 하고｜A｜=｜B｜로 나타낸다