Re:공집합은 모든 집합의 부분집합이다 증명에서..

가정이 거짓임을 이용하여 주어진 명제가 참이 되는 것은 사실 좀 어색해 보이긴 합니다. 그러나 이것은 우리가 대개의 경우 가정이 참인 경우만을 주로 다루기 때문에 그렇지, 논리적으로는 아무 문제가 없습니다. 이런 것이 문제가 된다면 애초에 가정이 거짓이 되는 경우를 따로 정의하면 됩니다. 공집합이 모든 집합의 부분집합이라는 것도, 어떤 의미에서는 그냥 그렇게 정의한 셈입니다. 공집합이 아닌 경우는 "x∈A -> x∈B"를 그냥 쓰고, "x∈A"를 생각할 수 없는 경우, 즉 A가 공집합인 경우는 그냥 A⊂B라고 따로 정의한 것으로 생각할 수도 있다는 것입니다. 결국 이 두 경우를 합쳐서 그냥 "x∈A -> x∈B"라고 정의한다고 생각해도 됩니다. 이제 문제는 "x∈A -> x not∈B"인 경우겠죠? 실은 이 명제는 부분집합과는 전혀 상관이 없습니다. 부분집합의 정의를 정확히 쓰면, 　　　　A⊆B <=> [∀x: x∈A -> x∈B] 입니다. 그러니 부정을 생각한다면, 　　　　∃x: ~(x∈A)∨(x∈B) 이지, 　　　　∀x: x∈A -> x not∈B　　　　---(*) 가 아닙니다. 조건 (*)는 disjoint를 뜻하는 것이고, 공집합의 경우 　　　　emptyset ∩ B = emptyset 이므로 (*)도 분명히 참이 됩니다. 따라서, 공집합이 부분집합이 되기도 하고 안 되기도 하는 것은 전혀 아닙니다. 아, 그리고 공집합의 기호는 그리스 문자 φ(phi)가 아닙니다. --------------------- [원본 메세지] --------------------- x∈Φ -> x∈A (A는 임의의 집합) 이것은 F -> T 즉 가정이 F 이므로 결론의 T,F 에 관계 없이 참인 명제가 되잖아요. 아래 어느 님께서 공집합이 모든 집합의 부분집합이 되는 것의 증명을 물어보셨던데, 제가 바로 떠오른 생각이 위의 증명법이었습니다. 항상 궁금했던 것인데 문득 기억이 나게 해 주었습니다. 가정이 F 이므로 결론의 T,F 에 상관 없이 명제가 참이 되는 걸 이용해서 증명하는게...과연 믿을 수 있는건지..그런 의심이 들거든요. 예를 들면, 'x∈Φ -> x는 임의의 집합 A에 속하지 않는다' 라는 명제를 만들어도 이건 가정이 F니까 위의 명제는 참이 되잖아요. 그럼 나오는 결론은 공집합은 임의의 집합의 부분집합이 안된다는 건데.. 위의 명제의 진리표는 알지만, 가정이 F인 것을 이용해 증명하는 것은 왠지 모를 의심과 틀릴 가능성이 많지 않을까 하는 불안함이 있습니다. 그렇지 않습니까??