비가환기하학

[유토피아]

비가환 기하학이란 세상이 불연속하며 이들 불연속 사이에 이음매가 있다라는 추측이다. 

이 추측은 리만가설에서 영점의 분포식과 일치하여 세상의 구성과 소수의 연관성을 추측하게 해준다

그런데.. 이거 공부를 하려고 해도 책이 없다. 인터넷에도 정보가 없다.

일단 아래 비가환기하학에 대한 위키백과 설명만 봐도 한줄에 모르는 단어만 세개씩이다.

올해 남은시간 도전과제 비가환기하학 시작!

위키백과 인용 비가환 기하학

수학에서, 비가환 기하학(非可換幾何學, 영어: noncommutative geometry, NCG)는 비가환 C* 대수를 마치 어떤 기하학적 구조 위에 존재하는 함수대수처럼 간주하여 기하학적으로 다루는 분야다.

개론[편집]

겔판트 표현 정리(영어: Gelfand representation theorem)에 따라, 모든 가환 C* 대수는 어떤 국소 컴팩트 하우스도르프 공간 위에 존재하는 함수대수와 동형이다. 즉, (국소 컴팩트 하우스도르프) 위상공간을 연구하는 것은 그 위에 존재하는 함수대수를 연구하는 것과 같으며, 위상공간의 여러 성질들을 그 함수대수의 성질로 나타낼 수 있다. 물론, 이러한 함수대수들은 모두 가환대수다.

이 위상공간/C* 대수 이중성을 비가환 C* 대수에 대하여 확장하려 한다고 하자. 즉, 비가환 C* 대수를 어떤 (실재하지 않는 가상의) "위상공간" 위에 존재하는 함수대수로 간주하여, 기하학적인 기법으로 연구할 수 있다. 즉, 비가환 C* 대수는 "비가환 위상공간" 위의 함수대수다. 예를 들어, 비가환 원환면이라고 불리는 비가환 C* 대수는 마치 원환면 위의 함수대수와 여러가지 유사한 성질을 지녀, "비가환" 원환면 위의 함수대수로 생각할 수 있다. 마찬가지로, 퍼지 구는 일반 구를 일반화한 것으로 볼 수 있다.

리만 다양체의 구조는 함수 대수에 스피너에 대한 미분 연산자 (디랙 연산자)를 추가한, 소위 스펙트럼 삼중(영어: spectral triple)로 나타내어진다. 이는 알랭 콘이 증명하였다. 따라서, 비가환 스펙트럼 삼중은 비가환 리만 다양체 위의 함수대수로 간주할 수 있다.

개념 및 도구[편집]

비가환 공간 위에는 가환공간과 유사하게 호흐실트 호몰로지(Hochschild homology)나 순환 호몰로지(cyclic homology)와 같은 호몰로지 및 연산자 K이론을 통한 K이론을 정의할 수 있다. 또한, 비가환 대수기하학도 존재한다.^[1][2][3][4]

물리학에서의 비가환성[편집]

비가환 기하학은 양자장론 및 끈 이론에서 널리 쓰인다.^{[5][6][7][8][9]}

비가환 기하학과 쌍극자[편집]

공간 좌표의 비가환성은 대략 균일한 자기장 속에 존재하는 전기 쌍극자처럼 생각할 수 있다.^[10][11]

평면에서, 균일한 자기장 를 생각하자. 이 속에, 전하가 이고 질량이 인 두 입자가 존재하고, 이들 사이에 조화 진동자 퍼텐셜

이 존재하여 이 두 입자가 전기 쌍극자로 묶여 있다고 하자. 이 경우, 라그랑지언 은 다음과 같다.

이제, 쌍극자 질량 중심의 위치

와 쌍극자의 크기

를 정의하자. 이 변수로 쓰면, 라그랑지언은 다음과 같다.

라그랑지언으로부터, 쌍극자 질량 중심 에 대응하는 일반화 운동량 는 다음과 같다.

따라서, 이 계를 양자화하려면 다음과 같은 정준 교환 관계

를 가한다.

이제, 입자들의 질량 이 매우 작아 무시할 수 있다고 하자. 그렇다면

이다. 즉, 쌍극자의 크기는 그 운동량과 비례한다. 따라서

이다. 다시 원래 변수 , 로 바꾸면

기 된다. 따라서, 자기 쌍극자의 양끝의 좌표가 가환하지 않는 것을 알 수 있다.

이에 따라서, 비가환 평면에 존재하는, 운동량 를 가진 평면파 는 크기가 그 운동량에 비례하는 쌍극자로 간주할 수 있다.^[5]:§II.B.2