스크랩 황금비와 정오각형의 넓이 공식과 작도 방법

[아름바다]

황금비(golden ratio)

황금비 또는 황금분할(라틴어: sectio aurea 혹은 sectio divina)은 주어진 길이를 가장 이상적으로 둘로 나누는 비로, 근사

값이 약 1.618인 무리수이다. 기하학적으로 황금분할은 이미 유클리드(원론 3, 141)가 정의한 이래 예술분야, 특히 건축, 미술

등에서 즐겨 응용되었다.

황금분할의 정의

 

(a+b):a = a:b

 

 

 

황금비 φ는 선분을 a, b 길이로 둘로 나눌 때, (a+b)/a = a/b = φ 인 값으로 정의된다. 이 때

 

 

 

가 성립하고, 를 대입하면

 

이차방정식이 나오고, φ는 이 방정식의 두 근 중 양수 근이 된다.

수학적 성질

 

황금비는 기하학에서 자주 등장하는 상수이다. 특히 오각형에 연관성이 크다. 예를 들어, 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의

길이의 비는 황금비이다.

피보나치 수는 황금비를 포함한다.

 

또한, 피보나치 수열의 두 수의 비의 극한값은 황금비이다.

생활 속에서 볼 수 있는 황금비

 

고대 그리스로부터 건축물을 아름답게 짓기 위해 황금비가 많이 사용되고 있으며, 명함, 신용카드 등에서도 볼 수 있다. HDTV

나 컴퓨터의 와이드 모니터 등에는 16:9, 15:9(5:3), 16:10(8:5) 등의 비율이 사용되고 있는데 이것은 황금비의 근사값이라 할

수 있다.

정오각형

정오각형

 

 

 

 

정오각형의 한 각의 크기는 108^o이고 내각의 합은 540^o이다.

한 변의 길이가 a인 정오각형의 넓이는

 

이다.

정오각형 작도

 

 

 

정오각형은 작도가 가능한 도형이다.

정오각형의 작도 순서

1.(초록색) 점 O를 중심으로 하는 원을 그린다.

2.원 O 위의 점 A를 골라 직선 OA를 그린다.

3.직선 OA와 수직인 직선을 그린다. 이 직선이 원 O와 만나는 곳을 점 B라고 한다.

4.점 O와 점 B의 가운데에 있는 점 C를 그린다.

5.(빨간색) 점 C를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 C가 직선 OB와 만나는 곳을 점 D라고 한다. (이 때 원 C

가 직선 OB와 만나는 점은 두 개가 있다. 이 중 원 O 안에 있는 점)

6.(파란색) 점 A를 중심으로 하면서 점 D를 지나가는 원을 그린다. 원 A가 원 O와 만나는 두 점을 각각 점 E와 점 F라고 한다.

7.점 E를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 E가 원 O와 만나는 곳을 점 G라고 한다.

8.점 F를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 F가 원 O와 만나는 곳을 점 H라고 한다.

9.(검정색) 오각형 AEGHF를 그린다.