보 형 형 식 연구 ( 최 영 주 )

[김동석]

보 형 형 식 연구 ( 최 영 주 )

제코비(Jacobi) 시대부터 연구되어진 세타 함수(Theta-function)가 지닌 많은 성질을 공유하는 보형 형식 이론의 수학 전반에서 역할의 중요성은 정수론에서는 물론 , 조합론, 편미분 방정식, 수리 물리, 대수기하학, 그리고 최근에는 표현론(represenation theory), 또한 21세기 정보통신의 주축이 되는 오류 정정 부호, 효율적이 공개키 암호 알고리즘의 기반 연구 이론 등등 에 이르기까지 곳곳에서 중요한 이론적 역할을 해오고 있음은 이미 이와 관련된 많은 연구를 통하여 널리 알려진 사실이다.

보형 형식이란 정수론 적 의미를 갖는 산술함수의 생성함수로 해석학적 방법의 접근으로 주로 그의 조합론, 수론적 의미는 물론 산술 기하학에서의 역할도 중요한 위치를 차지하고 있다. 한편 그간 많은 수학자들의 관심이 대상이 되고 있는 리만-가설(Rieman-conjecture)이란 수학에서 의 커다란 미해결의 문제가 걸려있는 Riemann-zeta 함수 의 함수 관계식(functional equation)을 유출 하는데 보형 형식의 특별한 경우인 고전 제코비 세타 함수는 기본 핵심 역할을 해왔다.

보형형식의 L-function이란 세타 함수와 리만 제타 함수와의 관계처럼, 성질이 좋은 적당한 보형 형식과 그와 연관되는 무한급수를 일컬음 인데, L-function의 함수 관계식으로 보형형식을 classify할 수 있다. 이를 Hecke correspondence라 부른다. 이 개념은 A.Weil에 의해 보형 형식의 일반 군에 적용되어 Taniyama 가설(”Fermat 마지막의 문제(Fermat's last Theorem)” 해결에 결정적 역할을 하였던 가설로 최근 Wiles 등에 의해 해결되었음)을 해결이 타원곡선의 L-function의 함수 관계식에 관한(Hasse-Weil L-function이라 불림) 가설을 해결 하게 하였다.

한편 L-function의 값에 관한 연구는 리만의 가설처럼 항상 많은 정수론 적 의미를 지니며, 그래서 이에 관한 많은 연구가 진행되고 있음이 사실이다; 예를 들어 Ax+B 모양의 (arithmetic progression) 솟수의 분포에 관한 연구 결과는 여러 모양의 디리클레(Dirichlet) L-function의 nonvanishing 문제와 밀접한 관계가 있음이 이미 알려져 있으며, 아직도 미해결의 문제로 남아있는, number field 위에서 정의 된 각각의 타원 곡선 E에 대하여 Hasse-Weil L-function L(E,s)을 정의 할 수 있는데, 그의 critical value L(E,1)와 타원곡선 E의 Rank와의 연계성에 관한 것을 설명해주는 가설로 “Birch Swinnerton-Dyer conjecture“라 불리운다. 참고로 최근의 A.Wiles 과 그의 학파에 의해 Hassee-Weil의 함수 관계식에 대한 결과가 밝혀짐으로 Weil의 결과에 의해 타원 곡선과 보형 형식의 관계성이 밝혀졌다.

윗 예제만 보더라도 critical value 에서의 L-function에서의 값에 관한 어떤 정보도 정수론 적 중요한 의미를 지닌다. 지금 이에 관한 연구들은 미국, 독일, 프랑스, 일본 등을 중심으로 이 분야의 많은 수학자들이 연구하고 있다.

한편 고차원 지겔 형식의 경우에 관한 연구는 아직 많은 연구 가 이루어지지 않은 상태이므로 higher genus 을 중심으로 구체적으로 산술을 더 살펴 볼 필요가 있다. 고차원의 지겔(Siegel) 보형 형식 이론이란 지겔이 이원형(quadratic form)에 관한 수론적 전개를 위해 1930년대 도입한 이론으로 보형형식 관점으로 수론 적, 기하학 적 성질이 연구 되고 있다. Siegel 보형 형식은 대수 기하학의 핵심 역할을 하고 있는 고차원의 abelian variety의 산술과 밀접한 관계가 있음은 잘 알려진 사실이며, 이에 관한 활발한 연구가 독일, 일본, 프랑스, 미국 등을 중심으로 진행되고 있다.

결론적으로, 보형 형식, 지겔 보형 형식, 더 나아가 힐버트 보형 형식(Hilbert modular form)의 산술은 제코비(Jacobi) 시대부터 최근 A. Wiles의 Fermat의 마지막 정리 증명에 이르기까지 현대 수론의 발전에 혁명적 역할을 주도해 왔다고 볼 수 있겠다. 최근만 살펴보더라도 1998년 수학 최고의 명예인 Fields 상 수상자 Borcherd에 의해 보형 형식, infinite product, Vertex-Algebra와의 관계성이 연구 되었으며, 또한 초끈 이론(super-string 이론)등 수리 물리학적 연구에 자연스럽게 등장이 되고 있어 보형 형식의 다양성이 더욱 더 강조 되고 있다.

하지만, 보형 형식 관련된 많은 수론 적, 문제들이 제기 되어 많은 수학자들의 노력에 의하여 해결 되었음에도 불구하고, 아직도 많은 미해결의 중요 문제가 남아 있으며, 다양한 연구로 인한 해결해야할 많은 중요 문제들을 창출 해 내고 있다. 보형 형식에 관련된 문제들은 국제 수학계의 핵심 역할을 주도 해 오고 있으며, 우리 나라에도 이 분야에 최상의 고급 인력을 양성하여 국제 주류 무대에서 활약할 수 있는 발판을 제공 할 수 있을 것이다.

(L-function의 값과 관련된 문제들) critical value 에서의 L-function에서의 값에 관한 어떤 정보도 정수론 적 중요한 의미를 지닌다. 지금 이에 관한 연구들은 미국, 독일, 프랑스, 일본 등을 중심으로 이 분야의 많은 수학자들이 연구하고 있다; 예를 들어 Ax+B 모양의 (arithmetic progression) 솟수의 분포에 관한 연구 결과는 여러 모양의 디리클레(Dirichlet) L-function의 nonvanishing 문제와 밀접한 관계가 있음이 이미 알려져 있다. 또한 “Birch Swinnerton-Dyer conjecture”란 number field 위에서 정의 된 각각의 타원 곡선 E에 대하여 Hasse-Weil L-function L(E,s)을 정의 할 수 있는데, 그의 critical value L(E,1)와 타원곡선 E의 Rank와의 연계성에 관한 것을 설명해주는 가설로 L-function의 critical 값에 관한 것으로 금세기 많은 수학자들이 이 문제에 도전 하고 있다. 지겔 보형 형식으로 보면, 보형형식의 일반적 고차원 Siegel 형식으로의 lifting에 관한 가설이 작년(2002년) 일본 수학자 Ikeda에 처음으로 의해 밝혀져서(Annuls, 2002), 그의 결과에 의하여 고차원의 Siegle형식에 관한 많은 산술적 성질의 연구의 장이 활짝 열렸다 할 수 있겠다.

또한 보형 형식을 이용하여 class number problem을 접근할 수 있다. class number를 계수로 갖는 생성함수가 반정수 가중치의 보형 형식으로 이해 될 수 있으므로 보형 형식의 이론을 사용하여 이와 관련된 문제를 접근하려는 많은 노력이 있다. 이 문제도 L-function의 값과 관련되어 있음은 여러 연구 결과에 의해 알 수 있다.

(보형형식에 연관된 다양한 문제들) 보형 형식의 이론은 무한 차원 Lie이론 infinite dimensional Lie theory, vertex operator이론 등등 표현론과 이론 물리에서도 중요하다 함이 알려져 미국이나 유럽에서는 물리학자들과 정수론 자들이 공동 주체로 국제 학회를 열기도 한다. 더구나 보형 형식 이 Kac-Moody Algebra의 denominator formula를 나타내는데 쓰였다 함이 Conway-Norton 이후 1998년의 Fields 메달 수상자인 영국 수학자 R.Borcherds 교수에 의해 그의 이론이 정립 되어 많은 수학자들의 새로운 연구의 방향을 제시 하게 되었다.

위에서 열거한 바와 같이 보형 형식에 관련된 연구는 현재 국제적으로 왕성히 연구되어지고 있는 정수론에서 핵심 분야라 할 수 있겠다. 국내에서도 몇몇 수학자들에 의해 연구가 활발히 이루어지고 있으나, 워낙 문제의 중요성과 방대함으로 인해 아직 이 분야의 연구 구룹은 국내적으로는 아직 미비한 상태라 할 수 있겠다.

대 수 적 정 수 론 연 구 ( 김 현 광 )

정수론은 오랜 역사를 갖고 있는 순수수학의 핵심 분야 중의 하나이며, 부호론은 1950년대 Shannon에 의하여 개발되기 시작한 수학의 정보 ,통신 분야에의 응용에 있어서 중요한 분야 중의 하나이다. 본 연구에서는 지난 수 년 동안 연구자가 정수론과 부호론을 연구하면서 접하게 된 대수적 정수론, 가법 정수론 및 부호론의 몇 가지 연구 주제를 심도 있게 연구하고자 한다.

대수적 정수론은 유리수 체의 유한 확장인 대수적 수체 상에서의 산술을 연구하는 학문이다. 대수적 수체 상에서 정의된 데디킨트 제타함수는 그 대수적 수체의 산술적, 해석적 성질을 내포하고 있는 수론 연구에 있어서 가장 중요한 함수 중 하나이다. 데디킨트 제타함수의 특수 값의 계산은 Euler가 리만 제타함수의 짝수에서의 값을 계산한 이래 많은 수학자들의 연구 대상이었다. 본 연구자는 최단순 삼차체의 제타함수 값을 Siegel 공식을 이용하여 초등함수 값으로 표현하는 방법을 개발하였다. 본 연구에서는 이 결과의 4차원 확장에 대하여 연구 하고자 한다. Siegel 공식을 최단순 4차체에 적용하여 최단순 사차체의 제타함수 값을 초등함수 값으로 표현하는 방법을 개발하고자 한다.

가법 정수론은 정수환의 덧셈 구조를 연구하는 학문이다. 1770년에 Lagrange는 ‘네 제곱수 정리’ 라 불리 우는 모든 자연수는 제곱수 네 개의 합으로 표시할 수 있음을 증명하였다. 본 연구자는 Lagrange의 ‘네 제곱수 정리’의 평면 확장인 Cauchy의 ‘다각형수 정리’와 고차원 확장인 ‘Hilbert-Waring 문제’를 통합하는 ‘정다면체 수‘의 개념을 제시하였다. 본 연구에서는 이 연구 결과를 기하학적 직관을 통하여 좀 더 확장하고, 해석학적 방법을 이용하여 좀 더 심화하고자 한다. 우선, ‘정다면체 수‘의 개념을 정규성을 갖는 다면체 위로 확장하고, 지금 까지는 정수 계수를 갖는 다항식에 대하여 주로 연구되어 왔던 원 방법(circle method)의 기법을 유리계수를 갖는 다항식까지 확장하여 다면체 수 집합의 기저 크기의 상계에 대한 결과를 유도하고자 한다.

부호론은 1950년대 Shannon에 의하여 개발된 학문으로 정보 전달 시 소음에 의하여 발생된 오류를 정정할 수 있는 부호를 연구하는 학문이다. superimposed code는 컴퓨터 프로그램 등 고가의 지적 재산의 무단 사용을 방지하는데 응용 될 수 있는 조합적 암호론의 중요한 연구 대상이고, perfect code의 분류 문제는 1970년대부터 연구되어져 온 부호론의 기본 문제 중 하나이다. 본 과제에서는 superimposed code의 구성 방법과 최상성(optimality)에 대한 연구와 반순서 구조상에서의 완전부호의 분류 문제에 대한 연구를 수행하고자 한다. 우선, [5]에서 본 연구자가 제안한 조합적 디자인 기법을 이용한 superimposed code의 구성 방법을 심화하여 (3,3) superimposed code 등 고차원 superimposed code를 구성하고, 이의 최상성을 증명한다. 또한, 왕관 구조상에서의 perfect code의 분류 문제를 연구하였는데, 본 연구에서는 관점을 약간 바꾸어 고전적으로 중요한 부호를 완전부호로 만드는 반순서 구조에 대하여 연구 하고자 한다.

대 수 기 하 학 ( 박 지 훈 )

대수 기하학에서 가장 큰 관심 중의 하나는 대수 다양체의 분류이다. 그 중에서도 Birational map에 의한 대수 다양체의 분류는 1세기 이상의 전통을 가지고 있는 관심사이다. 고전적으로 이탈리아 대수 기하학 학파에서는 100 여 년전 2차원 대수 다양체를 분류했다. 3차원 이상의 대수 다양체의 분류 가능성에 대하여는 1980년 대에 와서 그 결실이 맺어 졌다. 이른바, Minimal Model Program (MMP)이 라고 지칭되는 이 이론은 우선적으로 3차원에서 S. Mori에 의해 80년대에 증명 되었고 S. Mori는 이 업적으로 1988년 Fields 메달을 받았다. 그후 V.V. Shokurov에 의해 3차원에서의 Log Minimal Model Program (LMMP)으로 일반화되고 아주 최근에는 4차원까지 증명이 되었다. 그러나 임의의 차원에서의 증명은 아직도 미해결의 큰 문제로 남아 있다. 이 난제의 해결을 위해서는 Flip이라고 불리우는 특별한 Birational map의 존재성(Existence of flips) 증명과 연속되는 Flip들의 연결이 유한하다는 것(Termination of flips)을 증명해야한다.

MMP에서 Fano 대수 다양체라고 불리는 특별한 무리의 대수 다양체들이 중요한 연구 대상이 되어왔다. 사실, MMP와 연계하지 않더라도 Fano 대수 다양체는 Calabi-Yau 다양체와 함께 그 자체만으로도 중요성을 대수기하학뿐만 아니라 물리학, 수론 같은 다른 분야에서도 가지고 있다. 3차원에서 매끄러운 Fano 대수 다양체들에 관해서는 많은 것이 알려져 있다. 그러나 지금 현재까지도 많은 점들이 문제로 남아 있다. 가장 중요한 문제들 중 하나는 비유리성에 관한 문제이다. 다시 말하면, 주어진 Fano 대수 다양체가 사형공간과 Birationally 같은지 안 같은지를 판별하는 문제이다. 가장 기본적인 질문임에도 불구하고 그 답이 쉽지가 않다. 이 문제는 MMP 과 별도로 19세기 Lueroth 로부터 1971년 V.A. Iskovskikh 와 Yu.I. Manin 으로 그리고 현재까지 이어지는 아주 긴 역사를 가지고 있다. 이 문제의 발전은 1971년을 시작으로 극적으로 발전해 왔다. 이 문제를 접근하는 방법은 크게 4가지가 있다. V.A. Iskovskikh와 Yu.I.Manin에 의해 이루어진 Maximal singularity 방법([IM71]), H. Clemens와 P. Griffiths에 의해 제안된 Jacobian 다양체를 통한 방법([CG72]), M. Artin과 D. Mumford가 보여준 Brauer 군을 통한 방법([AM72]), 그리고 마지막으로 J. Kollar에 의한 Degeneration에 의한 방법이다([Ko95]). 이 4가지 방법 중 가장 광범위하게 그리고 현대에 급속하게 발달한 Singularity 이론과 잘 접목되는 것이 첫 번째 방법이다. 이 방법을 통해 V.A. Iskovskikh, Yu.I. Manin, A.V. Pukhlikov는 4차인 3차원 Fano 초곡면, 5차인 4차원 Fano 초곡면, 그리고 임의의 n 차 n-1 차원 초곡면의 비유리성 증명에 차례로 성공했다 .

현대에 들어 와서는 Birational Geometry에서 발전되어 온 여러 가지 결과들이 활발하게 비유리성 문제에 접목되어 지고 있다. 그 중에서도 Log canonical threshold 라 불리는 Singularity의 정도를 측정하는 수치가 아주 중요한 개념으로 사용되고 있다. 이 계념은 90년대 V.V. Shokurov에 의해 도입되었지만 전통적인 이론과 밀접한 관계를 보여주고 있다. 예를 들어 함수의 적분 가능성, 미분작용소 등과의 관계가 알려져 있다. 아주 최근에는 이 Log canonical thresholds가 Motivic 적분이라는 새로운 방법으로 연구되어 지고 있고 이 방법을 통해 꽤 많은 결과가 이루어 졌다.

현대 Birational Geometry의 중요한 문제중의 하나는 주어진 Linear system에서 그 구성원이 얼마나 Singular 할 수 있는가를 측정하는 것이다. 이러한 측정은 위에서 언급한 Maximal singularity 방법, LMMP 등과 같은 곳에서 아주 중요한 것이다. Log canonical threshold는 그 측정에서 있어서 잣대 역할을 할 수 있는 것이다. 이러한 넓은 응용 범위와 중요성에도 불고하고 알려진 사실은 빈약하다. 중요한 미해결 문제 중 하나는 소위 Ascending Chain Condition (A.C.C.) 예측이라도 불리는 문제이다. 이 문제는 LMMP에서 Flip 연결의 유한성 예상을 증명하는데 결정적으로 쓰일 것이 예상이 된다. 본 과제의 목적은 Log canonical threshold를 연구하는데 있다. 이 연구는 최근 새롭게 M. Kontsevich에 의해 도입되고 V.V. Batyrev, J. Denef, F. Loeser 등에 의해 발전되어온 Motivic 적분과, 본인과 I. Cheltsov에 의해 생각되어진 V.V. Shokurov의 소멸정리의 응용을 시작점으로 할 것이다. 이를 바탕으로 사형공간 안에서 완전교차로 정의되는 Fano 지수 1을 가지는 Fano 대수 다양체의 비유리성을 증명하고자 한다. 더 나아가 매끄러운 대수 다양체 위에서의 A.C.C. 예측을 증명하는 것도 목적 중에 하나로 둔다.

가 환 대 수 연 구 ( 강 병 균 )

완비화와 formal power series ring과 그것의 대수적 성질, spectrum을 연구한다. 멱급수환과 해석함수환 사이에는 유사성이 있음이 알려져 있는데 그 관계를 깊이 탐구하고자 한다. Weierstrass의 정리와 Helmer의 정리에 의하여 the ring E of the entire functions는 Bezout ring이며 Henriksen에 의하여 Krull-dim(E)는 uncountable이라는 사실이 알려져 있다. Eakin과 Sathaye[ES]는 E에 대응되는 대수적 대상인 멱급수환 V[[X]]에 대하여 1982년에 다음과 같은 문제를 제기하였다: V를 complete rank-one nondiscrete valuation domain이라 할 때

(1) A=V[[X]][K]는 Bezout ring인가?
(2) Krull-dim(A)는 infinite 인가?

이 문제를 해결하기 위하여 본인은 무한개 power series의 곱을 대수적으로 곱하는 방법을 고안하여 상기 문제를 해결하였는대 여기서 핵심적인 역할을 하는 무한개의 멱급수 fi와 그 곱 f에 대한 다음의 결과를 얻었다.

Theorem A [KP1, AKP2]
V를 rank-one valuation domain 이라하고 f, g, fi를 V상의 power series라 하면 다음이 성립한다.
(1) f의 zero는 각각의 fi의 zero들의 union과 동일하다.
(2) 어떤 power series g가 각각의 fi의 배수이면 g는 infinite product f의 배수이다.
(3) 임의의 power series의 zero의 갯수는 반드시 countable이다.

Theorem A(1)로 부터 Weierstrass정리와 유사한 정리가 성립한다. 즉 미리 준비된 zero set과 multiplicity에 대하여 이것이 좋은 형태이면 이것을 zero set과 multiplicity로 갖는 power series를 만들 수 있다는 것이다. 다시 말하면 무한개 power series를 곱한다고 해서 새로운 zero가 생기는 것이 아니라 기존의 factor인 fi들로부터 온다는 것이다. 이것을 이용하여 본인은 Eakin과 Sathaye의 질문에 완벽한 답을 제시하였다. 그러나 일반적인 Weierstrass정리는 성립하지 않음이 generalized power series를 이용한 저자의 논문[AKP2]에서 밝혀진다. 같은 논문에서 valuation domain V에 대하여 V[[X]]가 GCD domain이 되기 위해서는 V가 field이거나 rank-one valuation domain으로서 value group이 정수군 또는 실수군이 되어야함을 증명하였으며 그 역은 성립하지 않음을 보였다, 즉 (2)를 이용하여 본인은 value group이 실수군인 complete rank-one nondiscrete valuation domain V상에서 조차 V[[X]]가 GCD domain이 될 필요가 없음을 보였으며 또한 이것으로부터 ring of the entire functions와는 다르게V[[X]][K]는 Bezout가 되지 않는 V가 존재함을 보였다. 전 복소평면에서 해석적인 복소함수는 zero가 없으면 그것의 곱에 대한 역함수 역시 해석적이나 V[[X]][K]에서는 그럴 필요가 없다는 것을 예를 들어 보였다. 이상과 같은 같은 결과로 인하여 다음과 같은 Eakin과 Sathaye의 질문에 대한 완벽한 답을 얻었다. 이것은 동시에 Dobbs-Houston의 예측에 대한 긍정적인 답이기도 하다.

Theorem B [KP1, AKP2]
임의의 rank-one nondiscrete valuation domain V에 대하여 다음의 명제들이 성립한다.
(1) 무한개 zero를 갖는 power series가 존재한다.
(2) Krull-dim(V[[X]][K])는 infinite 이다.
(3) V[[X]][K]은 Bezout ring이 될 필요가 없다.
(4) 무한개 zero를 갖는 power series는 primitive가 될 수 없다.
(5) V[[X]]에서는 Weierstrass 정리가 성립할 필요가 없다.

윗 정리에서 주목할 만한 사실은 V가 complete이기를 가정하지 않는다는 점이다. 이것은 V를 V의 copmletion V^으로 embed함으로써 가능하다. Theorem B(2)에 대해서는 Arnold의 유명한 결과인 Krull-dim(V[[X]])는 무한이라는 것이 깊이 연관되어 있다. 그러나 무한 차원을 가능케하는 Arnold에 의해 만들어진 prime ideal의 무한 chain은 모두 V의 maximal ideal을 포함하여 V[[X]][K]상에서는 unit ideal이 되어 사라져버리고 만다. 본인은 V와는 0 에서만 만나는 V[[X]]의 prime ideal의 무한 감소 chain을 만듬으로써 문제를 해결하였다. Infinite product와 Theorem B(2) 는 올해 Coykendall에 의하여 수십년만에 해결된 power series ring에 관한 유명한 open problem의 해결에 결정적인 역할을 하게된다[C]: 노이더환상의 power series ring은 Krull dimension이 하나 증가하지만 비노이더인 경우는 알려져 있지 않았는데 Arnold에 의하여 1-dimensional valuation domain V 상에서 조차 V[[X]]의 dimension이 무한이 될 수 있음이 처음으로 밝혀졌다. Arnold가 증명한 것은 좀 더 일반적인 결과로서 nonSFT ring상의 power series ring은 항상 Krull dimension이 무한이라는 것이다. 노이더경우에는 멱급수환의 Krull dimension이 dimD+n 이라는 점에 비추어 볼 때 더욱 그러하다. 이 결과들로부터 finite dimensional SFT Prufer domain 상의 유한 변수 power series ring extension은 역시 SFT임이 도출된다. 이 사실로부터 1970년대에 Arnold는 SFT ring 상의 power series ring extension은 역시 SFT인가? 또 finite dimensional SFT ring상의 power series ring extension은 finite dimension인가 하는 질문을 제기하였는데 올해 Coykendall에 의하여 어느 경우나 그렇지 않다는 것이 저자의 Theorem B(2)와 D+M construction과 radial convergence를 이용하여 증명되었다.

Bourbaki에 의하면 V를 rank-one valuation domain이라하고 K를 V의 quotient field라 할 때 V의 completion V^ 역시 valuation domain이 되며 K의 completion K^역시 topological field가 될 뿐만 아니라 기실은 metric space가 됨이 알려져 있다. V에 의하여 K상에 induce 되는 valuation v를 K^로의 continuous extension인 v^ 은 K^상의 valuation이 될 뿐만아니라 v^의 valuation ring이 다름아닌 V^이라는 것 역시 잘 알려진 사실이다. global case에는 Prufer domain D의 각각의 dominating valuation들에 의해 induce되는 topology의 supremum topology에 T에 대한 completion D^이 대응되는데 D^은 local case와 달리 zero divisor가 존재할 수 있어 더 이상 integral domain이 아니어서 local case에 비교해서 훨씬 난해하다. 1977년 Mockor는 h-local Prufer domain D에 대하여 D^이 Prufer ring이라는 것을 증명하였으나 D^이 T^-Prufer ring인지 결정할 수 없었다, 즉 D^의 regular maximal ideal에 의하여 D^의 total quotient ring K^ 상에 induce되는 Manis valuation w가 T에 의하여 유도되는 K^ 상의 topology T^에 대하여 연속인지 결정할 수 없었다 즉 w가 T^과 연속적으로 compatible한가를 결정할 수 없었다. 그리하여 Mockor는 다음을 미해결인 체로 남겼다.

Unsettled problems posed by Mockor[M]
(1) Does there exist a Prufer domain D such that D^ is a Prufer ring while D^ is not a T^-Prufer ring?
(2) Does there exist a Prufer domain D such that D^ is not a T^-Prufer ring?

이 문제를 해결하기 위하여 본인은 ring of entire functions, Dedekind domain, h-local Prufer domain, generalized Dedekind domain 등의 completion 연구에 착수하여 chain topology를 도입하여 이 문제에 대한 완벽한 답을 얻었으며 그 내용은 다음과 같다.

Theorem C [KP3]
(1) entire function들의 모임 Bezout ring E의 완비화는 Bezout이나 T^-Prufer는 아니다.
(2) Dedekind domain D의 완비화 D^은 Prufer ring이며, D^이 T^-Prufer ring이 되기 위한 동치조건은 spec(D^)이 finite set라는 것 즉 D가 semi-local PID라는 것이다.
(3) h-local Prufer domain D의 완비화 D^은 Prufer ring이며, D^이 T^-Prufer ring이 되기 위한 동치조건은 Max(D^)이 finite set이라는 것이다.
(4) chain radical이 영이 아닌 generalized Dedekind domain D의 완비화 D^은 Prufer ring이며, D^이 T^-Prufer ring이 되기 위한 동치조건은 D상에 independent한 valuation이 유한개만 존재한다는 것이다.

이것은 D^이 generalized Dedekind ring이 되기위한 동치조건이기도 하다. 이 경우 D^의 non-minimal prime ideal들은 P^: P는 spec(D)-0의 원소이 되며 spec(D^)은 spec(D)의 independent branchwise seperation이다.