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■ 초기의 수학(∼B.C 1000) (1)바빌로니아(=메소포타미아)수학-B.C4000 (2)이집트 수학-B.C 3000 ■ 그리스 수학-논증 수학의 탄생 (1)유클리드 이전의 그리스 수학(B.C 1000-B.C300) ①탈레스-논증 수학의 기초 확립. ②피타고라스 학파√2의 발견, 피타고라스의 정리. 정다면체의 발견, 정수론에의 업적. 황금 분할 ③3대 작도 불능 문제와 소피스트 제논의 역설 ⅰ)각 3등분 문제 ⅱ)원적 문제 ⅲ)입방배적 문제 ④플라톤 학파-플라톤(수학을 방법론적으로 정리)과 유독 소스(착출법과 유독 소스의 공식) (2)유클리드와 그 이후의 그리스 수학(B.C 300-A.D 0) ①유클리드와 「기하학 원론」-공리주의 방법을 최초로 도입 ②아르키메데스-원과 구에 관한 연구 ③에라토스테네스와 '체'-자연수 n보다 작은 소수를 모두 찾는 방법의 발견 ④아폴로니우스의「원뿔곡선론」-포물선, 타원, 쌍곡선 등의 용어 최초 사용 *원뿔 곡선에 관한 최초의 엄밀한 정의는 메나이크모스가 함. ⑤그리스 삼각법-구면 삼각법, 히파르쿠스(창시자?), 메넬라우스, 프톨레마이오스 ⑥헤론-헤론의 공식 ⑦디오판토스와 「산학」- 부정 방정식(=디오판토스 방정식)의 연구
■ 인도와 아라비아 수학 (1)인도의 수학-0의 발견, 아라비아 숫자의 발견, 바스카라 (2)아라비아 수학-삼각법에 관한 연구. 알 과리즈미
■ 6세기에서 16세기까지의 유럽 수학 (1)6세기에서 11세기에 이르는 암흑시대-수학을 학문이 아닌 실용적인 측면에서 연구 (2)12세기의 전파 시대-그리스 수학과 인도의 사학이 아라비아인들에 의해 전파됨 (3)13세기와 피보나치-①「산반서」-산술과 조등대수(인도, 아라비아 계산술의 우수성 인식), 수열 ②「실용기하학」 -기하학과 삼각법(유클리드적 엄밀함과 약간의 독창성) (4)14세기와 니콜오렘-현대 좌표 기하학의 전조(점을 좌표로 표현), 데카르트에 영향. (5)15세기와 레기오몬타누스(요한뮐러)-평면 및 구면 삼각법에 관한 유럽최초의 해설 (6)16세기와 비에트-기호 대수의 창시와 발전 「해석학 서설」
■ 17세기의 수학-근대 수학의 여명기 17세기의 수학-근대 수학의 여명기(미적분학의 발견, 해석 기하학 창시 로그의 도입) (1)네이피어와 로그의 발견:1/е을 밑으로 하는 로그의 창시(기하학적 방법) ①뷔르기 :e를 밑으로 하는 자연 로그의 고안(대수적 방법) ②브리그즈: 10을 밑으로 하는 상용로그의 고안 (2)해이엇과 오트레드-대수의 기호차와 체계화 ①해리엇-부등호(>,<)기호 고안 ②오트레드-곱셈 기호(×), 차기호(∼)고안 *+,-:위드만(1489), √;루돌프(1525), =;레코드, ÷;란(1659) 미지수 χ,y,z... ; 비에트, 소수점 기호 ; 스테빈(10진법의 체계 완성) (3)갈릴레오의 역학과 케플러의 행성의 운동법칙 (4)파스칼과 사영 기하학의 발견-좌표의 미사용, 데자르그의 정리와 파푸스 정리가 기본임. (5)해석기하학의 발견-데카르트와 페르마가 좌표법을 이용하여 기하학의 문제를 대수적으로 해결 하면서 창시. 18C 오일러에 의해 발전됨. ①데카르트-「방법서설」진리 탐구의 보편적 방법 추구(수학이 절대적 진리임을 전제) 곡선을 점의 집단이 아니라 점의 운동으로 파악(점의 자취의 방정식의 문제) ②페르마-현대 정수론의 실질적인 창시자. 대수적 방정식에 의해 정의된 새로운 곡선을 제안. 페르마의 쌍곡선(χm yn=a), 포물선(yn=aχm ),나선(rn=aθ) ⅰ)페르마의 소정리: p가 소수이고, a와 p가 서로소이면 ap-1은 p로 나누어진다. ⅱ)페르마의 대정리(=마지막 정리): n>2일 때 xn + yn = zn 을 만족하는 양의 정수 x,y,z,n 은 존재 하지 않는다. (*)쿠머의 연구와 컴퓨터를 이용하여 현재 n<100,000인 모든 n및 다른 여러 특별한 n에 대해서도 성립함이 알려져 있다. (6)호이겐스와 확률론-수학적 기대값의 개념 소개 (7)미적분학의 발견-뉴우튼과 라이프니츠가 각각 독립적으로 발견(해석기하학의 도움) ①미분법의 기원-페르마와 데카르트의 곡선 위의 점에서의 점선의 문제에서 유래 ②적분법의 기원-카발리에리의 불가분량법(면적, 체적을 계산하는데 유용한 2가지 원리) (*)그리스 시대의 제논의 역설, 유독 소스의 착출법(실진법, 짜내기법). 아르키메데스의 평형법등이 현대 수학의 극 한법의 기원이며 오늘날의 미적분학에 중요한 기초를 제공했음은 두말 할 나위가 없다. ③월리스-「무한의 수론」, 데카르트와 카발리에리 방법의 체계화. 적분론 공헌. 무한대 기호(∞) 최초 도입. ④배로-「기하학 강의」곡선의 점선의 작도에 현대적인 미분법과 매우 흡사한 방법 이용 미분론에의 공헌, 미분과 적분의 역산 관계를 최초로 인식. ⑤뉴우튼-「프린카피아」, 일반화된 이항정리. 미분학으로 알려진 유율법의 창시. dx/dt=x 로 표현. 미분 방정식 (미적분학의 기본정리)에의 연구등 수학의 모든 분야에서 탁월한 업적. ⑥라이프니츠-「일반특성」. 미분과 적분의 현대적 기호 창안. 카발리에리의 불가분량의 합을 나타내는 라틴어 summa의 s를 길게 늘어∫ydx, ∫ydy사용. dy/dt 를 사용. 두함수의 곱의 n계 도함수를 구하는 라이프니츠 의 공 식. 적분을 합분법이라 부름.
■ 18세기의 수학-미적분학의 발전 18세기의 수학-미적분학의 발전.(삼각법, 해석기하학, 정수론, 방정식론, 확률론, 미분방정식의 발전, 형식주의의 추구) (1)베르누이-*극좌표의 최초사용. 베르누이 분포, 정리(확률론,통계학), 방정식 (미분방정식). 다항식(정수론),수, 연수형(미적분학) *라이프니츠와 함께 적분이란 용어를 최초 사용. 「추측술」 (2)드무아브르-*확률론, 통계학, 해석적 삼각법에 기여. 드무아브르의 공식 *확률적분와 정규 도수 곡선 을 처음 취급. (3)테일러-테일러 급수.(후에 오일러가 미분법에 적용. 라그랑누가 임여량을 첨가하여 만든 급수로 사용) (4)매클로린-매클로린 급수. 뉴튼의 유율법에 관한 최초의 논리적이고 체계적인 해설을 줌. (5)오일러- eix=cosx+isinx공식 고안, 함수f(x),e,π,i 삼각형의 세변 a,b,c 삼각형이 내접원의 반지름r,외접원의 반지 름R, 둘레의 반 s, ∑기호 등을 관례화. 방정식론, 수론, 미분방정식, 미적분학등 수학의 모든 분야에서 업적과 집 필. 18C의 형식주의 즉,수렴성. 수학적인 존재성에 관한 문제,무한한 과정을 포함하는 방식의 문제에 신중치 못하 여 오류도 범함. 음수에 대한 로그의 계산. (6)클레로-미분방정식론, 특이해의 연구.클레로의 미분방정식. (7)달랑베르-편미분방정식론의 개척자. 해석학의 기초에 관한 연구(극한이론), 달랑베르의 판정법 (8)람베르트-π가 무리수임을 최초로 엄밀하게 증명. 쌍곡선 함수이론에 대한 최초의 체계화. 함수의 현대적 표기법 고안. 유클리드의 평행선 공준 고찰(비유클리드 기하학 발견의 선구자) (9)라그랑즈-「미분의 원리를 포함하는 해석 함수론」. 해석학의 기초를 튼튼히 하기 위해 미적분학의 엄밀성을 추구 한 최초의 수학자.f', f'' 등을 최초로 사용. 실변수 함수 이론의 개척. 정수론과 방정식론에 기여. 라그랑즈의 정리. 1(수학의 큰 양심) (10)라플라스-확률론, 미분방정식론에의 지대한 공헌. "수학은 단지 자연현상을 설명하는데 사용하는 하나의 도구이 며 결국 확률론은 수로 표현된 상식에 불과하다." (수학의 과정에 무관심) (11)르장드르-정수론, 타원함수론(개척자적 연구), 미분 방정식론.르장드르 함수, 다항식,르장드르기호(c|p). 적분론 (12)몽주-미분기하학의 아버지(3차원 공간에 있는 곡면의 곡률선의 개념 소개) 화법기하학의 창시 (13)카르노-19C에 일어날 기하학과 수학 기초에 관한 연구 (14)도량형의 미터법 제정 (*) 18C에는 변분법, 고차함수, 편미분방정식, 화법기하학, 미분기하학등 새로운 분야가 창조되었으며 여성의 수학 분야에로의 등장(암에스, 제르맹)이다.
■ 19세기 초반의 수학 19세기 초반의 수학-기하학, 대수학의 발전과 해방(비유클리드 기하학의 탄생, 새 대수적 구소의 출현)-비판주의적 수학의 탄생-미적분학의 논리적 기초 확립-수열이극한. 급수의 수렴성 함수의 정의와 연속성의 개념 연구 (1)가우스-수학의 황제. '수학은 과학의 여왕이고 정수론은 수학의 여왕이다' 대수학의 기본정리 증명(복소계수론 가지는 n차원 대수 방정식은 적어도 하나의 복소근을 가진다.) 「수론 연구」-현대정수론에의 업적, 정다각형의 작도법 발견. 수학의 엄밀성 주창 「일반곡면론」-공간에서의 곡변에 관한 기하학의 연구(미분기하학의 기초 확립.) 비유클리드 기하학의 존재성인식과 예견(칸트의 공간관 떄문에 미발표) 복소수 용어의 최초 사용. 타원함수론에의 기여. 해석학의 엄밀화 작업시도
(2)푸리에-응용수학자(열 전단문제에 관한연구) 임의의 함수는 구간[-π,π]에서 사인과 코사인함수의 합(즉, 삼각급 수, 푸리에 급수)으로 분1해될 수 있다고 주장⇒논리적 엄밀성 결핍.푸리에 급수:, 칸토르의 무한 집합론탄생의 계 기. ⇒조화해석학, 편미분방정식의 경계치 문제의 해 결방법에 동기부여. (3)코시-함수론의 아버지. ε-δ논법 창안(극한과 연속성의 개념 확립), 미분방 정식론에 기여. 무한급수의 수렴과 발산 에 관한 연구. 무한소에 관한수학적 정의 시도. 함수의 엄밀한 정의 추구. 평균치 정리증명. 미분과 적분의 역산관 계 증명. 정적분을 합의 극한으로 정의 함수가 푸리에 급수로 표현되기 위한 조건 연구. 연속함수의 적분가능성 증 명.행렬이론에의 업적(행렬시의 특성방정식 도입) (4)아벨-타원함수에 관한 연구. 가환군의 개념 도입. 무한 급수에의 기여(수렴 찬정법. 멱급수에 관한 정리). 미적분학에 기여. 일반적인 5차이상의 대수방정식을 대수적으로 푸는 것이 불가능함을 증명. (5)갈로아-갈로아 이론의 도입으로 방정식론에 근본적인 개혁을 가져온 대수학자. 군(group)이란 용어의 최초 사용. 군론의 창시자. 아벨의 가환군의 개념을 이용하여 5차이상의 대수방정식이 근의 공식을 가질 수 없음을 증명. 갈로아이론에 의해 임의의 각의 3등분 문제, 입방배적문제가 자사 콤파스만으로 작도되지 않는 이유와 정 n각형이 자사 콤파스로 작도되기 위한 필요충분조건을 설명. (6)디리클레-연속성과 함수의 현대적 정의를 최초로 함. 해석적 정수론의 창시(가우스의 소수 정리 연구) 한 함수의 푸리에 급수가 수렴하기 위한 조건의 연구. (7)비유클리드 기하학- 유클리드의 평행선의 공리를 부정하는 기하학 ①사케리-유클리드의 평행선의 공리를 증명하려 했으나 실패(비유클리드 기하학 탄생의 한 계기) ②로바체프스키, 보요이-쌍곡선형 비 유클리드 기하학의 창시(무수히 많은 평행선이 존재) ③리만-타원형 비 유클리드 기하학의 창시(평행선은 존재하지 않는다) 리이만 적분의 개념 확립. 다양체의 개념 최초 도입. (8)새로운 대수적 구조의 출현-기존의 산술대수의 5가지 공준을 만족하지 않는 대수적 구조의 도입 ①해밀턴의 사원수 - 실수의 4중 순서수()로서 곱셈의 교환법칙 불성립. 최초의 비가환애수 ②그라스만의 다윈수-실수의 n중 순서수(). 많은 다른 대수가 존재 ③캐일리의 행렬대수- 교환법칙의 불성립 ④조르당 대수. 리이 대수-결합법칙의 불성립 ⑤모노이드, 군, 환, 정역, 속, 부울환, 부2울대수, 체, 벡터공간 등의 새로운 대수적 구조의 탄생
■ 19세기 후반의 수학 19세기 후반의 수학-직관주의에의 경고. 수학의 엄밀성 확립. 해석학의 산술화(실수제의 연구) (1)3대각도 불능문제의 해결-해석기하학의 도움. ①원적문제-작도 가능한 구는 대수적인수(완첼)이나 π는 초월수임을 린데만이 증명, 해결 ②입방배적문제. 임의의 각의 3등분 문제-갈로아 이론으로 해결 (2)퐁슬레-사영기하학의 확립. 쌍대의 원리와 연속의 원리 (3)플뤼커-해석기하학의 방법의 발전에 지대한 공헌, 단축표기법. 3차곡선의 완전한 분류 (4)클라인-에를랑겐 프로그램. 모든 기하학의 통일을 시도(공간의 변환군에 의해 불변인 성질 연구) (*)케일리, 벨트라미, 클라인, 프왕카레-유클리드 기하학안에서 비유클리드 기하학의 모형을 만듦으로써 비유클리 드 기하학을 유클리드 공간 속의 특수한 곡면 위에서의 기하학으로 해석. (5)해석학의 산술화-극한, 연속성. 미분가능성에 관한 이론이 숨겨진 실수계에 의해 좌우된다는 사실인식. 따라서 실 수계 자체가 엄밀하게 정의되어야 하고 모든 해석학의 기초 개념이 이 수체계로부터 유도되어야 한다고 주창하는 프로그램. (역사) 달랑베르(극한이론의 필요성제기)→라그랑즈(해석학의 직관론과 형식론의 제거 시도)→가우스(무한급수 의 수렴성 최초로 고찰)→코시(연속. 미분가능.정적분을 극한 개념 으로정의)→바이어슈트라스(도함수를 가리지 안 는 연속함수의 발견, 해석학의 산술화 주창) (6)바이어 슈크라스-해석학의 산술화라는 프로그램 주창. 무리수의 이론, 평등수렴의 발견. 사칙의 공리를 만족하는 가장 일반적인수가 복소수임을 증명. 도함수를 가리지 않는 연속함수의 최초발견. 멱급수를 이용한 복소수함수론 에의 공헌(복소평면의 엄밀한 완성) (7)데데킨트-절단(cut)의 개념으로 실수를 정의함. 대수학에서의 이데알 개념창시 (8)칸토르-집합론과 무한이론의 창시자. 무리수론 연구. 해석학의 기초에 관심제고. 푸리에 급수의 계수의 일의성 에 관한 연구에서 실수란 무엇인가란 문제제기. 실수를 유리수들의 코오시 수열의 극한으로 정의.(실수의 완비성의 공리) 무한을 수학적 대상화 (무한개수의 도입. 계산법 발견) (9)크로네커-칸토르의 무한이론을 신학으로 간주하여 비난. 방정식론. 대수적수론에 기여 (10)프왕카레-대수적 위상수학의 창시자. 미분방정식론, 확률론등 수학의 모든분야에서 업적. (곡면이나 다면체 의 위상적 성질 연구) (11)네더(Noether)-여성수학자. 소거이론과 불변량이론에의 연구(대수학에의 공헌)
■ 20세기와 수학의 추상화 주제에 관한 논리적 기초와 구조의 검증(공리론 탄생. 집합론의 모순성에 관한 연구. 추상공간의 발견(프레세). 수학의 방법론 연구)
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