데데킨트의 절단에 관하여

[유토피아]

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데데킨트 절단(Dedekind cut)

연속성 개념에 대한 산술공식을 유리수와 무리수 사이의 정확한 차이와 결합시키는 수학의 한 개념.

1872년 독일의 수학자 리하르트 데데킨트가 발전시킨 것으로, 실수는 순서연속체(順序連續體)이므로 임의의 두 실수 x,y,는 x＜y, x=y, x＞y 가운데 오직 하나를 만족해야 한다고 생각했다.

그는 x가 X의 원소이고 y가 Y의 원소일 때 x＜y가 되도록 연속체를 두 부분집합 X와 Y로 나누는 절단을 가정했다.

X가 가장 큰 유리수 원소를 갖거나 Y가 가장 작은 유리수 원소를 갖도록 절단된다면, 이 절단은 유리수에 대응한다. 그러나 X에 가장 큰 유리수 원소가 없고 Y에 가장 작은 유리수 원소가 없도록 절단된다면, 이 절단은 무리수에 대응된다. 예를 들어 X가 22/7보다 작거나 같은 모든 실수 x의 집합이고 Y가 22/7보다 큰 실수 y의 집합이라면, X의 가장 큰 원소는 유리수 22/7이다.

그러나 X는 x²이 2보다 작거나 같은 모든 실수 x의 집합이고 Y는 y²이 2보다 큰 모든 실수 y들의 집합이라면, X에는 가장 큰 유리수 원소가 없으며 Y에도 가장 작은 유리수 원소가 없다. 따라서 이 절단으로 무리수 가 정의된다.

산술 개념으로 무리수를 다시 정의했다.

살아 있을 때는 충분히 인정받지 못했지만, 그의 무한의 개념과 실수(實數)의 구조에 관한 개념 연구는 지금도 현대수학에 영향을 미치고 있다. 법률가의 아들로 태어났으며, 브라운슈바이크의 김나지움 마르티노 카타린네움(1838~47)에 다니는 동안 처음에는 주로 화학과 물리학에 흥미를 가졌다. 그러나 카롤린대학(1848~50)에서는 미적분학·대수학·해석기하학을 공부했으며, 이 공부 덕분에 괴팅겐대학교의 수학자 카를 프리드리히 가우스에게서 고등수학을 배울 자격을 얻었다.

그는 대수학·기하학·타원함수를 2년 동안 혼자서 연구한 뒤 1854~58년까지 괴팅겐대학교에서 사강사로 일했다.

이 대학에서 강의할 때 그는 갈루아의 방정식이론을 처음으로 소개했고, 수학자 페테르 구스타프 르죈느 디리클레의 강의를 들었다. 이 경험을 통해 그는 산술적 성질로 무리수를 다시 정의해야 할 필요를 느끼게 되었다. BC 4세기에 에우독소스는 기하학적으로 접근해 무리수를 유리수의 근사(예를 들면√2=1.414213…… 같은 비순환 소수)로 정의했다.

1858년 그는 취리히공과대학의 교수가 되어 5년 동안 있었다.

1862년에는 브라운슈바이크 고등기술학교로 자리를 옮겨 평생동안 비교적 외롭게 살았다. 그는 그곳에서 강의하면서, 실수가 직선 위의 점과 1 대 1로 대응한다면 유리수와 무리수는 간극이 전혀 없는 실수의 연속체를 이룰 수 있다는 개념을 발전시켰다. 따라서 그에 의하면 무리수는 특별히 구성된 2개의 유리수 집합을 분리하는 경계값이었다.

그는 선분(또는 연속체) 위에 점이 얼마나 많이 있느냐가 아니라 직선이 어떻게 분할되느냐에 따라 그 연속체의 성격이 결정된다는 것을 알았다. 오늘날 데데킨트 절단이라고 하는 방법에 따르면, 하나의 수열에 있는 모든 실수를 두 부분으로 나누었을 때 한 부분의 각 실수는 다른 부분의 모든 실수보다 작게 된다.

각 부분에 가장 크거나 가장 작은 수가 존재하지 않는다면, 주어진 값에 대응하는 이러한 절단은 무리수를 정의한다. 반면에 유리수는 한 부분에 가장 크거나 가장 작은 수가 존재하는 절단으로 정의된다. 따라서 그는 √2의 정의수의 연속체를 2개의 집합으로 나누어 한쪽 집합의 모든 수가 다른 쪽 집합의 모든 수보다 크게 되도록 하는 유일한 수이거나 하나의 수열을 한 집합은 제곱한 값이 2보다 큰 모든 수를 포함하고, 다른 한 집합은 제곱한 값이 2보다 작은 모든 수를 포함하도록 나누는 절단이나 분할이라고 했다.

그는 〈연속과 무리수 Stetigkeit und Irrationale Zahlen〉(1872)에서 무리수에 대한 산술적인 표현을 발전시켰다.

또한 독일의 수학자 게오르크 칸토어보다 2년 앞서서, 한 집합(물체나 성분의 모임)의 성분이 그 부분집합의 성분과 1 대 1로 대응될 때 그 집합은 무한하다고 제안했다. 그는 해석학에 기하학적 방법을 추가해 무한대와 무한소를 다루는 근대식 방법에 크게 공헌했다. 1874년 스위스 인터라켄에서 휴가를 보내면서 데데킨트는 게오르크 칸토어를 만났다.

그는 칸토어가 얼마 전에 발표했던 혁명적인 집합개념에 대한 설명을 듣고 공감을 느꼈다. 이 집합개념은 그뒤 현대수학을 강의할 때 매우 중요시되었다. 두 수학자는 정수론과 해석학 같은 분야에서 당시로는 제대로 받아들여지지 않던 매우 독창적인 개념을 전개해 둘 다 전문가들로부터 충분히 인정받지 못했기 때문에 영원한 우정을 나누게 되었다.

그는 정수의 성질과 관계(즉 수의 개념)를 계속 연구해 〈대수적 정수론에 대하여 Uber die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen〉(1879)를 발표했다.

그는 여기서 계수가 평범한 정수인 다항방정식을 만족시키는 대수적 정수로 이루어져 있고 그보다 더 큰 집단에서 분리된 수의 집합을 '이데알'(ideal)이라고 했다. 이데알은 주어진 대수적 정수의 모든 배수로 이루어진 집합이다. 예를 들면 (2)라는 표시는 ……－8, －6, －4, －2, 0, 2, 4, 6, 8…… 같은 특정한 집합을 나타낸다.

두 이데알의 합도 역시 각 집단을 이루는 모든 성분의 모든 합으로 이루어진 이데알이며, 같은 방법으로 두 이데알의 곱도 정의할 수 있다. 또한 이데알은 정수처럼 생각해서 더하거나 곱할 수 있으며 인수분해할 수도 있다. 그는 이 이론으로 그때까지 분석되지 않았던 많은 대수적 구조에 일의적인수분해과정(一意的因數分解過程：하나의 수를 1과 자체의 곱이나 소수만으로 나타내는 것)을 적용할 수 있었다.

[유토피아]

데데킨트의 절단을 우리는 법수라고 한다. 이를 이분법이라고도 한다. 피타고라스의 정리도 사실은 이분법, 법수로 계산한 것인데 24절기도 법수(데데킨틍의 절단법)로 계산 한 것입니다.

[유토피아]

존재의 대상을 성수,법수,체수의 관점으로 보게 되는 것은 각각1,2,3의 수로 인식하는 것과 동일하다. 법수란 이분법으로 보는 것을 의미한다.