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《에우클레이데스의 원론》(그리스어: Στοιχεῖα, 스토이케이아)은 고대 그리스의 저명한 수학자인 에우클레이데스가 기원전 3세기에 집필한 책유클리드의 원론, 또는 기하학 원본이라는 제목으로도 불린다. 흔히 ‘세계 최초의 수학 교과서
《원론》의 내용은 다음과 같다. 제 1권에서 제 4권까지는 2차원 기하학
제 11권에서 제 13권까지는 3차원
AB에서 임의의 한점C에대해서CB=BI=AH이고
AB=BD=ED이므로
AC=EF=EH
AB제곱=AC제곱+BC제곱+2(AC+BC)
따라서
AC=HE=a
CB=AH=b
AC+CB=AB=AE=c일때
(a+b)제곱=a제곱+2ab+b제곱
c제곱=a제곱+2ab+b제곱 이것은 대표적인 곱셈공식이다.
참고:AB나BD나ED는기하도형의한변을가르킨다...
AC제곱=AD×AG, BC제곱=DB×BF
AC제곱+BC제곱+(AO×AG)+(OB×BF)
AC제곱+BC제곱=AB제곱
유클리드의피타고라스정리증명은닮은꼴이론을사용하지않음으로써
순수하게기하학적이다
AC=b BC=a AC=c일때 b제곱+a제곱=c제곱
유클리드원론2권법칙4에서둔각삼각형 △ABC에서,
BD의 임의의 한점 C에 대해서,
BD제곱=BC제곱+CD제곱+2(BC×CD)
AB제곱=BD제곱+AD제곱
그리고
AC제곱=CD제곱+AD제곱
AC제곱-CD제곱=AD제곱
따라서
AB제곱=BD제곱+AD제곱
AB제곱=(BC제곱+CD제곱+2(BC×CD))+(AC제곱-CD제곱)
AB제곱=BC제곱+AC제곱+2(BC×CD)
그리고
Cos(∏-α)=AC분의CD CD=AC×Cos(∏-α) CD=-AC×Cosα
따라서AB제곱=BC제곱+AC제곱+2(BC×CD)
AB제곱=BC제곱+AC제곱-2(BC×AC×Cosα) c제곱=a제곱+b제곱-2abCosα
이것은제2코사인법칙이되겠다.
예각삼각형을예약하고 이것은Cosine에대해나타내보면
BC=BD+DC
CosB=c분의BD CosBc=BD분의c CosC=b분의DC CosCb=DC분의b
따라서BC=BD+DC a=cCosBa+bCosC
이것은 코사인법칙의제1코사인법칙이다.
a=bCosC+cCosB, b=cCosA+aCosC, c=aCosB+bCosA
원과 그 원의 중심점에 한점을 두는 삼각형을 예약하고
ℓ=√ (Χ2-Χ1)제곱+(Υ2-Υ1)제곱 이므로
D=(Cos,Sinβ) , C=(Cosβ,Sinβ)
DC제곱=(Cosβ-Cosα)제곱+(Sinβ-Sinα)제곱
=(Cosβ-Cosα) (Cosβ-Cosα)+(Sinβ-Sinα)(Sinβ-Sinα)
=((Cosβ)제곱-2CosαCosβ+(Cosα)제곱)+((Sinβ)제곱-2SinαSinβ+(Sinα)제곱)
=(Cosβ)제곱+(Cosα)제곱+(Sinβ)제곱+(Sinα)제곱-2(CosαCosβ-2SinαSinβ
=(Cosβ제곱+Cosα제곱)+(Sinβ제곱+Sinα제곱)-2(CosαCosβ+SinαSinβ)
그리고 삼각함수 항등식의 피타고라스에서
SinΧ제곱+CosΧ제곱=1 따라서
=1+1-2(CosαCosβ+SinαSinβ)
DC제곱=2-2(CosαCosβ+SinαSinβ)
한편 이것은 제2코사인법칙에서는
DC제곱=OD제곱+OC제곱-2(OD×OC Cos(α-β))
DC제곱=1제곱+1제곱-2(1×1×Cos(α-β))
DC제곱=2-2Cos(α-β)
따라서
Cos(α-β)=(CosαCosβSinαSinβ)
이것은 삼각함수의 덧셈정리중 코사인함수에 접근해볼 수 있다.
정삼각형에서AE=1을예약하고
1분의AF=Cosα, 1분의EF=Sinα, AF분의FD=Sinβ
FD=EF=SinβAF=SinβCosα
EF분의EG=Cosβ, EG=CosβEF=CosβSinα
Sin(α+β)=1분의EG+GC
Sin(α+β)=Cosβ+Sinα+SinβCosα
이것은 삼각함수의 덧셈정리중 싸인함수이다
한편 예약된 정삼각형에서
AE=1. CA=CE=CB, ∠A=∠α+∠β, ∠α=∠β
1분의EF=Sinα 1분의AF=Cosβ AF분의AD=Cosβ
AD=CosβAF, AD=CosβCosα, EF분의GF=Sinβ
GF=SinβEF , GF=SinβSinα
Cos(α+β)=1분의AC , Cos(α+β)=AD-CD
GF=CD=SinβSinα , Cos(α+β)=CosβCosα-SinβSinα
이것이 바로 삼각함수의 덧셈정리중 코사인법칙을 증명하는 기하다.
기하학에서 두점사이의거리는 좌표평면에서의 임의의 두점
D(Χ1,Υ1)K(Χ2,Υ2)를 예약하고 첫번째점에서Χ축에 평행하게
그은 직선과 두번째점에서 Υ축에 평행하게 그은 직선이 서로
만나는 점N을 예약할 수 있다.
두점D,K의 거리를ℓ 이라고 가정할때
△NDK는ℓ을 빗변으로 하는 직각삼각형이고
NK=Χ2-Χ1 , ND=Υ2-Υ1이므로ℓ,ND,NK는
다음과같은관계가있다.
ℓ제곱=NK제곱+ND제곱=(Χ2-Χ1)제곱+(Υ2-Υ1)제곱
ℓ=√ (Χ2-Χ1)제곱+(Υ2-Υ1)제곱
따라서 좌표평면에서두점이있을때두점사이의거리
ℓ=√ (Χ2-Χ1)제곱+(Υ2-Υ1)제곱 이라고 기하학적으로 증명이된다.
임의의 선분AB를 예약하고
이선분을 이등분하는 점C를 가정하면
AD=AC+CD=CB+CD
BD=CD-CB
ADΧBD=(CD+CB)(CD-CB)=CD제곱-CB제곱. ADΧBD+CB제곱=CD제곱
이것은 대표적인 곱셈공식으로부터 유도되는 피타고라스의 법칙의 변형이다.
참고로피타고라스법칙의 변형에대해서소개합니다.
거의다끝났네요 힘내세요^^*
ADΧBD+CB제곱=CD제곱, (2CB+BD)ΧBD+CB제곱=CD제곱
CD제곱+CD제곱=FH제곱
(2CB+BD)ΧBD+CB제곱+CD제곱+CD제곱=CD제곱+FH제곱
양변에서CD제곱하나씩을 제하고괄호를 풀면
2CBΧBD+BD제곱+CB제곱+CD제곱=FH제곱 그리고
처음에 유도할때 CD제곱=2CBΧBD+BD제곱+CB제곱이고
CD제곱+CD제곱=FH제곱이므로
이식들에서
FH제곱=2(2CBΧBD+BD제곱+CB제곱)이됩니다....
이제다끝나갑니다 마지막한가지 피타고라스 정리 응용 힘내시게요...
CB=CD-CB
CB제곱=(CD-DB)제곱
CB제곱=CD제곱-2CDΧDB+DB제곱
CB제곱+2CDDDΧDB=CD제곱+DB제곱
여기서 DB=DH=MH
CH제곱=CD제곱+DB제곱이고
그래서
CB제곱+2CDΧDB=CH제곱이됩니다
자여러분 고생많으셨습니다
다시한번 새해 복들많이 받으셔요
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