피타고라스 정리, 둥근 구면에서 성립안된다. 글

[pong]

피타고라스 정리, 둥근 구면에서 성립안된다. 글

정수 整數 (수학) integer, whole number,

유리수 rational number ; <수학> 정수의 비로 나타낼 수 있는 수. 정수와 분수가 있으며, 소수로 나타내면 유한 소수나 순환 소수.

무리수 無理數 irrational number ; <수학> 실수이면서 분수의 형식으로 나타낼 수 없는 수. 예를 들어, , log2, π [같은 말] 3.14159,,, 따위.

우리가 굳게 믿어온 피타고라스 정리의 절대적인 권위에 대해 반기를 들었다. 실험으로 ‘피타고라스 정리 깨기’에 도전한다.
정말 피타고라스가 발견한 것인지, 피타고라스가 비밀로 하려 했던 이야기는 무엇인지, ‘피타고라스 정리의 비밀’을 찾아 흥미진진한 수학 문명 속으로 들어가 본다.
직각을 이루는 삼각형의 두변의 제곱의 합은 빗변과 같다는 직각삼각형의 성질은 고대 피라미드에서 현대에 이르기까지 물리학과 천문과학을 발전시킨 주춧돌이었다. 피타고라스의 정리로 알려진 직각삼각형의 성질을 피타고라스보다 천년 이상 앞서 건축에 활용했던 고대인들의 이야기,

지구와 같은 구면위에서는 맞지 않는 피타고라스의 정리 등 삼각형을 통해 본 문명과 새로운 세계를 향한 인간의 열정을 추적하는 최초의 수학 다큐멘터리다.

1부 삼각형의 흔적
2부 a²+b²=c²의 발견
3부 지구 위의 딱정벌레

그리스
1부 삼각형의 흔적
베일에 싸여 있는 피타고라스 정리의 기원을 찾아본다. 피타고라스 정리의 기원을 알아보기 위해 찾은 피타고라스의 고향, 그리스 에게해의 사모스 섬. 2500년전 인류가 최초로 양방향에서 뚫은 직선터널이 있다. 이 터널의 흥미로운 점은 산의 남쪽와 북쪽을 동시에 뚫어 중간지점에서 만나도록 되어 있다는 것이다. 만약 아주 작은 오차라도 발생한다면 양쪽에서 파 들어간 사람들은 영영 만날 수 없다. 산 양쪽에서 터널을 파는 것은 삼각형의 기하학과 실제 작업에서 발생하는 오차를 줄일 수 있는 고도의 토목기술이 필요하다.

어떻게 2,500여 년 전 사람들이 고도의 측량기술을 필요로 하는 이 터널을 뚫을 수 있었을까?

 
사실 사모스 섬의 유팔리노스 터널이 어떤 설계에 의해 완성됐는지 아는 사람은 아무도 없다.

다만 터널이 완성된 지 500년이 지난 후 발명가인 알렉산드리아의 헤론은 이 터널의 비밀을 삼각형과 관련해 설명했다. 헤론은 자신이 고안한 측량기로 이 문제를 해결할 수 있다고 기록했지만, 그 당시는 나침반, 지도, 측량장비도 없었다.

기하학 이론서인 유클리드의 원론이 나오기까지는 200년을 더 기다려야 했고, 헤론의 측량기구가 발명되기까지 500년을 더 기다려야 했던 시절이었다. 이 불가사의한 터널공사에 피타고라스 정리의 기원을 확인할 실마리가 숨겨져 있다. 베일에 싸여 있는 피타고라스 정리의 기원을 찾아본다.

 2부 a²+b²=c²의 발견 

‘모든 직각삼각형에서 빗변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합과 같다’
2,000여 년 전 인류가 이 사실을 알게 된 것은 놀라운 발견이었다. 이러한 삼각형의 관계를 정리한 사람은 그리스의 피타고라스였다. 그는 당시 사원 바닥에 깔린 블록 모양에서 이 비밀을 알아냈다고 한다. 피타고라스 정리에 따르면, 두 변의 길이가 각각 3과 4이면 나머지 빗변의 길이는 반드시 5여야 한다. 3, 4, 5는 정수로서 피타고라스 정리를 만족시키는 가장 작은 단위다.

그런데 한 변의 길이가 1인 정사각형이 문제였다. 이 정사각형의 대각선의 길이를 C라 하고, 이 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용하면 C는√라는 값을 얻게 된다. 그 값은 1과 2사이 어딘가에 존재하는 수다. 도형에서는 보여 줄 수 있지만 수 세계에 도 과연 그 숫자가 존재할까.

당시 피타고라스는 문제에 부딪혔을 것이다.

정사각형의 대각선 길이를 어떤 수로도 나타낼 수 없다는 것은 모든 자연과 우주의 현상을 수로 설명할 수 있다는 그의 철학과 맞지 않기 때문이다.

결국 그는 그 값을 포기한다. 그리고 이 사실이 발설되는 것이 두려워 그의 제자 히파시스를 죽이고 만다. 피타고라스가 ‘비율이 아님’, ‘말할 수 없음’이라는 뜻이 담긴 ‘알로곤’이라 이름붙인 이 수를 오늘날 우리는‘무리수’라 부른다.
사실 직각 삼각형의 두변 길이의 제곱의 합과 빗변은 같다는 피타고라스의 정리는 피타고라스가 태어나기 이미 천년 전부터 고대인들이 이용하던 수학이었다.

그런데 왜 우리는 직각삼각형의 정리를 피타고라스의 정리라고 부르는 것일까?

수학이 곧 종교였던 피타고라스 학파는 만물을 모두 수로 나타낼 수 있다고 믿었다.

그러나 우연히 무리수를 발견하고 영원히 비밀에 붙였던 피타고라스 학파는 자신들의 믿음을 지키기 위해 그 비밀을 발설한 히파수스를 수장했다는 전설이 전해진다.

무리수의 발견은 우리가 알지 못하는 또다른 세상의 발견이었기 때문이다.

3부 지구 위의 딱정벌레 
 

수천년 간 인류문명과 함께 불변의 진리로 전해졌던 피타고라스의 정리는 과연 어느 공간에서나 적용되는 진리일까? 종이 위 평면에서는 아무리 큰 삼각형이라도 피타고라스의 정리가 그대로 적용된다. 그러나 지구와 같이 구면위에서는 오차가 생긴다.
많은 사람들이 피타고라스 정리에 도전을 시도했다. 그들은 교실을 떠나 경험과 실험을 통해 의문의 실마리를 찾는다.

독일의 수학자 가우스는 1816년부터 10년 동안 독일의 여러 지역을 탐사한다.

이 탐사의 목적은 도시와 도시 사이의 거리를 측정해 그 자료를 모아 지도를 만드는 것이었다.

이 작업을 통해 가우스는 피타고라스 정리가 틀릴 수 있다는 것을 알아낸다. 그러나 그는 이 발견을 밝힐 수 없었다. 피타고라스 정리는 사람들이 2,000년 동안 진리로 믿어 왔던 것이기 때문이다.
보통 사람들이 느끼는 공간은 평면공간. 우리가 배운 삼각형의 내각의 합이 180도라는 것도 이러한 평면공간에서만 유효하다.

그러나 우리가 살고 있는 공간을 더 확대해서 지구라는 둥근 공간으로 나가면 삼각형의 내각의 합은 180도를 넘게 된다. 그래서 북극점을 중심으로 적도에 이르는 정삼각형을 만들면 그 삼각형의 내각의 합은 270도가 되며 그에 따라 길이와 면적도 변하게 되서 피타고라스 정리도 맞지 않게 된다.

비행사들이 서울에서 LA까지 가기위해 비행기의 기수를 북동쪽으로 돌려 한참 간 후 다시 남동쪽으로 기수를 돌리는 이유는 둥근 구면에서 최단거리는 구면의 중심을 지나는 대원이 되기 때문이다.

천재적인 철새들도 그들의 기본적인 이동경로는 구면에서의 최단거리인 대원을 따라간다.

 
천문학자들이 우주공간의 크기와 그곳까지의 거리를 측정하기 위해서는 기하학을 이용한다.

유클리드 공간 안에서는 우주도 단지 평평한 공간이었다.

하지만 오늘날 과학자들은 우주 공간이 시간과 공간에 의해 다양한 형태로 휘어져 있을 것으로 추정한다.
아인쉬타인의 상대성 이론도 휘어진 공간의 수학에 의해 가능했다.

아인쉬타인은 그의 상대성이론을 구축하기 위해 수학을 다시 공부해야만 했던 이유도 여기에 있었다.

그러나 증명할 길 없었던 그의 상대성 이론은 1919년에 있었던 개기일식 현상에 의해 증명된다.

아인쉬타인은 지구표면 뿐만 아니라 우리가 사는 모든 공간이 휘었다는 사실을 알았을 때 기쁨을 이렇게 말했다.

“지구의 표면을 기어가는 눈먼 딱정벌레는 자신이 지나온 경로가 휘어있다는 것을 알지 못한다.

나는 그것을 발견한 행운아다”
취재진은 실질적인 실험을 통해 피타고라스 정리의 오차를 증명하고자 한다.

높이와 밑면의 길이가 각각 3미터, 4미터인 직각삼각형의 길이를 측정했다.

피타고라스 정리와 다름없이 빗변은 5미터다.

이번엔 더욱 큰 직각삼각형인 7미터, 24미터, 25미터의 직각 삼각형의 빗면의 길이를 재 본다.

취재진은 도시에서 도시, 보다 넓은 지역을 실제 측량해 피타고라스 정리의 오류를 찾아낸다.

[siegfried]

삼각형의 내각의 합이 180도 보다 큰 것과 180도 보다 작은 것이 있습니다
전자가 원이고 후자가 말안장(의 곡선)입니다 비(非)유클리트기하학에서 다룹니다
리만과 로바체프스키가 창안한 기하학입니다

[pong]

ㅋ ㅋ ㅋ 도사 이시군요. 나중에 자세히 설명 바람니다

[siegfried]

수는 정수론(Theory of numbers)과
기하학은 미분기하학(diffrential Geometry)을 보세요