History of Western Philosophy -Bertrand Russell
Ancient Philosophy Part I
Chapter III Pythagoras-8
Unfortunately for Pythagoras, his theorem led at once to the discovery of incommensurables, which appeared to disprove his whole philosophy. In a right-angled isosceles triangle, the square on the hypotenuse is double of the square on either side.
不幸하게도 피타고라스, 그의 公理는 約分할 수 없는 수의 發見을 이끌어 내게 되는데, 그것은 그의 全體 哲學이 그릇됨을 證明하는 것처럼 보였다. 直角二等邊三角形에서 빗면의 제곱은 兩面의 제곱의 두 倍이다.
theorem n.정리 incommensurable n.약분할 수 없는 수 disprove v.~의 반증을 들다. right-angled isosceles triangle 직각이등변삼각형 hypotenuse n.직각삼각형의 빗변
Let us suppose each side an inch long; then how long is the hypotenuse? Let us suppose its length is m/n inches. Then m2/n2 = 2. If m and n have a common factor, divide it out; then either m or n must be odd.
各各의 邊의 길이가 1인치라고 假定해보자. 그러면 빗변의 길이는 얼마인가? 그 길이를 m/n인치라고 假定하자. 그러면 m2/n2 = 2 이다. 萬若 m과 n이 共通 約數를 가지면 約分될 것이다. 그러면 m과 n은 둘 중 하나는 홀수여야 한다.
common factor n.공통 인수 divide v.나누다 odd a.홀수의
Now m2=2n2, therefore m2 is even, therefore m is even, therefore n is odd. Suppose m = 2p. Then 4p2=2n2 therefore n2=2p2 and therefore n is even, contra hyp. Therefore no fraction m/n will measure the hypotenuse. The above proof is substantially that in Euclid, Book X.'
*But not by Euclid. See Heath, Greek Mathematics. The above proof was probably known to Plato.
이제 m2=2n2 이다, 따라서 m2은 짝수이다. 그러므로 m은 짝수이고 n은 홀수이다. m=2p라고 假定하면 그러면 4p2=2n2이다. 따라서 n2=2p2이고 그러므로 n은 짝수이다는 假說에 反하는 것이다. 어떤 分數 m/n도 빗변을 測定할 수는 없다. 위의 證明은 事實上 유클리트 幾何學 10卷에 있는 것이다.
*그러나 이것은 유클리트에 의하여 證明된 것이 아니다. 히스의 <<그리스 數學>>, 위의 證明은 아마도 플라톤이 했을 것이다.
even a.짝수의 contra prep.~에 반대하여 hyp=hypothesis n.가설 fraction n.분수 proof n.증명 substantially ad.사실상
This argument proved that, whatever unit of length we may adopt, there are lengths which bear no exact numerical relation to the unit, in the sense that there are no two integers m, n, such that m times the length in question is n times the unit.
이러한 主張은 우리가 採擇하는 길이의 單位가 무엇이든 間에 그 單位에 正確하게 숫자上의 聯關을 갖지 않는 길이들이 있다는 것을 證明했다. 그러한 觀點에서 論題上의 “그 길이의 m倍는 그 單位의 n倍이다”와 같은 두 正數 m, n은 存在하지 않는다.
argument n.논증 unit n.단위 bear v.갖다, 증명하다 length n.길이 numerical a.수의
This convinced the Greek mathematicians that geometry must be established independently of arithmetic. There are passages in Plato's dialogues which prove that the independent treatment of geometry was well under way in his day; it is perfected in Euclid. Euclid, in Book Ⅱ, proves geometrically many things which we should naturally prove by algebra, such as (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2. It was because of the difficulty about incommensurables that he considered this course necessary.
이것은 그리스 數學者들에게 幾何學은 算術과 獨立하여 確立되어져야 한다는 것을 確信시켰다. 플라톤의 對話篇에 幾何學을 獨立的으로 다루는 것이 그의 時代에 잘 進行되어 감을 證明하는 論爭이 있다. 유클리트에 와서 그것은 完成되었다. 유클리트 幾何學 2卷에서 (a+b)2=a2+2ab+b2와 같이 代數로 當然히 證明해야 하는 것을 幾何學的으로 證明하고 있다. 約分할 수 없는 數에 대한 어려움 때문에 그는 이러한 講義가 必要하다고 여겼을 것이다.
convince v.납득시키다 independently ad.무관계하게 arithmetic n.산술 under way 진행하다 geometrically ad.기하학적으로 algebra n.대수학
The same applies to his treatment of proportion in Books V and Vl. The whole system is logically delightful, and anticipates the rigour of nineteenth-century mathematicians, So long as no adequate arithmetical theory of incommensurables existed, the method of Euclid was the best that was possible in geometry. When Descartes introduced co-ordinate geometry, thereby again making arithmetic supreme, he assumed the possibility of a solution of the problem of incommensurables, though in his day no such solution had been found.
同一한 것이 5卷과 6卷의 比率을 다루는데도 適用된다. 全體 體系는 論理的으로 매우 愉快해서 19世紀 數學의 嚴格함을 豫見하고 있다. 約分할 수 없는 數에 대한 適切한 數學的 理論이 오랫동안 存在하지 않았기 때문에, 유클리트의 方法은 幾何學에서 可能한 最高의 方法이었다. 데카르트가 座標幾何學을 導入했을 때, 그것으로 算術의 優越性을 다시 만들면서 그는 約分할 수 없는 數의 問題를 解決할 可能性이 있는 체 했다. 하지만 그의 時代에 그러한 解決策은 發見되지 못했다.
difficulty n.어려움 incommensurable n.약분할 수 없는 수 logically ad.논리학적으로 rigor n.엄격함 arithmetical a.산술의 co-ordinate n.좌표 possibility n.가능성
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