3성 픽업캐릭을 뽑기 위해 평균적으로 사용해야 하는 쥬얼 수는?

[일비(ILB)]

수학가지고 장난질 할 곳이 없어서 찾아다니다가 프리코네 가챠를 보고 고3 확률과 통계 개념들이 생각나서 글 올려봅니다.

자신이 보유중인 주얼량을 고려할 때 뽑을 캐릭터들을 정하기에 나름 괜찮은 자료가 될 것 같아서 직접 계산해봤습니다.

※유클리드 님의 오류 지적으로 글 수정했습니다!

※참고: 이 계산은 비틱 및 천장을 모두 고려한 계산입니다.

아, 숫자 알러지 있고 장문 읽기 싫으신 분들을 위해 결과를 미리 공개하겠습니다. 픽업캐릭 하나를 얻기 위해서는 평균적으로

18,823.8 쥬얼이 소모된다고 보시면 됩니다. 

<Step 1. 가정>

1. 플레이어는 본인이 뽑으려는 캐릭터의 픽업뽑기에서 원하는 캐릭터가 나오거나 천장을 칠때까지 '회당 150주얼이 소모되는 단차로만' 가챠를 돌린다. (10연차 고려하면 계산 너무 복잡해집니다....ㅠ)

2. 천장은 플레이어가 300연챠까지 돌렸는데에도 픽업뽑기를 휙득하지 못했을 경우 쳤다고 가정하고 이 경우 300번째 뽑기에서 캐릭터가 등장했다고 가정한다.

3. 뽑기 확률은 실제 프리코네 인게임상의 등장확률을 따른다. (픽업 확률: 0.7%)

4. 프리코네의 뽑기는 모두 독립시행이다.

<Step 2. 확률계산>

본인이 픽업 캐릭 하나를 휙득할 때까지 위의 가정에 따라 뽑기를 시행하면서 단챠를 한 횟수를 확률변수 X라 하자. 이 경우

P(X=n) (1<=n<=301)일 확률은 아래와 같이 구할 수 있다.

case 1) n<300

P(X=n) = (0.007)*(0.993^(n-1))

해설: n번째에서 픽업뽑기 캐릭을 얻어야 하므로 n-1번째까지 픽업캐릭이 등장하면 안된다. 첫 번째~n-1번째에서 픽업 캐릭이 나오면 안되는 확률은 각 횟수마다 1-0.007=0.993, 그리고 n번째에서 딱 픽업캐릭이 등장할 확률은 0.007(=0.7%)이다.

case 2) n=300

P(X=300) = (0.007)*(0.993^300) + (1-0.007)^300

해설: 정확히 300번째에 픽업캐릭이 등장한 경우와 300번째까지 한 번도 픽업캐릭이 등장하지 않은 경우에 대해서 말하는 것이므로 두 경우에 대한 확률을 단순히 더해주면 된다.

(그냥 더해줘도 되는 이유는 두 사건의 교집합이 공집합이므로....라고 말하겠지만 걍 PASS해도 무방)

<Step 3. 뽑기 횟수에 대한 기댓값 계산>

위와 같은 상황에서 기댓값 계산법은....

(자신이 픽업을 얻을 때까지 뽑기를 한 횟수)*(그 횟수만큼 뽑기를 할 확률)= n*P(X=n) 들의 합이다. n은 1~300 사이의 값을 가지므로 기댓값은 아래와 같이 계산할 수 있다.

따라서 각 픽업 뽑기의 캐릭터를 얻기 위해 플레이어는 125.492회 정도의 단차를 돌려야 한다.

<Step 4. 주얼 소모량 기댓값 계산>

모든 뽑기를 150주얼짜리 단챠로 진행하였으므로

(주얼 소모량 기댓값)=150*(뽑기 횟수 기댓값)=18,823.8 쥬얼.

대략 3만 쥬얼 정도 된다고 보면 된다.

<Bouns. 현실을 고려한 계산들 및 보정방법>

이번에 제가 올린 글에서는 플레이어가 모두 150주얼 단챠를 한다고 했지만 사실 절대 다수의 유저가 뽑기를 할 때 10연차 기능을 씁니다. 즉, 위의 방식으로 174번째 뽑기에서 캐릭터를 얻게 되었다고는 해도 실제로 유저들이 사용한 연차수는 보통 180연, 또는 181연(50주얼 단차+연차모드 ON)일 가능성이 큽니다.

또한 유료주얼 50단챠를 픽업 기간 내내 돌린 후 픽업 캐릭터를 뽑을 수도 있고 당일에 바로 연차로 박아가며 뽑을 수도 있는 등, 실제 뽑기를 하는 방법은 여러가지입니다.

그 외에 저는 천장칠 확률을 0.993^300 이라고 했으나 실질적으로 위에서 언급한 방법과 같이 뽑았을 때 291번째~300번째에서 나왔다고 해도 대부분의 유저들이 10연차 기능으로 뽑기를 진행하는 것을 고려하면 실질적으로 291번째 이상에서 픽업 캐릭터를 얻는 경우들도 이미 '천장을 쳤다'고 봐도 무방합니다.

이를 기반으로 계산을 추가해보면 아래와 같은 식들이 나올 수 있습니다.

1. 10연차 기준 주얼소모 범위

카드 10장 중 첫 번째에서 픽업 3성이 나오면 나머지 9장은 버리는 카드들이다. 즉, 최대 150*9만큼의 주얼이 추가로 낭비될 수 있음->실질적인 쥬얼 사용량을 고려, 18,823.8 ~ 18,823.8+1350=20,173.8쥬얼 정도를 소모한다고 생각하도 무방하다.

(10연챠까지 고려해서 계산한 기댓값도 역시 29,763~31,114쥬얼 사이에 있을 것이다.)

2. 50단차 고려

50단차를 돌릴 때마다 실제 주얼 소모는 100개씩 감소한다고 보면 된다. 즉, (50단챠 돌린횟수)*100주얼을 아낄 수 있다.

3. 실질적인 천장 확률

291번째~300번째에서 휙득할 확률을 모두 더한 값으로 계산한다. 즉, 위에서 정의한 P(X=n)에 대하여 P(X=291)+P(X=292)+...+P(X=300)을 계산하면 된다. 계산해보면 약 0.1304=13.04%정도이며 실제 천장확률(12.16%)보다 살짝 높은 수준이다.

4. 연속으로 a회 천장을 칠 확률

천장 칠 확률은 0.1216정도이므로 (0.1216)^a 가 된다. 실질적인 천장으로 계산하는 경우 0.1216을 0.1304로 바꿔서 계산하면 된다.

5. (기댓값과 가장 가까운 10연차 단위인) 130연차로 픽업 캐릭을 휙득할 확률

1-(130연으로 휙득하지 못할 확률)=1-(0.993)^130=0.5988=59.87%

생각보다 기댓값이 작군요....! 아 근데 체감은 막상 그렇지 않단말이지^^ 제에길!

사실 확률이고 기댓값이고 뭐고 걍 단챠 비틱이 짜세입니다. 이건 불변의 진리 ㄹㅇㅋㅋㅋㅋ

글 마치면서 다들 한정연타 잘 버티시고 가챠 대박나시길 바랍니다!

[푸딩먹고싶다]

잘써먹어야지

[피해자코스프레]

와우.. 공략 게시판으로 가셔야 할 것 같네요 ㄷㄷ 좋은 글 잘 보고 갑니다

[일비(ILB)]

시험기간에 미쳐버린 수학과 학생의 뻘짓 잘 봐주셔서 감사합니다 ㅋㅋ (뭐...고3 수준의 수학만 있으면 됬지만...)

[하야부사]

본문과는 상관없는 질문이긴 한데
기초 없는 상태에서 일반적인 고3수준의 수학실력 갖추려면 어떻게 공부해야할까요
퇴근하고 프리코네하고 남는시간에 수학공부나 해볼까 하는데...

[일비(ILB)]

'기초가 없다'라고 하는 것을 딱 물건 여러 개 샀을 때 가격 계산할 줄 아는 수준이라고 한다면.... 나눗셈 기초영역인 초3부터 스타트하는게 맞겠군요. 분수의 덧/뺄샘 이해하려면 필수적인 영역이니....

만약 본인이 분수의 사칙연산까지 알고 있다면 본격적으로 수학적 개념이 나오는 초5수준부터 하면 됩니다. 그리고 초딩수학은 생각보다 만만치 않을걸요...?ㅋㅋ

뭐가 됬든, '기초가 없다'라는 것이 어느정도인지는 모르겠지만 자신이 아는 것에 따라 달라질 겁니다. 수포자라면 제가 제시한 쪽에서 스타트하는게 맞는듯....

[유클리드]

계산 실수가 있으신 듯 한데 S-0.993S 계산할때 마지막항이 +가 아니라 -300(0.007)(0.993)^300 아닌가요?
이렇게 고쳐서 계산하면 기댓값 계산할때 S의 마지막 항하고 기댓값의 세번째 항이 상쇄되서 기댓값이 125.492가 나오는것 같은데..

[일비(ILB)]

어 잠시만 진짜 에러났네?? 수정하겠습니다 ㄷㄷ
실수한 부분 지적해주셔서 감사합니다....와우

[유클리드]

저도 지나가던 수학과 학생이라 흥미롭게 읽었네요 ㅎㅎ 계산 감사합니다