5차방정식의 새로운 해법 (갈루아이론)

[유토피아]

오늘날 카르다노의 방법이라고 알려지고 있는 삼차방정식의 일반적인 해법이 발견된 후에 사차방정식의 해법이 카르다노의 제자인 페라리(1522-1565, 이탈리아)에 의하여 발견되었다.

카르다노는 1545년에 삼차, 사차방정식의 해법을 발표하였다.

삼차, 사차방정식의 해법이 발견된 후에 약 300년간 많은 수학자들이 5차 이상의 방정식의 근의 공식을 발견하려고 노력했다.

그러나 해를 거듭해도 해법이 발견되지 않으므로 계수에 사칙연산과 근호의 계산을 반복하는 대수적 풀이 방법은 불가능하다는 증명을 시도하게 되었다.

 루피니(1765-1822, 이탈리아)는 5차 이상의 방정식은 대수적으로 풀 수 없다는 증명을 발표하였으나, 그 증명에는 중대한 실수가 있음이 밝혀졌다.

그러나 아벨( 1802-1829, 노르웨이)은 1826년에 "5차 이상의 방정식은 일반적으로 대수적으로 풀 수 없다."라는 정리를 증명하였다.

오차방정식의 일반해를 구할 수 없다는, 즉 대수적으로 풀 수 없다라는 것을 증명한 사람은19세기의 젊은 수학자인 노로웨이의 아벨과 프랑스의 갈루아 다.

 갈루아(1811-1832, 프랑스)는 '5차방정식의 일반해를 구할 수 없다'를 증명하는 과정에서 '군'의 개념을 생각해냈다.

방정식의 해법에 관련된 수학의 새로운 영역으로 '군(群)'이 탄생하였던 것이다.

이와 같은 독창적인 갈루아의 생각은 오늘의 갈루아 이론의 바탕이 되었고, 현대 수학에 막대한 영향을 주었다.

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아인슈타인이 일반상대성이론에 이용한
군론을 처음 제시한 사람은 21살에 요절한 갈루아였습니다.
권총으로 인해 요절한 갈루아는 10대 때 그의 업적을 이루었습니다.
비극적이었던 엄청난 천재, 갈루아에 대해 알아볼까요?

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갈루아의 비극적인 생애

사진출처: 네이버 지식백과 <갈루아>

갈루아는 1811년 파리 남쪽의 소도시 부르라렌에서 태어났습니다.
그가 유년시절을 보냈던 당시는 프랑스혁명기였고 갈루아는
프랑스 혁명기의 수학자들 중 가장 짧고 비극적인 생애 를 지냈습니다.

갈루아는 이른 나이에 대수방정식에 관한 논문을 썼으며
유명한 수학자들의 논문 탐독은 물론 2년은 공부해야 이해하는
르장드르의 기하학 책을 이틀 만에 독파한 천재 중 천재였습니다.

라그랑주와 아벨의 논문을 탐독할 정도로 수학에 뛰어난
재능을 보였던 갈루아는 그의 천재적인 수학적 재능과 반대로
성격이 과격하며 넘치는 자신감으로 타인을 설득할 인내심이 부족했습니다.

때문에 갈루아는 넘치는 수학적 재능에도 불과하고 그의 인성 때문에
고등 교육 기관인 에콜 폴리테크니크 입학시험에 떨어지기도 했습니다.

갈루아는 에콜노르말에 다닐 때 당대 뛰어난 수학자들에게 논문을 보냈지만
받아들여지지 않았습니다.

1829년에 보낸 첫 논문은 코시가 제대로 보지 않은 채 폐기하였으며
1830년에 제출한 두 번째 논문은 푸리에가 심사 중에 죽어 그의 논문은 분실되었습니다.
마지막 세 번째 논문은 푸아송이 이해하기 힘들다며 심사를 거절하였습니다.

그의 논문은 5차 방정식의 해법에 관한 연구가 있었으며
프랑스혁명에 가담했던 갈루아는 옥살이로 고초를 겪기도 했습니다.

갈루아가 요절했던 이유는 권총 결투 때문이었습니다.
애정 문제로 권총 결투를 하게 된 갈루아는 권총 결투를 마지막으로
요절하고 말았습니다.

권총 결투 전날, 그는 자신이 죽을 운명인 것을 직감이라도 한 듯
친구인 슈발리에게 급히 편지를 썼습니다.
편지의 양은 31장으로 유언장과 같은 내용이었습니다.

몇 편의 논문을 거절당해서인지, 갈루아는 자신의 논문을
독일의 야코비나 가우스에게 보여주고 싶다는 내용도 편지에 담았습니다.
자신의 논문을 거절한 프랑스 수학자들에 대한 불신이 담겨있으며
편지 곳곳에는 이제 시간이 없다는 아쉬움이 담겨있었다고 합니다.

권투대결로 갈루아는 요절했으며 그의 유언대로 그의 마지막 편지를
포함한 다른 논문들은 당대 최고의 수학자들에게 보내졌습니다.

그가 남긴 논문은 5차 방정식에 대한 해법, 적분에 관련한 논문으로
현대 군론이라는 학문에 기초가 되었습니다.

군론(Group)이란?

군론은 현재 3D 컴퓨터 비전, 컴퓨터 그래픽에서 쓰이는 이론입니다.
그래서일까요? 갈루아가 살았던 당대 수학자들은 갈루아의 이론을
이해하지 못했고 그가 죽고 70년이 지나서야 연구가 시작되었습니다.

갈루아는 5차 방정식의 해법과 적분에 관한 논문을 썼는데
이는 수학자들이 300여 년간 5차 방정식의 해를 구하기 위한 노력의
마침표를 찍었습니다.

수학자들은 5차 방정식의 해를 구하기 위해 대수적인 풀이와 증명으로
접근을 했지만 갈루아는 전혀 다른 방법으로 5차 이상의 방정식은
대수적으로 풀 수 없다는 증명을 했습니다.

군론이란 공(Ø)이 아닌 집합 G에 이항연산자
* : G x G → G. (G,*)가 다음 조건을 만족하면 (G,*)을 군(group)이라고 합니다.

1. 결합법칙 : (a*b)*c = a*(b*c),    a, b, c ∈ G
2. 항등원이 존재한다 : ∃ e ∈ G : a*e = e*a = a, ∀ a ∈ G
3. 역원이 존재한다. ∀ a ∈ G ∃a-1∈ G : a*a-1 = a-1*a = e
4. a*b = b*a, ∀ a, b ∈ G 만족하면 (G,*)을 가환군이라고 부른다.
5. 군에서 방정식 χ*b=c을 만족하는 해 x는 유일하게 존재한다 :
χ=b-1*c

군론의 응용

갈루아의 논문은 리우빌에 의해 1843년 <수학저널>을 통해 세상에
소개되었으며 1870년 조르담 이 <대입론과 대수방정식론>에서 이론을 정리했습니다.

그의 군론 이론은 클라인과 리가갈루가 기하학에 응용하여 기하, 대칭과 군론이
서로 연관돼있으며 갈루아의 이론으로 수학의 전 분야에서 관점을
뒤엎는 많은 연구를 하게 되었습니다.

19세기 말 물리학자들은 군론에 이론에 주목하기 시작했고 아인슈타인도 그중 한 명이었습니다.
그는 갈루아의 군론을 일반상대성이론에 이용하여 자연을 기술하는 언어라고 칭송했습니다.
1970년부터 갈루아의 이론을 토대로 수학의 각 분야를 통합하는 랭글랜즈 프로그램이
진행되고 있습니다.

군론은 현대 물리학에서 가장 큰 힘을 발휘하고 있습니다.
초미시 영역을 다루는 현대물리학에서 '대칭' 은 매우 중요한 요소입니다.
또한 대칭은 갈루아의 이론에서 나온 대수학의 개념입니다.

물리학자들은 갈루아의 군론을 통해서 약력, 전자기력, 강력을 통합했고
매개 입자들을 분류하는 데 사용되었습니다.