항등원과 역원

[유토피아]

"항등원/역원" 문제 푸는법

- 항등원은 항등식으로, 역원은 방정식으로 푼다.

항등원과 역원

항등원과 역원에 대해 설명을 하기 전에 알아야 할 게 있어요. 항등원과 역원을 구하려면 일단 그 연산에 대하여 닫혀있어야

항등원과 역원을 구하라는 문제는 이 두 조건을 만족한다는 전제가 깔렸으니까 따로 확인해볼 필요는 없어요. 단, 항등원을 구할 수 있는가를 물어보는 경우에는 이 두 가지를 확인하세요.

항등원

집합 S의 임의의 원소 a와 원소 e를 연산한 결과가 a가 될 때 e를 연산에 대한 항등원이라고 해요. 쉽게 말하면 연산을 한 결과가 자기 자신이 되도록 하는 수지요.

10에 0을 더하면 원래 수인 10이 돼요. 100에 0을 더해도 100이 되죠. 덧셈에서는 어떤 수에 0을 더하더라도 원래 수가 나오잖아요. 이때 0을 덧셈에 대한 항등원이라고 해요.

곱셈에서는 어떤 수에 1을 곱하더라도 원래 수가 나와요. 따라서 곱셈에 대한 항등원은 1이에요.

항등원: a ∈ S일 때 a ⊙ e = e ⊙ a = a를 만족하는 e (e ∈ S)

항등원은 그 연산에서 딱 하나만 있어요. 덧셈에는 0, 곱셈에는 1만 항등원이에요.

연산을 어떻게 정의하느냐에 따라서 항등원이 없을 수도 있어요.

역원

집합 S의 임의의 원소 a와 x를 연산한 결과가 항등원 e가 될 때 x를 연산에 대한 a의 역원이라고 해요. 항등원이 나오게 하는 수지요.

10에 -10을 더하면 덧셈의 항등원인 0이 되죠? 그래서 덧셈에 대한 10의 역원은 -10이에요. 덧셈에 대한 20의 역원은 -20이죠.

항등원/역원 문제는 잘푸는 사람은 잘푸는데 손도 못대는 친구들도 많습니다.

문제를 못푸는 학생들의 특징을 보니까

1. 중학교에서 고등학교로 진학하면서 처음보는 단어, 생소한 내용들이기 때문에 당황한다.

2. 중학교에서 배운 항등식을 다 까먹었다.

항등원은 항등식으로 풀어야 하고, 역원은 항등원을 구한다음 방정식을 이용해서 풀어야 합니다. 그러니까 항등식이 준비되지 않은 친구는 역원 역시 구할 수 있을리 만무하죠.

 SKA'       항등식 : 항상 성립하는 식

인 관계가 있을때

1. x에 관한 항등식은 모든 x에 대해 항상 만족해야합니다.

그러니까 a=0, b=0 이면 x에 어떤값을 넣더라도 이식은 항상 성립하게 되는것이죠.

반대로 a=0, b≠0 이면 x에 어떤값을 넣더라도 이 식은 성립할 수가 없습니다.

좌변은 0이 아닌데 우변은 0이므로 이것은 모순이죠.

a≠0, b= 0 인 경우에도 x에 어떤값을 넣더라도 이 식은 성립할 수가 없습니다.

2. x에 대한 방정식은, a가 0이 아닐경우

로 결정됩니다.

항등식 문제를 틀리는 친구들은 1번으로 풀어야 하는데 2번으로 풀면서 시간을 다 보내는 케이스가 대부분입니다.

  항등식은 a와 b를 구하는것,
  방정식은 x를 구하는것

 SKA'       항등원의 조건

항등원은 임의의 연산에 대해서 항상 원래의 원소가 되도록 하는 원소입니다. 기호는 보통 e를 씁니다.

항등식의 조건은

1) 임의의 원소에 대해서 항상 성립하여야 한다. → 항등식 (e는 오직 하나)

2) 교환법칙이 성립하여야한다.

3) 항등원도 집합의 원소가 되어야 한다. 

(cf. 자연수 조건에서 덧셈의 항등원은 존재하지 않는다. 0은 자연수가 아니므로)

예) 정수조건에서 덧셈에 대한 항등원은, 임의의 정수 a를 선택한다음, 항등원은 e라고 정하면

a+e = e+a = a

항등식으로 풀어봅시다.

a + e - a = 0

(1-1)a + e = 0

a의 계수는 0이므로 e역시 0이 되어야 합니다.

따라서 e = 0

정수조건에서 곱셈에 대한 항등원은, 임의의 정수 a를 선택한다음, 항등원을 e라고 하면

a x e = e x a = a

항등식으로 풀어봅시다.

ae - a = 0

(e-1)a + 0 = 0

상수항이 0이므로 a의 계수가 0이 되어야 합니다.

따라서 e = 1

뺄셈과 나눗셈은 교환법칙이 성립하지 않으므로 항등원이 존재하지 않습니다.

 SKA'       역원의 조건

역원은 항등원처럼 임의의 원소가 아니라, 특정한 원소에 대해 연산을 수행했을때 항등원이 되도록 하는 원소입니다. 기호는 방정식의 x를 씁니다.

역원의 조건은

1) 임의의 원소가 아니라 특정한 원소에 대해 존재함 → 방정식

2) 교환법칙이 성립하여야 한다.

3) 역원도 그 집합의 원소가 되어야 한다.

예) 정수조건에서 -2의 덧셈에 대한 역원은, 덧셈에 대한 항등원은 0이므로,

-2 + x = x + (-2) = 0

-2의 덧셈에 대한 역원은 2

똑같이 -3의 덧셈에 대한 역원은 3입니다. 역원은 서로 다르다는것 확인하세요.

정수조건에서 -2의 곱셈에 대한 역원은, 곱셈에 대한 항등원이 1이므로,

-2 * x = 1

-2의 곱셈에 대한 역원은 -1/2

똑같이 계산하면 -3의 곱셈에 대한 역원은 -1/3 입니다. 역시 전부 다르죠.

 SKA'       반드시 계산으로 푸는 것은 아니다.

연산 △를 아래와 같이 정의하고 전체 집합의 원소는 = {소, 산타, 빠따, 석탑}입니다.

항등원은 무엇일까요?

소 △ 산타 = 산타 △ 소 = 소

산타 △ 산타 = 산타 △ 산타 = 산타

빠따 △ 산타 = 산타 △ 빠따 = 빠따

석탑 △ 산타 = 산타 △ 석탑 = 석탑

항등원은 산타 이네요.

각 원소에 대한 역원은 무엇일까요?

소 △ X = X △ 소 = 산타  (X=소)

빠따 △ X = X △ 빠따 = 산타 (X=빠따)

석탑 △ X = X △ 석탑 = 산타 (X=석탑)