환(環, ring)론과 뇌터 정리에 관하여

[유토피아]

수학의 한 분야인 환론(環論, 영어: ring theory)은 환(정수의 집합처럼 좋은 성질을 가진 덧셈과 곱셈 연산이 주어진 집합)을 주 대상으로 한다.

환론의 주요 주제로는 환의 표현(혹은 가군)이나 군환, 나눗셈환, 보편포락대수 등의 특수한 환 및 인접 분야인 호몰로지 대수학 등이 있다.

가환환은 비가환환보다 훨씬 많은 성질이 알려져 있으며, 대수기하학 및 대수적 수론과 깊은 관련이 있는 가환대수학의 하위 분야이다. 최근(1980년대 이후)에는 비가환 기하학과 양자군 등의 이론이 나타나면서 비가환환에 대해서도 상당한 연구가 이루어지고 있다.

환의 연구는 다항식환 및 대수적 정수의 이론으로부터 출발했다.

환의 개념은 리하르트 데데킨트가 도입했으며, 처음으로 환(Zahlring)이라는 용어가 사용된 것은 다비트 힐베르트의 글^[1] 에서였다.

아브라함 프렝켈은 1914년 논문에서^[2] 처음으로 환을 엄밀히 정의했으며, 에미 뇌터는 1921년의 논문 〈Ideal Theory in Rings〉에서 가환환 이론에 대한 공리적 기초를 나타내었다.

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물리학에서, 뇌터의 정리(-定理, 영어: Noether's theorem)란 어떤 미분가능한 한 물리계의 작용의 대칭성이 하나의 보존법칙에 대응된다는 것이다.

여기서 한 물리계의 작용이란 최소작용의 원리에 의해 결정되는 계의 행동으로부터 유도되는 한 라그랑지안 함수의 시간적분(또는 라그랑지안 밀도함수의 공간적분)이다.

뇌터 정리는 현대 이론 물리학과 변분법의 기본적인 도구이며, 라그랑주 역학으로 다룰 수 있는 모든 계에 적용된다.

 다만, 순수 라그랑주 역학으로 다룰 수 없는 계들도 존재한다. 예를 들어, 마찰이나 점성이 있는 계의 경우, 레일리 흩어지기 함수(Rayleigh dissipation function)를 사용하여야 한다.

이 경우, 연속적인 대칭이 존재하지만 이에 대응되는 보존 법칙이 존재하지 않을 수도 있다.

독일의 수학자 에미 뇌터가 1915년에 증명하고, 1918년 출판하였다.^[1]

장론에서의 뇌터 정리

어떤 대칭에 의하여 장과 시공 좌표가 무한소의 대칭 변환에 대하여 다음과 같이 변환한다고 하자.

${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}}^{}}$ ′ μ = x μ + δ ϵ x μ {\displaystyle x'^{\mu }=x^{\mu }+\delta _{\epsilon }x^{\mu }}

${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span><!--\; \varphi \; -->}}^{}}$ ′ ( x ′ ) = ϕ ( x ) + δ ϵ ϕ ( x ) = ϕ ( x ′ ) + δ ϵ ϕ ( x ′ ) − ∂ μ ϕ ( x ′ ) δ ϵ x μ ( x ′ ) {\displaystyle \phi '(x')=\phi (x)+\delta _{\epsilon }\phi (x)=\phi (x')+\delta _{\epsilon }\phi (x')-\partial _{\mu }\phi (x')\delta _{\epsilon }x^{\mu }(x')}

만약 작용이 라그랑지언에 대하여 불변이라면, 라그랑지언의 변환은 어떤 벡터장의 발산이어야만 한다.

${\displaystyle \mathcal{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}$ ( ϕ ′ ( x ) , ϕ ′ ( x ) , x ) − L ( ϕ ( x ) , ϕ ( x ) , x ) = ∂ μ ( ϵ J μ ( x ) − δ ϵ x μ L ( x ) ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi '(x),\phi '(x),x)-{\mathcal {L}}(\phi (x),\phi (x),x)=\partial _{\mu }(\epsilon J^{\mu }(x)-\delta _{\epsilon }x^{\mu }{\mathcal {L}}(x))}

(만약 라그랑지언이 정확히 불변이라면 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">J</span>}}$ = 0 {\displaystyle J=0} 이 된다.) 이제

${\displaystyle \mathcal{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}$ ( ϕ ′ ( x ) , ϕ ′ ( x ) , x ) − L ( ϕ ( x ) , ϕ ( x ) , x ) = ( ∂ L ∂ ϕ + ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) ∂ μ + ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) ∂ μ ∂ ν + ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ∂ ρ ϕ ) ∂ μ ∂ ν ∂ ρ + ⋯ ) ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi '(x),\phi '(x),x)-{\mathcal {L}}(\phi (x),\phi (x),x)=\left({\frac {\partial L}{\partial \phi }}+{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\partial _{\mu }+{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }+{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\partial _{\rho }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\partial _{\rho }+\cdots \right)\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)}

${\displaystyle <span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>}$ δ L δ ϕ ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) + ∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) ) + ∂ μ ( ∂ ν ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) ) − ∂ μ ( ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) ∂ ν ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) ) + ⋯ {\displaystyle ={\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)+\partial _{\mu }\left({\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)\right)+\partial _{\mu }\left(\partial _{\nu }\left(\phi '(x)-\phi (x)\right){\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}\right)-\partial _{\mu }\left(\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}\right)+\cdots }

이다. 여기서

${\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\delta </span><!--\; \delta \; -->}}{}}$ L δ ϕ = ∂ L ∂ ϕ − ∂ μ ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) + ∂ μ ∂ ν ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) − ∂ μ ∂ ν ∂ ρ ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ∂ ρ ϕ ) + ⋯ {\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}+\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}-\partial _{\mu }\partial _{\nu }\partial _{\rho }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\partial _{\rho }\phi )}}+\cdots }

는 변분이다. 따라서,

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">ϵ</span><!--\; ϵ\; -->}}$ j μ = J μ − δ ϵ x μ L − ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) − ∂ ν ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) + ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) ∂ ν ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) + ⋯ {\displaystyle \epsilon j^{\mu }=J^{\mu }-\delta _{\epsilon }x^{\mu }{\mathcal {L}}-{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)-\partial _{\nu }\left(\phi '(x)-\phi (x)\right){\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}+\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}+\cdots }

${\displaystyle <span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>}$ J μ − δ ϵ x μ L − ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) ( δ ϵ ϕ − δ ϵ x μ ∂ μ ϕ ) − ∂ ν ( δ ϵ ϕ − δ ϵ x μ ∂ μ ϕ ) ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) + ( δ ϵ ϕ − δ ϵ x μ ∂ μ ϕ ) ∂ ν ∂ L ∂ ( ∂ μ ∂ ν ϕ ) + ⋯ {\displaystyle =J^{\mu }-\delta _{\epsilon }x^{\mu }{\mathcal {L}}-{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\left(\delta _{\epsilon }\phi -\delta _{\epsilon }x^{\mu }\partial _{\mu }\phi \right)-\partial _{\nu }\left(\delta _{\epsilon }\phi -\delta _{\epsilon }x^{\mu }\partial _{\mu }\phi \right){\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}+\left(\delta _{\epsilon }\phi -\delta _{\epsilon }x^{\mu }\partial _{\mu }\phi \right)\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}+\cdots }

로 정의한다면

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">ϵ</span><!--\; ϵ\; -->}}$ ∂ ⋅ j = − δ L δ ϕ ( ϕ ′ ( x ) − ϕ ( x ) ) {\displaystyle \epsilon \partial \cdot j=-{\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}\left(\phi '(x)-\phi (x)\right)}

이 된다. 오일러-라그랑주 방정식을 따르는 경로의 경우 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\delta </span><!--\; \delta \; -->}}$ L / δ ϕ = 0 {\displaystyle \delta {\mathcal {L}}/\delta \phi =0} 이므로, 이러한 경로에서는 ${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">j</span>}}^{}}$ μ {\displaystyle j^{\mu }} 가 보존류를 이루며, 다음과 같은 보존량이 존재한다.

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">Q</span>}}$ = ∫ j 0 ( x ) d 3 x {\displaystyle Q=\int j^{0}(x)\;d^{3}x}

 

역학에서의 뇌터 정리

고전역학은 1차원 시공간 (=시간) 위의 고전장론으로 여길 수 있다. 이에 따라 역학에서의 뇌터 정리는 장론에서의 뇌터 정리의 특수한 경우이며,

${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span><!--\; \partial \; -->}}_{}}$ μ ↦ d d t {\displaystyle \partial _{\mu }\mapsto {\frac {d}{dt}}}

${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}}^{}}$ μ → t {\displaystyle x^{\mu }\to t}

로 치환하여 얻을 수 있다. 즉, 변환

${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}^{}}$ ′ ( t ′ ) = q ( t ) + δ ϵ q ( t ) {\displaystyle q'(t')=q(t)+\delta _{\epsilon }q(t)}

${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">t</span>}}^{}}$ ′ = t + δ ϵ t {\displaystyle t'=t+\delta _{\epsilon }t}

에 대하여, 라그랑지언 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}$ ( q , q ˙ , q ¨ , … , t ) {\displaystyle L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}},\dots ,t)} 가

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}$ [ q ′ ( t ) , t ] − L [ q , t ] = − L ˙ δ t + ϵ J ˙ {\displaystyle L[q'(t),t]-L[q,t]=-{\dot {L}}\delta t+\epsilon {\dot {J}}}

를 만족시킨다고 하자. 그렇다면 보존량

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">Q</span>}}$ = J − δ ϵ t L − ∂ L ∂ q ˙ ( δ ϵ ϕ − δ ϵ t q ˙ ) − d d t ( δ ϵ q − δ ϵ t q ˙ ) ∂ L ∂ q ¨ + ( δ ϵ q − δ ϵ t q ˙ ) d d t ∂ L ∂ q ¨ + ⋯ {\displaystyle Q=J-\delta _{\epsilon }t{\mathcal {L}}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\left(\delta _{\epsilon }\phi -\delta _{\epsilon }t{\dot {q}}\right)-{\frac {d}{dt}}\left(\delta _{\epsilon }q-\delta _{\epsilon }t{\dot {q}}\right){\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\ddot {q}}}}+\left(\delta _{\epsilon }q-\delta _{\epsilon }t{\dot {q}}\right){\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\ddot {q}}}}+\cdots }

은

${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">Q</span>}}}$ ˙ = − δ L δ q ( δ ϵ ϕ − δ ϵ t q ˙ ) {\displaystyle {\dot {Q}}=-{\frac {\delta L}{\delta q}}\left(\delta _{\epsilon }\phi -\delta _{\epsilon }t{\dot {q}}\right)}

이므로, 운동 방정식을 따르는 경로 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}$ ( t ) {\displaystyle q(t)} 에 대하여 보존된다.

뇌터 보존량의 예

흔히 쓰이는 대칭과 이에 대응하는 보존량은 다음과 같다.

대칭	보존류	보존량
시공간 병진 대칭 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\delta </span><!--\; \delta \; -->}}$ x μ = δ ν μ {\displaystyle \delta x^{\mu }=\delta _{\nu }^{\mu }}	에너지-운동량 텐서 ${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">T</span>}}^{}}$ μ ν {\displaystyle T^{\mu }{}_{\nu }}	4차원 운동량 (에너지, 운동량)
회전 대칭 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\delta </span><!--\; \delta \; -->}}$ x μ = δ ν μ x ρ − δ ρ μ x ν {\displaystyle \delta x^{\mu }=\delta _{\nu }^{\mu }x_{\rho }-\delta _{\rho }^{\mu }x_{\nu }}	4차원 각운동량 밀도 ${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">T</span>}}^{}}$ μ ν x ρ − T μ ρ x ν {\displaystyle T^{\mu }{}_{\nu }x_{\rho }-T^{\mu }{}_{\rho }x_{\nu }}	4차원 각운동량 (3차원 각운동량 ${\displaystyle \mathbf{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}$ {\displaystyle \mathbf {L} } , 총 에너지와 질량 중심의 초기 위치의 곱[2] ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">t</span>}}$ p − x com E {\displaystyle t\mathbf {p} -\mathbf {x} _{\text{com}}E} )
확대 변환 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\delta </span><!--\; \delta \; -->}}$ x μ = x μ {\displaystyle \delta x^{\mu }=x^{\mu }}	확대류[3] ${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">T</span>}}^{}}$ μ ν x ν {\displaystyle T^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }}	${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">t</span>}}$ E − ∭ d V x ⋅ d p d V {\displaystyle tE-\iiint dV\,\mathbf {x} \cdot {\frac {d\mathbf {p} }{dV}}} (즉, ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">E</span>}}$ = d d t ∭ d V x ⋅ d p / d V {\displaystyle E={\frac {d}{dt}}\iiint dV\,\mathbf {x} \cdot d\mathbf {p} /dV} )
특수 등각 변환 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\delta </span><!--\; \delta \; -->}}$ x μ = x 2 δ ν μ − 2 x μ x ν {\displaystyle \delta x^{\mu }=x^{2}\delta _{\nu }^{\mu }-2x^{\mu }x_{\nu }}	${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">T</span>}}^{}}$ μ ρ ( x 2 δ ν ρ − 2 x ρ x ν ) {\displaystyle T^{\mu }{}_{\rho }(x^{2}\delta _{\nu }^{\rho }-2x^{\rho }x_{\nu })}
전자기 U(1) 회전 (대전 스칼라장: ${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\delta </span><!--\; \delta \; -->}}_{}}$ ϵ ϕ = i ϕ {\displaystyle \delta _{\epsilon }\phi =i\phi } )	4차원 전류 밀도 ${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">j</span>}}_{}}$ μ = ϕ ∗ ∂ μ ϕ {\displaystyle j_{\mu }=\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi }	전하
복소 페르미온 회전 ${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\delta </span><!--\; \delta \; -->}}_{}}$ ϵ ψ = i ψ {\displaystyle \delta _{\epsilon }\psi =i\psi }	페르미온 수 보존류 ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\psi </span><!--\; \psi \; -->}}}$ ¯ i γ μ ψ {\displaystyle {\bar {\psi }}i\gamma ^{\mu }\psi }	페르미온 수
파동 함수 회전 ${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\delta </span><!--\; \delta \; -->}}_{}}$ ϵ Ψ = i Ψ {\displaystyle \delta _{\epsilon }\Psi =i\Psi }	확률류 ${\displaystyle <span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>}$ | Ψ | 2 , ℏ 2 m i ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) ) {\displaystyle (|\Psi |^{2},{\frac {\hbar }{2mi}}(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}))}	1 (=가능한 확률의 합)

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뇌터는 1915년에 괴팅엔에서 이 정리를 증명했다.

 당시의 사회는 성차별이 심한 사회였기 때문에 다비트 힐베르트가 뇌터를 괴팅엔의 수학과 사강사 (privatdozent, 한국식으로 하면 시간강사 정도쯤 되는 위치)로 초대하려고 했을 때 대학교의 남자 교수들이 학생들이 전쟁(1차 대전)에서 돌아왔을 때 여자 교수에게 강의를 들어야 한다는 사실을 알면 뭐라고 생각하겠냐?고 항의했을 때에 힐베르트의 답변이 걸작이다.

나는 그녀의 성별이 사강사 임용에 왜 문제가 되는지 이해할 수 없다. 이곳은 대학교지 목욕탕이 아니지 않은가?

독일의 여성 수학자이자 이론 물리학자인 에미 뇌터가 증명한 정리.

어떠한 계에 연속적인 대칭성이 있으면, 대응되는 보존되는 물리량이 존재한다.　

뇌터 정리를 가장 알기 쉽게(?) 풀어 쓴 것이 위의 문장이다.[1] 과학을 배우며 알게 되는 상당수의 보존법칙들(에너지 보존, 운동량 보존, 각운동량 보존 등)은 굳이 대칭성으로부터 출발하지 않고도 하나하나 유도할 수 있기 때문에 굳이 이러한 식으로 쓸데없이 어려워 보이게 기술하는 게 큰 의미가 있는지 의문을 가질 수도 있다.

그러나 아래에서 볼 수 있듯이 뇌터 정리의 진정한 파워는 양자역학이나, 입자이론, 장이론 등에서 등장하는 대칭성에 이를 적용하였을 때 발휘된다.

다음은 고전적인 계가 가지는 각각의 대칭성에 따라 유도되는 보존법칙의 리스트이다.

계의 특징	라그랑지언의 성질	보존량
시간 이동 대칭	시간 변화에 불변[2]	에너지
공간 이동 대칭	위치 변화에 불변[3]	운동량
공간 회전 대칭	회전에 대해 불변	각운동량

이번에는 그 반대의 경우, 즉 대칭성이 있는지는 아직 모르지만 무언가 보존되는 것이 있다는 것은 아는 경우를 생각해 보자.

모든 보존량에 대해 그에 해당하는 대칭성이 존재할까? 전하 보존과 같은 법칙은 얼핏 생각해서는 관련된 특별한 대칭성이 바로 떠오르지 않을 수도 있다.

그러나 무언가의 대칭성이 있을 것이라고 생각하고 연구를 지속한 물리학자들은 전자기 퍼텐셜의 글로벌 게이지 대칭이 전하 보존을 이끌어낸다는 것을 밝혀 낼 수 있었다.

더 나아가서 전하를 가진 각 입자들의 양자장의 글로벌 게이지 대칭을 고려하면 각 입자별 전하 보존이라는 더 강한 보존 법칙도 생각할 수 있다.[4]

더 깊이 들어가다 보면, 아예 얼핏 봐선 존재하지 않는 것처럼 보이는 국소적 게이지 대칭이 존재해야 한다고 주장하는 것으로부터 자연계에 존재하는 힘의 근원인 게이지 장과 그것의 양자화된 형태인 게이지 입자의 존재를 예측하고, 그 힘이 어떤 형태로 작용해야만 하는지를 알아낼 수 있다.

2. 쉬운 설명

예를 들어 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">m</span>}$ m 이라는 질량을 가지고 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">v</span>}$ v 라는 속도로 움직이고 있는 물체가 있다고 하자.

정지해 있는 좌표계에 위치한 관찰자가 보았을 때 이 물체가 가지는 운동량은 얼마인가?

당연히 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">p</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">m</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">v</span>}$ p = mv 이다. 그렇다면 이 관찰자가 좌표계에서 우측으로 5미터만큼 움직였다고 가정하자.

 이 상태에서 관찰자가 측정할 수 있는 물체의 운동량은 아까와 동일한 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">m</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">v</span>}$ mv 이다.

이것을 일반화시키면 관찰자가 이 좌표계에서 임의의 거리만큼 움직여도 이 물체의 운동량은 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">m</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">v</span>}$ mv 로 불변함을 알 수 있다.

위에 서술한 공간 이동 대칭이 운동량을 보존한다는 말은 이 예시를 일반화시킨 말이다.

한 마디로 공간에서 이동하는 위치들이 동일할 때에는 그 운동량이 보존된다는 것.

 공간 회전 대칭에 대해서도 비슷한 정리가 성립하는데, 같은 원리로 이 경우에는 선운동량이 아닌 각운동량이 보존된다.

3. 간단한 예

한 입자의 라그랑지언이 직교좌표계에서 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">y</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">z</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">y</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">z</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>$ L = L \left(x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, \dot{z} \right) 로 표현되었다고 하자. 그리고 이 입자에 작용하는 퍼텐셜이 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">y</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">z</span>}$ y, z 만의 함수라고 하자. 이 경우 퍼텐셜의 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}$ x 방향 미분이 0이이므로 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}$ x 방향으로는 힘이 작용하지 않을 것이고, 결과적으로 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}$ x 방향의 운동량 ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}}$ p_x 가 보존된다는 것을 쉽게 알 수 있다. 좀 더 포멀한 수식으로 설명하면,

${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}}}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}{\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">p</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">d</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">d</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">t</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">0</span>}}$ \displaystyle p_x = {\partial L \over \partial \dot{x}} \ \ \ \ \ \ \dot{p}_x = {d \over dt} \left( {\partial L \over \partial \dot{x}} \right) = {\partial L \over \partial x} = 0

중간에 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}$ x 방향의 라그랑지언 운동방정식을 사용하였다. 결국 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}$ x 방향 운동량의 시간미분이 0이므로, 그 운동량이 보존량임이 증명되었다. 훨씬 더 일반화된 경우의 증명은 다음 섹션에 있다.

 

 

4. 뇌터 정리의 일반화된 증명

어떠한 고전적인 계의 라그랑지언이 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">1</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">\dots </span><span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>{\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">1</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>{\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">\dots </span><span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>$ L = L \left(q_1, q_2, \ldots, \dot{q}_1, \dot{q}_2, \ldots \right) 와 같이 일반 좌표계의 함수로 씌여진다고 하고, 그 계의 라그랑지언이 아래 식과 같은 작은 수 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">ϵ</span>}$ \epsilon 의 1차 오더의 좌표 변환에 대해 불변이었다고 가정하자.

${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">ϵ</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">K</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">1</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">\dots </span><span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>}$ \displaystyle q_i = q_i + \epsilon K_i \left(q_1, q_2, \ldots \right)

여기에서의 ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">K</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">1</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">\dots </span><span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>$ K_i \left(q_1, q_2, \ldots \right) 가 각 대칭성을 표현하는 함수이다. 라그랑지언이 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">ϵ</span>}$ \epsilon 의 1차 오더의 변환에 대해 불변이라는 것으로부터 다음과 같은 식을 쓸 수 있다.

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">0</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">d</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">d</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">ϵ</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span>}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">ϵ</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">+</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}{\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}{\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">ϵ</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span>}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">K</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">+</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}{\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}{\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">K</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>}$ \displaystyle 0 = {dL \over d\epsilon} = \sum_i \left( {\partial L \over \partial q_i} \ {\partial q_i \over \partial \epsilon} + {\partial L \over \partial \dot{q}_i} \ {\partial \dot{q}_i \over \partial \epsilon} \right) = \sum_i \left( {\partial L \over \partial q_i} K_i + {\partial L \over \partial \dot{q}_i} \ \dot{K}_i \right)

라그랑지언 운동방정식을 사용하면

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">0</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span>}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">K</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">d</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">d</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">t</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}{\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">+</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}{\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}{\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">K</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">d</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">d</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">t</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span>}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}{\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">K</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>}$ \displaystyle 0 = \sum_i \left( K_i {d \over dt} \left( {\partial L \over \partial \dot{q}_i} \right)+ {\partial L \over \partial \dot{q}_i} \ \dot{K}_i \right) = {d \over dt} \left( \sum_i {\partial L \over \partial \dot{q}_i} K_i \right)

즉, 시간미분해서 0이 되는 다음의 물리량이 바로 보존되는 무언가이다.

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">P</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">1</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">\dots </span><span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>{\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">1</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>{\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">\dots </span><span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span>}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}{\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">K</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span>}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}{\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">p</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">K</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">1</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">\dots </span><span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>{\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">1</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>{\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">q</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">\dots </span><span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>}$ \displaystyle P \left(q_1, q_2, \ldots, \dot{q}_1, \dot{q}_2, \ldots \right) = \sum_i {\partial L \over \partial \dot{q}_i} K_i = \sum_i \dot{p}_i K_i \left(q_1, q_2, \ldots, \dot{q}_1, \dot{q}_2, \ldots \right)

이렇게 일반화된 형태로 쓰면 끝까지 유도하고 나서도 이게 무엇을 의미하는지 이해하기 힘든데, 아주 간단한 경우로 ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">K</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">1</span>}}$ K_1 이 상수함수이고 ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">K</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">K</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">3</span>}}$ K_2, K_3 등등이 전부 0인 경우를 생각해 보면, ${\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">p</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">1</span>}}$ \dot{p}_1 , 즉 일반 좌표계 1번 방향의 일반화 운동량이 보존되는 양임을 알 수 있다.

5. 장이론에서의 뇌터 정리

자, 이제 장이론에 뇌터 정리가 어떻게 적용되는지 상대론적인 텐서 포말리즘을 동원하여 유도해 보자. 어떠한 장 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>$ \phi \left( x \right) 가 라그랑지언 밀도 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>$ L \left( \phi, \partial_\mu \phi \right) 를 결정하는 경우를 생각해 보자. 이러한 장의 라그랑지언을 아래 식과 같은 작은 수 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\alpha </span>}$ \alpha 의 1차 오더로 변환하여 보자.

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">\to </span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\prime </span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\alpha </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\Delta </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>}$ \displaystyle \phi \left( x \right) \rightarrow \phi^\prime \left( x \right) = \phi \left( x \right) + \alpha \Delta \phi \left( x \right)

여기에서의 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\alpha </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\Delta </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>$ \alpha \Delta \phi \left( x \right) 가 장의 변화량을 나타낸다. 이러한 장의 변화를 대칭성이라고 부르려면 운동방정식이 이 변화에 무관하게 일정하여야 하는데, 만약 액션이 불변이라면 액션으로부터 유도되는 운동방정식은 당연히 불변일 것이다. 더 일반적으로는 라그랑지언 밀도를 적분하는 부피의 표면항 만큼만 액션이 변화하는 것까지는 허용할 수 있다. 즉, 위에 주어진 장의 변화에 대해 어떠한 사차원 벡터(4-vector) ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">J</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>$ J^\mu \left( x \right) 가 존재해서 다음과 같은 형태로 라그랑지언을 쓸 수 있다면 대칭성이 존재하는 것이다.

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">S</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">\int </span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">d</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">4</span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">,</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">\to </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\alpha </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\Delta </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\alpha </span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">J</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}}$ \displaystyle S = \int d^4 x L \left( \phi, \partial_\mu \phi \right) \ \ \ \ \ \ L \rightarrow L + \alpha \Delta L = L + \alpha \partial_\mu J^\mu

실제로 장의 변화에 수반되는 라그랑지언의 변화를 계산하여 보자.

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\alpha </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\delta </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\alpha </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\Delta </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">+</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\alpha </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\Delta </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\alpha </span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\Delta </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\alpha </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">-</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\Delta </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}}$ \displaystyle \alpha \delta L = {\partial L \over \partial \phi} \left( \alpha \Delta \phi \right) + {\partial L \over \partial \left(\partial_\mu \phi \right)} \partial_\mu \left( \alpha \Delta \phi \right) = \alpha \partial_\mu \left( {\partial L \over \partial \left(\partial_\mu \phi \right)} \Delta \phi \right) + \alpha \left( {\partial L \over \partial \phi} - \partial_\mu {\partial L \over \partial \left(\partial_\mu \phi \right)} \right) \Delta \phi

마지막 등식의 두번째 항은 오일러-라그랑주 방정식으로부터 0이 되고, 첫번째 항이 바로 위에서 언급한 액션의 표면항의 변화이다. 이 항이 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\alpha </span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">J</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>$\alpha \partial_\mu J^\mu \left( x \right) 와 같아야 하므로,

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\alpha </span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\Delta </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\alpha </span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">J</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">0</span>}}$ \displaystyle \alpha \partial_\mu \left({\partial L \over \partial \left(\partial_\mu \phi \right)} \Delta \phi \right) - \alpha \partial_\mu J^\mu \left( x \right) = 0

임을 알 수 있고, 다음과 같이 뇌터 전류를 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">j</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span><span\; style="font-size:\; 12pt;">\equiv </span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">L</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\Delta </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\varphi </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">-</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">J</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">)</span>\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}\text{<span style="font-size: 12pt;"> </span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">j</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">0</span>}}$ \displaystyle j^\mu \left( x \right) \equiv {\partial L \over \partial \left(\partial_\mu \phi \right)} \Delta \phi - J^\mu \left( x \right) \ \ \ \ \ \ \partial_\mu j^\mu = 0

보다 일반적으로 하나 이상의 필드가 이 대칭성에 관여하는 경우엔, 위 식의 첫번째 항을 각 필드 방향별로 합한 것으로 대체하여야 할 것이다. 오른쪽 등식은 사차원 벡터의 0번째 항을 전류밀도 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\rho </span>}$ \rho 로 표현했을 때, $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\rho </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">/</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\partial </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">t</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\nabla </span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">\cdot </span>\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">⃗</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">j</span>}}<span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">0</span>}$ \partial \rho / \partial t + \nabla \cdot \vec{j} = 0 과 같은 형태의 연속방정식이다. 이와 같이 라그랑지언의 연속적인 대칭성이 있을 때마다 하나의 보존법칙을 유도할 수 있다. 실제적으로는 위에서 정의한 ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">j</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\mu </span>}}$ j^\mu 에 적절한 상수를 곱해 우리가 잘 알고 있는 물리량이 되도록 적절히 맞춰주게 된다.

이 사차원 벡터의 0번째 항이 전하밀도의 역할을 하므로, 실제로 보존되는 전하는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">Q</span>}<span\; style="font-size:\; 12pt;">=</span>{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\int </span>}_{\text{<span style="font-size: 12pt;">all space</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">j</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">0</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">d</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">3</span>}}\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">⃗</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}}}$ \displaystyle Q = \int_{\text {all space}} j^0 d^3 \vec{x}

사차원 벡터의 남은 세 방향의 성분이 이러한 전하의 흐름을 표현하는 전류 벡터 $\stackrel{<span\; style="font-size:\; 12pt;">⃗</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">j</span>}}$ \vec{j} 가 된다.

높은 레벨의 장이론에서는 디랙 장의 글로벌 게이지 대칭에 따른 뇌터 전류로 전하의 본질을 설명하며, 고전역학과 일반상대론 등에서 유용하게 쓰는 에너지-운동량 텐서가 바로 시공간의 대칭으로부터 얻어지는 뇌터 전류를 텐서 형태로 일반화한 결과이다.[5]