현대 대수학 금요세미나 갈루아이론7번

[만이할수있다]

질문1) 기약임을 보일때 “갈루아군이 해집합에 추이적으로 작용한다” 와 필충임을 이용하였는데, 이 의미를 잘 모르겠습니다..
질문2) f가 서로 다른 근을 가지므로 분리가능하다 아닌가용..?
분해가능은 중근이어도 상관없지 않나요??
감사합니다.

[신선물고기]

추이적으로 작용한다는 말은 해집합이 궤도가 된다는 말입니다. 기약다항식이 분해가능이라 함은 그 분해체에서 중근을 아니가짐을 말합니다.

[만이할수있다]

질문1) 궤도 개념을 잘 모르겠어서 비슷한 내용이 있는지 찾아봤습니다..기본서 연습문제인데 이 내용이 기약일때 갈루아군이 해집합에 추이적으로 작용한다는 내용과 같나요??
그 반대 방향인 기약임을 보이는 증명이 궁금합니다..

[만이할수있다]

질문2)정의에는 중복도 개념이 없는 것 같아 질문드립니다..!

[만이할수있다]

[신선물고기]

저건 분해된다고요. 문제에서는 분해가능 separable 한지 보이라고 했습니다.

[신선물고기]

사진의 책에서는 분해기능을 분리가능으로 쓴 것으로 보입니다.

[만이할수있다]

아아 용어차이군요.. 감사합니다.😀

[신선물고기]

사진에 있는 내용은 좀 다른거구요. 그러니깐.. 해집합의 우ㅏㄴ소를 하나 잡아요. 거기다가 갈루아군의 원소를 쭉 가하면 켤레근이 쭉 나오겠죠? 그게 다 나올수도 있고 일부만 나올수도 있는데. 기약이면 다 나오고 또 디 나오면 기약이다. 그말이에요.

[만이할수있다]

해집합이 1,2번 중 어떤거 말씀하시는걸까요??

[신선물고기]

해집합이 1번과 같을 때 기약이라는 거에요.

[만이할수있다]

아하..이제 좀 알것같아요ㅎㅎ.. 감사합니다!!

[만이할수있다]

교수님 다시 살펴보니 프로비니우스 사상 하나로 거듭연산해서 해집합을 얻었으니
위에 제가 적은 1번이 아니라 2번에 해당되지 않나요??? ㅠ

[신선물고기]

2번에서 sigma 가 뭐라고 가정하셨는데요?

[신선물고기]

프로베니우스 사상은 유한체에서 이야기할 수 있어요. 표수0인 확대체는 해당사항 없구요~

[만이할수있다]

시그마는 그냥 갈루아군의 임의의 원소라고 두었어요!

기약임을 보일때 갈루아군이 해집합에 추이적으로 작용한다는 것을 적어보았는데 맞나요??

[만이할수있다]

근데 이내용은 갈루아군의 모든 원소로 해집합을 만든거고,
풀이에서는 프로비니우스 사상 하나를 이용해서 해집합을 만들어서 혼동이옵니다,, ㅜ

[신선물고기]

아무거나 잡으신거 같아서 2번은 아니라고 했던거구요!
사진은 맞아요! 단. 우리 분해가능확대만 이야기 합시다!

[신선물고기]

유한체의 유한확대체의 갈루아군은 프로베니우스 사상에 의해서 생성됩니다.

[신선물고기]

유한체의 유한확대체의 경우에는 갈루아군이 무조건 순환군이구요. 생성원소는 베이스 체가 소체일 때는 프로베니우스 사상이고 그렇지 않아도 프로베니우스 사상의 적당한 거듭제곱이 생성원소가 되기 때문에 궤도를 sigma^j(a), j=0,1,2,.... 꼴로 표현이 가능한겁니다. 일반적으로는 sigma_j(a), j=1,2,3..... 이렇게 일일이 나열을 해야하는 거구요.

[만이할수있다]

와….🥺 궁금증 완전 해소됐어요..
정리하면 유한체의 유한확대일때는
1번 2번이 결국 같은 집합인거죠?!?! (2번 프로비니우스사상)

[신선물고기]

네. 단 깔린게 소체일때요!

[만이할수있다]

감사합니다. 복받으세요😃😃