Re:벡터해석을 이용한 정량적 증명.

[성은]

등속원운동은 가속운동이다의 정량적 증명입니다.(평면상에서)

등속원운동에선 접선속력이 v 라면 v는 항상일정합니다.

또 등속원운동에선 반지름 r 이 일정합니다.

그런데 접선속도 v는 항상 일정하지 않습니다(방향이 변하므로)

또 중심에서 입자까지의 변위벡터 r은 항상 일정하지 않습니다.(방향이 변하므로)

이제부터 수학적으로 나갑니다.-_-;;

r*r = r²= 상수(*는 내적기호)

v*v = v²=상수

위 두식을 시간에 대해서 미분합니다.

2(r*v)= 0

∴ r*v = 0 (이식의 의미는 r과 v가 수직이다는것!)

2(v*a)= 0

∴ v*a = 0 (이식의 의미는 v과 a가 수직이다는것!)

위에서 r과 a가 평행하다 라는 것 이 증명되었습니다^^;

r*v =0 의 양변을 시간에 대해서 미분합니다.

v*v + r*a = 0

r*a = -v²

그런데 r*a = |r||a|cos@ = -v²이므로, cos@ = -1 이며 @ = 180도 입니다.

따라서 a는 r 과 반대방향으로 향하며 r과 평행합니다.

즉, -|r||a|= -v²이므로,

a = v²/r 이되는것입니다.

결론 : 등속원운동은 v,r이 0 이 아닌운동이므로, 등속원운동은 가속운동입니다.

p.s

따라서, 정량적으로 등속원운동에서 a = v²/r 란것만 알아내면 등속원운동이 가속 운동이라는것의 증명법이 됩니다.

근데 이 벡터해석법 증명법의 장점으론, 그림이 전혀 필요 없다는 점과(기하학을 이용하지 않으므로) 기본가정이 등속원운동(평면에서)이란것 뿐에서 a = v²/r 이란 관계를 유도해 냈다는 것입니다^^*

정성적인 증명으론, 속도의 크기는 일정하지만 짧은시간에 방향이 변하므로, 이 짧은 시간동안의 속도의 변화량이 가속도를 생성시킵니다.

뭐..윗글의 꼬리말과 똑같은 말이죠^^;;

[성은]

저도 이 증명 처음 봤을때 정말 신선했었죠..ㅎㅎ 참고로 보아스 수리물리학에 있는 내용입니다.^^

[Nemesis]

엥??..증명되잖암..ㅡㅡ;; 솔직히 물리에서 진리는 다 증명이 될꺼라 생각됬는데..답글보고 실망했었거든요..근뎅 성은님께서 살려주셨네요..ㄳ^^

[밥한숟갈]

좋은걸 배웠네요 역시 수학이 말보다는 훨씬 분명한것 같네요