푸리에 변환의 유도과정에 대해 질문드립니다.

[참붕어빵10개]

안녕하세요, 강사님. 

푸리에변환을 학교에서 배우지 않은 상태로 들어와, 무작정 외우려니 다른 내용과 연계가 잘 안되는 것 같아 유도과정을 조금 공부하고 있습니다. 

그러나 유도과정에서 의문점이 들어 질문드리고 싶습니다. 

아래 사진이 기본서의 용어에 가능한 만큼 맞춰 유도해본 것입니다. kreyszig 11절은 책의 표현과 많이 다른 것 같아 아래 블로그를 주로 참고했습니다. 

https://kwon-jjing.tistory.com/m/32 

1. 먼저 푸리에 급수에서, 공학수학에서의 일반적인 설명은 경계값을 반주기의 +-로 놓고 시작하는 것으로 이해했습니다. 

기본서에서는 0 ~ 주기로 놓고 전개를 시작하는데요, 이는 회로이론에서 t = 0 이전의 상태는 잘 생각하지 않기에 관습적으로 이를 따른 것이라고 이해해도 될까요? 

2. '1.'과 연결지어, 푸리에 급수의 가정 중 하나가 주기 내에서 piecewise continuous이고 함수가 계속 반복되니, 

구간의 길이만 주기의 크기로 맞춰준다면 경계값은 큰 의미가 없으므로, 

우함수 / 기함수 등의 특수한 풀이 방법을 사용하는 경우가 아니라면,

경계값은 반주기의 +-나 0 ~ 주기로 상황에 맞게 설정할 수 있다고 이해해도 될까요? 

3. 위 사진의 붉은색 1과 2에서 T를 무한대로 보내었는데요, n과의 관계가 잘 이해되지 않습니다. 

i) 급수표현의 변수는 n인데 이것이 T를 보내었을 때 w에 관한 함수의 경계값이 되는 것과, 

ii) T를 보내었는데 변수 / 함수의 아랫첨자 n이 자연스럽게 처리되는 것, 

iii) T를 보내기 전의 f(t)와 보낸 후의 f(t)가 동등하게 처리되는 것, 

iv) w가 n과 T의 두 변수로 이루어져 있는데 이는 왜 별 영향을 받지 않는 것처럼 보이는지가 궁금합니다. 

4. 모든 과정에서 허수 j는 단지 앞선 오일러 공식의 부산물로써 남아있을 뿐인데요, 이를 굳이 푸리에 변환의 변수로 포함시키는지가 궁금합니다. 

j가 w와 기원이 같아 그렇게 묶어도 되는 것이 납득은 가지만, 굳이 묶는 이유를 간단히 여쭙고 싶습니다. 

혹시 잘못된 유도과정을 거쳤거나, 다른 책에 소개된 것이라면, 조금만 짚어주시면 다시 확인해보겠습니다. 

질문이 너무 많아 죄송합니다. 천천히 답변해주시면 정말 감사드리겠습니다.