완비공간입니다.

[알아가 모할라꼬!!]

제가 수업시간에 딴짓을 한다고 잘 못들은것입니다.

맞는지 확인 좀 해주세요.

1. 거리공간 X의 모든 수렴하는 수열은 Cauchy수열이다.
그러나 역은 항상 성립하지 않는다.

2. 집합 Y가 집합 X의 부분집합일때, {x}n이 X에서 코시수열이면, Y에서도 코시수열이다.

3. let X=(0,1) and, d(x,y)= │x-y│, The sequence {1/n}n is a Cauchy sequence in this space. <-- 여기서 수열 {1/n}n이 코시라는 것을 어떻게 금방 알 수가 있나요??

[선인장]

1은 맞구요, 단 X=R(실수공간)이면 역도 성립합니다. 3은 즉 {1/n}은 0으로 수렴 합니다. 하지만 0은 (0,1)에 없으므로 (0,1)은 완비공간이 않됩니다. 코시수열임을 알기위해서는 정의를 자세히 보세요(죄송 ~)

[선인장]

2번은 아닙니다. 역은 성립합니다. 반례로 X=Q, Y=N을 생각하면 되겠죠.

[알아가 모할라꼬!!]

{1/n}이 코시수열이이라는것을 딱 보고는 알 수 없죠??

[알아가 모할라꼬!!]

2번 반례가 잘 이해가 안 되는데요..ㅠ.ㅠ

[선인장]

{1/n}은 {유리수}에서는 코시수열이죠, 아주 큰 두 m, n에 대하여 수열 1/n과 1/m은 아주 가깝 습니다. 하지만 N에서는 코시수열이 아닙니다.

[알아가 모할라꼬!!]

맞네요~~ㅎㅎ 감사감사~~^^