수학과 수학의 역사적 변천

[dhleepaul]

수학의 역사

수학의 역사

수학은 경험과학과 수학 자체의 필요에 맞게 개발되고 입증된 방법, 이론, 정리를 발견하고 정리하는 학문 분야입니다. 수학에는 수론(수학 연구), 대수학(공식 및 관련 구조 연구), 기하학(이들을 포함하는 도형과 공간 연구), 해석학(연속 변화 연구), 집합론(현재 모든 수학의 기초로 사용됨) 등 다양한 분야가 있습니다.

수학은 자연에서 추상화된 것이나—현대 수학에서는 특정 성질을 가지도록 규정된 추상적 실체, 즉 공리—로 구성된 추상적 객체를 기술하고 조작하는 것을 포함한다. 수학은 순수 이성을 사용하여 이미 확립된 결과에 연역적 규칙을 연속적으로 적용하는 증명을 통해 객체의 성질을 증명합니다. 이 결과들은 정리라고 불리며, 이전에 증명된 정리, 공리, 그리고 자연에서 추상화한 경우에는 고려 중인 이론의 진정한 출발점으로 간주되는 기본 성질들을 포함한다. [1]

수학은 자연과학, 공학, 의학, 금융, 컴퓨터 과학, 사회과학 분야에서 필수적입니다. 수학은 현상을 모델링하는 데 광범위하게 사용되지만, 수학의 근본 진리는 어떤 과학적 실험과도 독립적입니다. 통계학과 게임 이론과 같은 일부 수학 분야는 그 응용과 밀접하게 연관되어 발전하며, 종종 응용수학 범주에 속합니다. 다른 분야들은 어떤 응용과도 독립적으로 개발되어(따라서 순수 수학이라고 불리지만), 종종 나중에 실용적으로 응용됩니다. [2][3]

역사적으로 증명과 그에 따른 수학적 엄밀함의 개념은 그리스 수학에서 처음 등장했으며, 특히 유클리드의 『원론』에서 두드러지게 나타났다. [4] 수학은 시작된 이래로 주로 기하학과 산술(자연수와 분수의 조작)으로 나뉘었으나, 16세기와 17세기에 대수학[a]과 무한소 미적분학이 새로운 분야로 도입되었다. 그 이후로 수학적 혁신과 과학적 발견 간의 상호작용은 두 분야의 발전을 상관없이 증가시켰습니다. [5] 19세기 말, 수학의 기초적 위기는 공리적 방법의 체계화로 이어졌으며,[6] 이는 수학 분야와 그 적용 분야의 극적인 증가를 예고했다. 현대 수학 과목 분류에는 60개 이상의 1차 수준 수학 영역이 나열되어 있습니다. [7][8]

수학 분야

르네상스 이전에는 수학이 두 가지 주요 분야로 나뉘었는데, 산술은 숫자 조작을 다루고, 기하학은 도형 연구를 다루었다. [9] 수비학과 점성술과 같은 일부 유사과학은 당시 수학과 명확히 구분되지 않았다. [10]

르네상스 시대에는 두 개의 지역이 더 등장했습니다. 수학적 표기법은 대수학으로 이어졌는데, 대략적으로 말하면 공식의 연구와 조작을 포함한다. 미적분학은 미분적분학과 적분미적분학이라는 두 하위 분야로 구성되며, 변수로 표현되는 다양한 양 간의 비선형 관계를 모델링하는 연속 함수를 연구합니다. 이 네 가지 주요 분야인 산수, 기하학, 대수학, 미적분학[11]으로 나누어진 세분은 19세기 말까지 지속되었다. 천체역학과 고체역학 같은 분야는 당시 수학자들에 의해 연구되었으나, 현재는 물리학에 속하는 것으로 간주된다. [12] 조합론이라는 주제는 기록된 역사 대부분에서 연구되어 왔지만, 17세기에 이르러서야 별도의 수학 분야가 되었습니다. [13]

19세기 말, 수학의 기초적 위기와 그에 따른 공리적 방법의 체계화는 새로운 수학 분야들의 폭발적인 성장을 이끌었다. [14][6] 2020년 수학 과목 분류에는 최소 63개의 1급 영역이 포함되어 있습니다. [8] 이 중 일부는 수론(현대 산술의 명칭)과 기하학과 마찬가지로 오래된 나눗셈과 일치합니다. 다른 1단계 영역들도 이름에 '기하학'이 포함되어 있거나 일반적으로 기하학의 일부로 간주됩니다. 대수학과 미적분학은 1차 영역으로 나타나지 않고 각각 여러 1단계 영역으로 나뉩니다. 20세기에 등장하거나 이전에 수학으로 간주되지 않았던 다른 1차 수준 분야들, 예를 들어 수리논리학과 기초학도 있습니다. [7]

수론

주요 문서: 정수론

이것이 소수의 분포를 보여주는 울람 나선입니다. 나선형의 어두운 대각선은 소수와 이차 다항식의 값 사이의 가설적 근사적 독립성을 암시하는데, 이 추측은 현재 하디와 리틀우드의 추측 F로 알려져 있다.

수론은 수, 즉 자연수의 조작에서 시작되었습니다 (N),

 이후 정수로 확장되었습니다 (Z)

 그리고 유리수 (Q).

 수론은 한때 산술이라고 불렸지만, 오늘날에는 주로 수치 계산에 이 용어가 사용됩니다. [15] 수론은 고대 바빌론, 아마도 중국까지 거슬러 올라갑니다. 초기 두 명의 저명한 수론가로는 고대 그리스의 유클리드와 알렉산드리아의 디오판토스가 있다. [16] 현대의 수론 추상 연구는 주로 피에르 드 페르마와 레온하르트 오일러에게 귀속된다. 이 출전장은 아드리앙-마리 르장드르와 칼 프리드리히 가우스의 기여로 완전히 결실을 맺었습니다. [17]

쉽게 말할 수 있는 많은 수 문제들은 종종 수학 전반에 걸친 정교한 방법을 필요로 합니다. 대표적인 예가 페르마의 마지막 정리이다. 이 추측은 1637년 피에르 드 페르마에 의해 제기되었으나, 1994년에야 앤드류 와일스가 대수기하학의 스킴 이론, 범주론, 호몰로지 대수 등의 도구를 사용해 증명했다. [18] 또 다른 예는 골드바흐 추측으로, 2보다 큰 짝수 크기는 두 소수의 합임을 주장한다. 1742년 크리스티안 골드바흐가 언급했으나, 상당한 노력에도 불구하고 아직 입증되지 않았다. [19]

수론은 해석적 수론, 대수적 수론, 수 기하학(방법 중심), 디오판틴 해석학, 그리고 초월론(문제 중심)을 포함한 여러 하위 분야를 포함합니다. [7]

기하학

주요 문서: 기하학

구의 표면에서는 유클리드 기하학이 국소적 근사로만 적용됩니다. 더 큰 규모의 경우 삼각형의 각도 합은 180°가 되지 않습니다.

기하학은 수학에서 가장 오래된 분야 중 하나입니다. 이 분야는 주로 측량과 건축의 필요를 위해 개발된 선, 각도, 원 같은 형태에 관한 경험적 레시피에서 시작되었으나, 이후 여러 하위 분야로 확산되었습니다. [20]

근본적인 혁신은 고대 그리스인들이 모든 주장을 증명해야 한다는 증명 개념을 도입한 것이다. 예를 들어, 예를 들어 두 길이가 같다는 것을 측정으로 검증하는 것만으로는 충분하지 않습니다; 이들의 동등성은 이전에 받아들여진 결과(정리)와 몇 가지 기본 명제를 통해 추론을 통해 증명되어야 한다. 기본 명제들은 자명(공리)이기 때문에 증명 대상이 아니며(공리), 연구 주제의 정의에 포함되어 있습니다. 이 원리는 모든 수학의 기초가 되었으며, 기하학을 위해 처음 발전되었고, 기원전 300년경 유클리드가 그의 저서 『원론』에서 체계화했다. [21][22]

그 결과 유클리드 기하학은 유클리드 평면(평면 기하학)과 3차원 유클리드 공간 내에서 선, 평면, 원으로 구성된 도형과 그 배열을 연구하는 것이다. [b][20]

유클리드 기하학은 17세기까지 방법이나 범위에 변화 없이 발전했으며, 그 해에 르네 데카르트가 현재 데카르트 좌표라고 불리는 것을 도입했다. 이는 패러다임의 큰 변화를 의미했다: 실수를 선분의 길이로 정의하는 대신(수직선 참조) 점들을 좌표, 즉 숫자로 표현할 수 있게 되었다. 따라서 대수학(그리고 이후에는 미적분학)을 기하학 문제를 푸는 데 사용될 수 있습니다. 기하학은 순수 기하학적 방법을 사용하는 합성기하학과 좌표를 체계적으로 사용하는 해석기하학 두 개의 새로운 하위 분야로 나뉘었습니다. [23]

해석기하학은 원과 선과 관련 없는 곡선을 연구할 수 있게 해줍니다. 이러한 곡선은 함수들의 그래프로 정의할 수 있으며, 이 그래프에 대한 연구는 미분기하학으로 이어졌다. 또한 암묵적인 방정식으로도 정의할 수 있으며, 종종 다항식 방정식으로도 정의될 수 있는데, 이는 대수기하학을 낳은 것이다. 해석기하학은 또한 3차원보다 높은 유클리드 공간을 고려할 수 있게 한다. [20]

19세기에 수학자들은 평행 공리를 따르지 않는 비유클리드 기하학을 발견했다. 이 가설의 진리성을 의심함으로써, 이 발견은 러셀의 역설과 함께 수학의 근본적 위기를 드러내는 것으로 여겨졌다. 이 위기의 측면은 공리적 방법을 체계화하고, 선택된 공리들의 진리가 수학적 문제가 아니라는 점을 채택함으로써 해결되었다. [24][6] 다시 말해, 공리적 방법은 공리를 변경하거나 특정 공간 변환 하에서 변하지 않는 성질을 고려함으로써 얻어진 다양한 기하학을 연구할 수 있게 한다. [25]

오늘날 기하학의 하위 분야는 다음과 같습니다:[7]

• 사영 기하학은 16세기 지라르 드자르그에 의해 도입되었으며, 평행선들이 만나는 무한대의 점을 추가하여 유클리드 기하학을 확장한다. 이로 인해 교차선과 평행선에 대한 처리가 통합되어 고전 기하학의 많은 측면이 단순화됩니다.
• 아핀 기하학은 평행성과 관련된 성질을 연구하며 길이 개념과는 무관합니다.
• 미분기하학은 미분 함수를 사용하여 정의되는 곡선, 곡면 및 그 일반화를 연구하는 학문입니다.
• 다양체 이론, 반드시 더 큰 공간에 내재되어 있지 않은 형태를 연구하는 학문입니다.
• 리만 기하학, 곡선 공간에서의 거리 성질을 연구하는 학문.
• 대수기하학은 곡선, 곡면 및 그 일반화를 연구하며, 이는 다항식을 사용하여 정의됩니다.
• 위상수학은 연속 변형 하에 유지되는 성질을 연구하는 학문입니다.
  • 대수적 위상수학은 주로 호몰로지 대수학 등 대수적 방법의 위상수학적 활용이다.
• 이산 기하학, 기하학에서 유한 구성에 대한 연구.
• 볼록 기하학은 볼록 집합을 연구하는 학문으로, 최적화에 응용되어 중요성을 얻습니다.
• 복소 기하학은 실수를 복소수로 대체하여 얻은 기하학입니다.

대수학

주요 문서: 대수학

모든 이차 방정식의 해를 간결하게 표현하는 2차 공식입니다

루빅스 큐브 군은 군론의 구체적인 응용입니다. [26]

대수학은 방정식과 공식을 조작하는 기술입니다. 디오판토스(3세기)와 알-흐와리즈미(9세기)는 대수학의 두 주요 선구자였다. [27][28] 디오판투스는 새로운 관계를 추론하여 미지의 자연수 방정식들을 해결하여 해를 얻었다. [29] 알-흐와리즈미는 방정식의 한쪽에서 다른 쪽으로 항을 이동시키는 등 방정식 변환을 위한 체계적인 방법을 도입했다. [30] 대수학이라는 용어는 그가 주요 논문 제목에 사용한 아랍어 단어 알-자브르(al-jabr)에서 유래했으며, 이는 '부서진 부분들의 재결합'을 의미한다. [31][32]

대수학은 프랑수아 비에트(1540–1603)가 알려지지 않았거나 불특정 수를 나타내는 변수를 도입하면서 독립적인 분야가 되었다. [33] 변수는 수학자들이 수학적 공식으로 표현된 숫자에 대해 수행해야 하는 연산을 설명할 수 있게 해줍니다. [34]

19세기까지 대수는 주로 선형 방정식(현재의 선형대수)과 단일 미지수 형태의 다항식 방정식을 연구하는 것이었으며, 이를 대수 방정식이라고 불렀다(이 용어는 현재도 사용되고 있으나 모호할 수 있다). 19세기 동안 수학자들은 숫자 이외의 것들(행렬, 모듈 정수, 기하학적 변환 등)을 나타내기 위해 변수를 사용하기 시작했으며, 이들에 따라 산술 연산의 일반화가 종종 유효하다. [35] 대수적 구조 개념은 이 문제를 다루는데, 원소가 명시되지 않은 집합, 그 집합의 원소에 작용하는 연산, 그리고 이 연산들이 따라야 할 규칙들로 구성됩니다. 대수학의 범위는 대수 구조 연구까지 확장되었다. 이 대수학의 대상은 에미 노터의 영향과 연구로 확립된 현대대수 또는 추상대수라고 불렸으며,반 더 바에르덴의 저서 『모던 대수학』으로 대중화되었다.

일부 대수 구조 유형은 수학의 여러 분야에서 유용하고 종종 근본적인 성질을 가진다. 그들의 연구는 대수학의 자율적인 부분이 되었으며, 다음과 같습니다:[7]

• 군론
• 장 이론
• 벡터 공간으로, 이 연구는 본질적으로 선형대수와 동일하다
• 환 이론
• 가환대수학은 가환환을 연구하는 학문으로, 다항식의 연구를 포함하며, 대수기하학의 기초적인 부분입니다
• 호몰로지 대수
• 리 대수와 리 군 이론
• 컴퓨터의 논리 구조 연구에 널리 사용되는 불 대수학

대수 구조의 유형을 수학적 대상으로 연구하는 것이 보편대수와 범주론의 목적이다. [37] 후자는 모든 수학 구조(대수적 구조뿐만 아니라)에 적용됩니다. 기원에는 위상 공간과 같은 비대수적 대상의 대수적 연구를 가능하게 하기 위해 호몰로지 대수학과 함께 도입되었다; 이 특정 응용 분야를 대수적 위상수학(algebraic topology)이라고 합니다. [38]

미적분학과 해석학

주요 논문: 미적분학 및 수학 분석

코시 수열은 수열이 진행될수록 항의 모든 후속 항들이 임의로 서로 가까워지도록 하는 원소들로 구성됩니다(왼쪽에서 오른쪽으로).

미적분학은 이전에 무한소 미적분학이라 불렸으며, 17세기 수학자 뉴턴과 라이프니츠에 의해 독립적이고 동시에 도입되었다. [39] 근본적으로 서로 연속적으로 의존하는 변수들 간의 관계를 연구하는 학문이다. 미적분학은 18세기에 오일러에 의해 함수 개념과 여러 다른 결과들이 도입되면서 확장되었다. [40] 현재 "미적분학"은 주로 이 이론의 기본 부분을 의미하며, "분석학"은 고급 부분에 일반적으로 사용됩니다. [41]

분석은 변수가 실수를 나타내는 실해석과 변수가 복소수를 나타내는 복소해석으로 더 세분화됩니다. 분석은 다음과 같은 다른 수학 분야와 공유하는 많은 하위 영역을 포함합니다:

• 다변수 미적분학
• 함수 해석학, 변수가 다양한 함수를 나타내는 경우
• 적분, 측도론, 퍼텐셜 이론, 모두 연속체 위의 확률론과 밀접하게 연관되어 있습니다
• 상미분 방정식
• 편미분방정식
• 수치 해석은 주로 많은 응용 분야에서 발생하는 상미분방정식과 편미분방정식의 해를 컴퓨터로 계산하는 데 전념합니다

이산 수학

주요 문서: 이산 수학

두 상태 마르코프 사슬을 나타내는 도표입니다. 주들은 'A'와 'E'로 표시됩니다. 숫자는 주를 뒤집을 확률입니다.

이산수학은 넓게 말해, 개별적이고 가산 가능한 수학적 대상들을 연구하는 학문이다. 예를 들어 모든 정수의 집합이 있습니다. [42] 여기서 연구 대상이 이산적이기 때문에 미적분학과 수학적 해석 방법은 직접적으로 적용되지 않습니다. [c] 알고리즘, 특히 구현과 계산 복잡도는 이산 수학에서 중요한 역할을 합니다. [43]

4색 정리와 최적 구면 포장은 20세기 후반에 해결된 두 가지 주요 이산 수학 문제였다. [44] 오늘날까지도 미해결인 P 대 NP 문제는 이산수학에서도 중요한데, 이 해법이 계산적으로 어려운 많은 문제에 영향을 미칠 수 있기 때문입니다. [45]

이산수학에는 다음이 포함됩니다:[7]

• 조합론은 주어진 제약 조건을 만족하는 수학적 대상을 열거하는 기술입니다. 원래 이 객체들은 주어진 집합의 원소 또는 부분집합이었으며; 이 개념은 다양한 객체로 확장되어 조합론과 이산수학의 다른 부분 사이에 강한 연관성을 확립합니다. 예를 들어, 이산 기하학에는 기하학적 형태의 구성을 세는 것이 포함됩니다.
• 그래프 이론과 하이퍼그래프
• 오류 정정 코드와 암호학의 일부를 포함한 부호화 이론
• 매트로이드 이론
• 이산 기하학
• 이산 확률 분포
• 게임 이론 (연속 게임도 연구되지만, 체스나 포커와 같은 대부분의 일반적인 게임은 이산적입니다)
• 이산 최적화, 조합 최적화, 정수 프로그래밍, 제약 프로그래밍 포함

수리논리학과 집합론

주요 논문: 수리논리학 및 집합론

벤 다이어그램은 집합들 간의 관계를 설명하는 데 흔히 사용되는 방법입니다.

수리논리학과 집합론이라는 두 과목은 19세기 말부터 수학에 속해 왔습니다. [46][47] 이 시기 이전에는 집합이 수학적 대상으로 간주되지 않았고, 논리는 수학적 증명에 사용되었지만 철학에 속해 수학자들이 특별히 연구하지는 않았다. [48]

칸토어가 무한 집합을 연구하기 전에는 수학자들이 실제로 무한 집합을 고려하는 것을 꺼렸고, 무한은 끝없는 열거의 결과라고 여겼다. 칸토어의 연구는 실제로 무한 집합을 고려했을 뿐만 아니라[49] 칸토어의 대각선 논증에 따라 무한대의 크기가 다르다는 점을 보여주어 많은 수학자들을 불쾌하게 했다. 이로 인해 칸토어의 집합론에 대한 논란이 일어났다. [50] 같은 시기에 수학의 여러 분야에서는 기본 수학적 대상에 대한 이전의 직관적 정의가 수학적 엄밀성을 보장하기에 충분하지 않다고 결론지었다. [51]

이것이 수학의 근본적인 위기가 되었다. [52] 결국 주류 수학에서는 공식화된 집합론 내에서 공리적 방법을 체계화함으로써 해결되었다. 대략적으로 말하면, 각 수학적 객체는 모든 유사한 객체들의 집합과 이 객체들이 가져야 할 성질들로 정의된다. [14] 예를 들어, 페아노 산술에서 자연수는 "0은 숫자이다", "각 수는 유일한 후속자를 가진다", "0을 제외한 모든 수는 유일한 선행자를 가진다", 그리고 몇 가지 추론 규칙들로 정의된다. [53] 이러한 현실과의 수학적 추상화는 1910년경 데이비드 힐베르트가 창립한 현대 형식주의 철학에 구현되어 있다. [54]

이렇게 정의된 대상들의 '본질'은 철학자들이 철학자들에게 맡기는 철학적 문제이며, 많은 수학자들이 이 본질에 대해 의견을 가지고 있으며, 때로는 '직관'이라 불리는 의견을 연구와 증명의 지침으로 삼는다. 이 접근법은 '논리'(즉, 허용된 추론 규칙들의 집합), 정리, 증명 등을 수학적 대상으로 간주하고, 이에 관한 정리를 증명할 수 있게 한다. 예를 들어, 괴델의 불완전성 정리는 대략적으로 말해, 자연수를 포함하는 모든 일관된 형식 체계에는 참인 정리(더 강한 체계에서 증명 가능)하지만 그 체계 내에서 증명 불가능한 정리들이 존재한다고 주장한다. [55] 이러한 수학 기초에 대한 접근법은 20세기 전반기에 브라우어가 이끄는 수학자들에 의해 도전받았는데, 이들은 명시적으로 배중률이 없는 직관주의 논리를 장려했다. [56][57]

이러한 문제와 논쟁은 수리논리학의 광범위한 확장을 이끌었으며, 모델 이론(다른 이론 안에 일부 논리 이론을 모델링), 증명 이론, 타입 이론, 계산 가능성 이론, 계산 복잡도 이론 등 하위 분야로 확장시켰다. [7] 이러한 수리 논리학의 측면들은 컴퓨터가 등장하기 전에 도입되었지만, 컴파일러 설계, 형식 검증, 프로그램 분석, 증명 보조 및 컴퓨터 과학의 다른 측면에서의 사용은 이러한 논리 이론의 확장에 기여했다. [58]