첫댓글제 생각에는 직선 l1 구간에서 주어진 벡터장을 이루는 M(x,y)=-y/(x^2+y^2), N(x,y)=(x/(x^2+y^2))와 관련하여 (x,y)=(0,0)에서는 정의가 되지 않으므로, y/(x^2+y^2)을 y는 0이 아니며, 0보다 큰, 근방의 어떤 수라고 생각하고 x에 대해 적분해보고 y를 0+으로 보내어 결과를 구해봐야 할 것 같습니다. (-1<=x<=sqrt2 역방향) 결과를 구해보면 arccot(y)+arccot(y/sqrt2)입니다. 여기서 y를 0+으로 보내면 해당 적분값은 pi로 갑니다. (참고: 0-으로 보내면 절댓값은 같고 부호는 다릅니다.) x/(x^2+y^2)의 경우도 y에 대해 적분할 때 마찬가지의 계산을 해야 할 것으로 보입니다. 이후 방향을 고려하여 정리하면 원하는 결과를 얻게될 겁니다. 대략적으로 두서없이 매끄럽지 못하게 쓴 거 같은데 적분값을 구하는 데 문제가 발생한 이유로는 저기 l1이 원점을 품고 있기에 발생하는 것으로 보이고, 좋은 고민인 것 같아보이네요. 혹시 부족한 부분이 있으면 귀띔해주세요.
덧: 그리고 마지막 줄에 선.적.기를 사용한 방법으로 해결했을 때 모범답안과 같은 값이 나온 이유는 그 단순닫힌영역에서는 주어진 벡터장이 해석적인 등 좋은 조건을 갖고 있었기에 정리의 적용이 잘 되기 때문으로 볼 수 있으며, 판서 자료에서 x>0이고, x축이 되지 않아야 한다는 내용이 소개된 이유도 제 댓글에서의 생각(?)과 관련지어 생각해보면 좋을 거 같아보입니다. 적분 구간을 잡을 때는 적분을 하려는 함수의 특이점을 주의깊게 잘 살펴보는 게 필요한 거 같더라고요. 관찰한 결과와 해석, 정리의 가정과 직관 위주로 적어보았습니다. (조심스럽게 처음으로 댓글로 답변 달아봅니다.)
@두리마루답변 정말 감사합니다~!! 내용 읽어보니 cot 역함수로 치환은 생각도 못했네요ㅠㅠ 근데 제가 실전에서 저런 문제를 만나게 되면 cot역함수생각은 잘 못할거 같고 ㅠㅠ 선적분기본정리나 매개변수 t로 바꿔서 문제를 풀거 같아요. 그런데 저한테 있어서 선적분기본정리는 F(x,y)를 찾아야하는데 이게 바로 찾을수 있을지 여부가 복불복이라 안전하게 매개변수 t로 바꾸는 방식이 나쁘지 않더라고요 그래서 선생님께서 답변해주신 방법으로 혹시 (x,y)=(0,0)을 지나지 않는 직선으로 해서 매개변수t 방법으로 풀어보았는데 답이 본문의 기존직선잡은 답과 같게 나와서 고민이네요 ㅠㅠ 혹시 질문또 드려도 될까요?? 제가 본문직선 잡은거랑은 다르게 잡았는데요. 아니면 제가 쌤의 답변에 대한 이해를 잘 못한걸까요ㅠㅠ 답변은 해주셔도 되용~^^
@용용마마마지막 줄 향, 치환 확인만 잘 되면 원하는 결과 나올 거 같아요. 치환 실수하신 거 같은 느낌... 매개화할 때 향, 부호 눈여겨봐야 할 거 같아요. 그다음은 이전 내용들 고려... 주어진 벡터장은 (0,0) 제외한 근방에서 보존장이고 잠재함수를 가지므로(이 아이를 찾기 위해 컬을 계산해보고.. 미적기를 몇 번 쓰고 비교하는 작업이... 기출에선 목산(?)이 어느 정도 가능해 보였건만..), 선적기 적용할 수 있다는 것은, 곧, (0,0)을 잘 피하고 시점과 종점이 같으면 어떤 경로로 적분을 하건 결과는 같다는 성질(경로독립)을 가진다는 거니까 모범답안 결과 얻으실 수 있을 겁니다. (+사실 arccot와 arctan간 상호관계 변환은 정리해주는 것에서의 약간의 차이...)
선생님 풀이에서 애초에 선적분을 피적분함수의 경계부분을 지나가도록 잡은 것은 오류입니다. l1의 경로를 살짝 비틀어서 원점을 돌아가도록 해야하고 이 경우 더 자세히 말씀을 드린다면 위쪽으로 돌아가도록 하시는 것이 그린 정리를 올바로 적용할 수 있는 길입니다.
두번째로 피적분 벡터장의 앞 부분은 소위 angle form 의 쌍대벡터장입니다. 선적분하면 각의 변화가 됩니다. 그러나 그것을 실제 적분으로 수행할 때는 치환하는 변수의 정역에 매우매우 신경을 써야하기 때문에 번거로운 일입니다. 그것이 각의 변화임을 관찰하실 수 있어야 하겠습니다. 이 부분 고려하셔서 다시 풀어보시기를 권합니다.
@용용마마일단 L1, L2, L3 방향을 저렇게 잡으시면 답이 반대로 나오게 되구요. 결론적으로는 -3pi/4 를 얻어서 제대로 계산해도 부호가 반대가 되게 됩니다. 그렇다 손 치더라고 -pi/3 가 얻어져야하는데요 지금 ii 보시면 첫 번째 줄에서 적분식 저런식으로 미분형식 두 개가 들어가면 어색하구요. 그리고 arctan(-1)은 그냥 -pi/4 에요. 그래서 틀린거에요.
첫댓글 제 생각에는 직선 l1 구간에서 주어진 벡터장을 이루는 M(x,y)=-y/(x^2+y^2), N(x,y)=(x/(x^2+y^2))와 관련하여 (x,y)=(0,0)에서는 정의가 되지 않으므로, y/(x^2+y^2)을 y는 0이 아니며, 0보다 큰, 근방의 어떤 수라고 생각하고 x에 대해 적분해보고 y를 0+으로 보내어 결과를 구해봐야 할 것 같습니다. (-1<=x<=sqrt2 역방향) 결과를 구해보면 arccot(y)+arccot(y/sqrt2)입니다. 여기서 y를 0+으로 보내면 해당 적분값은 pi로 갑니다. (참고: 0-으로 보내면 절댓값은 같고 부호는 다릅니다.) x/(x^2+y^2)의 경우도 y에 대해 적분할 때 마찬가지의 계산을 해야 할 것으로 보입니다. 이후 방향을 고려하여 정리하면 원하는 결과를 얻게될 겁니다. 대략적으로 두서없이 매끄럽지 못하게 쓴 거 같은데 적분값을 구하는 데 문제가 발생한 이유로는 저기 l1이 원점을 품고 있기에 발생하는 것으로 보이고, 좋은 고민인 것 같아보이네요. 혹시 부족한 부분이 있으면 귀띔해주세요.
덧: 그리고 마지막 줄에 선.적.기를 사용한 방법으로 해결했을 때 모범답안과 같은 값이 나온 이유는 그 단순닫힌영역에서는 주어진 벡터장이 해석적인 등 좋은 조건을 갖고 있었기에 정리의 적용이 잘 되기 때문으로 볼 수 있으며, 판서 자료에서 x>0이고, x축이 되지 않아야 한다는 내용이 소개된 이유도 제 댓글에서의 생각(?)과 관련지어 생각해보면 좋을 거 같아보입니다. 적분 구간을 잡을 때는 적분을 하려는 함수의 특이점을 주의깊게 잘 살펴보는 게 필요한 거 같더라고요. 관찰한 결과와 해석, 정리의 가정과 직관 위주로 적어보았습니다. (조심스럽게 처음으로 댓글로 답변 달아봅니다.)
@두리마루 답변 정말 감사합니다~!! 내용 읽어보니 cot 역함수로 치환은 생각도 못했네요ㅠㅠ
근데 제가 실전에서 저런 문제를 만나게 되면 cot역함수생각은 잘 못할거 같고 ㅠㅠ 선적분기본정리나 매개변수 t로 바꿔서 문제를 풀거 같아요. 그런데 저한테 있어서 선적분기본정리는 F(x,y)를 찾아야하는데 이게 바로 찾을수 있을지 여부가 복불복이라 안전하게 매개변수 t로 바꾸는 방식이 나쁘지 않더라고요
그래서 선생님께서 답변해주신 방법으로 혹시 (x,y)=(0,0)을 지나지 않는 직선으로 해서 매개변수t 방법으로 풀어보았는데 답이 본문의 기존직선잡은 답과 같게 나와서 고민이네요 ㅠㅠ
혹시 질문또 드려도 될까요?? 제가 본문직선 잡은거랑은 다르게 잡았는데요. 아니면 제가 쌤의 답변에 대한 이해를 잘 못한걸까요ㅠㅠ 답변은 해주셔도 되용~^^
@용용마마 마지막 줄 향, 치환 확인만 잘 되면 원하는 결과 나올 거 같아요. 치환 실수하신 거 같은 느낌... 매개화할 때 향, 부호 눈여겨봐야 할 거 같아요. 그다음은 이전 내용들 고려... 주어진 벡터장은 (0,0) 제외한 근방에서 보존장이고 잠재함수를 가지므로(이 아이를 찾기 위해 컬을 계산해보고.. 미적기를 몇 번 쓰고 비교하는 작업이... 기출에선 목산(?)이 어느 정도 가능해 보였건만..), 선적기 적용할 수 있다는 것은, 곧, (0,0)을 잘 피하고 시점과 종점이 같으면 어떤 경로로 적분을 하건 결과는 같다는 성질(경로독립)을 가진다는 거니까 모범답안 결과 얻으실 수 있을 겁니다. (+사실 arccot와 arctan간 상호관계 변환은 정리해주는 것에서의 약간의 차이...)
@두리마루 마지막줄 저는 치환이 틀린거 없는거 같은데,,, 혹시 죄송한데 구체적으로 어떻게 치환하셨는지 알려주실수 있나요?.? L_3 얘기하시는거죠??
@용용마마 네, 저 매개화를 정의하였을 때, dx=dt로 놓고 계산하신 거 같은데 dx=-dt로 놓고 계산 진행해야 할 거 같아요.
@두리마루 계산결과 이거 맞지 않나요??
이전거랑 값이 같은데...
혹시 어디가 틀렸는지 알수 있을까요??
두리마루님 정성스런 답변 고맙습니다.
선생님 풀이에서 애초에 선적분을 피적분함수의 경계부분을 지나가도록 잡은 것은 오류입니다. l1의 경로를 살짝 비틀어서 원점을 돌아가도록 해야하고 이 경우 더 자세히 말씀을 드린다면 위쪽으로 돌아가도록 하시는 것이 그린 정리를 올바로 적용할 수 있는 길입니다.
두번째로 피적분 벡터장의 앞 부분은 소위 angle form 의 쌍대벡터장입니다. 선적분하면 각의 변화가 됩니다. 그러나 그것을 실제 적분으로 수행할 때는 치환하는 변수의 정역에 매우매우 신경을 써야하기 때문에 번거로운 일입니다. 그것이 각의 변화임을 관찰하실 수 있어야 하겠습니다. 이 부분 고려하셔서 다시 풀어보시기를 권합니다.
추가적인 질문은 여기에 댓글을 주세요.
원점을 지나지 않게끔해서 곡선을 다시 잡아봤습니다. 자세하게 다시 풀어봤는데 (답은 파란색밑줄친 선적분값=(-3/4)파이 입니다.) 두리마루님께서도 지적을 잘 해주셨는데 제가 이해를 못했는지,, 답이 자꾸 빙빙돌아서요 ㅠㅠ
각도가 잘못된건지 ㅜㅜ 곡선을 잘못잡은건지 ㅠㅠ;;;;
@용용마마 일단 L1, L2, L3 방향을 저렇게 잡으시면 답이 반대로 나오게 되구요. 결론적으로는 -3pi/4 를 얻어서 제대로 계산해도 부호가 반대가 되게 됩니다. 그렇다 손 치더라고 -pi/3 가 얻어져야하는데요 지금 ii 보시면 첫 번째 줄에서 적분식 저런식으로 미분형식 두 개가 들어가면 어색하구요. 그리고 arctan(-1)은 그냥 -pi/4 에요. 그래서 틀린거에요.
@용용마마 경로를 이렇게 잡으시는게 아니고 동그랗게 잡으셔야하구요.
@용용마마 원점에서 거리가 달라지는 부분을 선분으로 처리하셔야 하는거에요.