2002년 수학 올림피아드 문제 4-a번 풀이.

4-b도 풀었지만... 정돈하기가 만만치 않네요. 아직 오류가 있을지 좀 더 검토해 봐야 할 것 같아요... 오류가 없다는 것이 확인되어도 여기에 올리는 것은 복잡해서 어려울 듯... 일단 4-a번 만 적어 봅니다. ================================================================== Problem 4 Let n be an integer greater than 1. The positive divisors of n are d_1, d_2, ..., d_k where 1 = d_1 < d_2 < ... < d_k = n. Define D = d_1d_2 + d_2d_3 + ... + d_{k-1}d_k. (a) Prove that D < n^2 (b) Determine all n for which D is a divisor of n^2. ================================================================== 즉, 다시 써서, n의 약수의 집합을 {d1, d2, d3, ... , dk}라 둘 때, 1 = d1 < d2 < d3 < ... < dk = n 으로 정의합니다. D = d1*d2 + d2*d3 + ... + d(k-2)*d(k-1) + d(k-1)*dk 로 둘 때, a)는, D < n^2임을 증명하는 것입니다. ............................[[풀이]].......................... Ux = d1*d2 + d2*d3 + ... + d(x-2)*d(x-1) + d(x-1)*dx (2 <= x <= k x는 자연수) 로 둡니다. 문제를, H + Uk = n^2로 둡니다. H > 0 이면 a)가 증명됩니다. 먼저, 임의의 x(1 <= x <= k x는 자연수)에서, d(x-m)*dm <= dx 입니다. 이 증명도 보기보다 어렵지만 생략합니다. H + Uk = dk*dk 라는 원식에서, 각각 우변에 d(k-1)*dk를 빼주면, H + U(k-1) = dk{dk - d(k-1)} .......... = d(k-1)*(d2 - 1)*dk (:: d2*d(k-1) = dk) H + U(k-2) = d(k-1)*(d2 - 1)*dk - d(k-1)*d(k-2) 여기서, d(x-m)*dm <= dx 이므로, d3*d(k-2) <= d(k-1) 따라서, H(-) <= H 라 두면, H(-) + U(k-2) = d(k-1)*d(k-2)*{d3(d2 - 1) - 1} 또한, d4*d(k-3) <= d(k-2)에서, H(-2) <= H(-)라 두면, H(-) + U(k-3) = d(k-1)*d(k-2)*{d3(d2 - 1) - 1} - d(k-2)*d(k-3) 따라서, H(-2) + U(k-3) = d(k-2)*d(k-3)*[d4*{d3(d2 - 1) - 1} -1] 계속하여, 마지막까지 계산하면 (U1의 값은 존재하지 않음) H(-(k-2)) = d2*d1*[Positive -1] > 0 (... Positive>>1) 따라서, 0 < H(-(k-2)) <= H 이므로, H + Uk = dk*dk 에서, Uk = D < dk*dk = n^2 즉, D < n^2 너무 생략된 듯 한데... 아무튼 대략의 증명 과정은 그렇습니다. 틀린 곳 없나요? 그럼 이만... 총총총... 3번 문제 풀어보구 또 답 올릴게요. 재밌다... ^ ^) 유나님. 몇 문제 풀면 맛있는 거 사주시나요? ^ ^)