3대 작도 불가능 문제

[손님]

17세기 이전의 수학자들의 고민인 3대 작도문제에 대해서 알아 보겠습니다.

1.정6면체의 배적 

 주어진 정 6면체 부피의 두배의 부피를 갖는 정 6면체의 모서리를 작도하는 문제

2.각의 삼등분 : 임의의 각을 삼등분하는 문제

3.원적 : 주어진 원과 동일한 면적을 갖는 정사각형을 작도하는 문제

이 세 가지는 왜 작도가 불가능한가 알아보겠습니다.

1. 작도가능한 수의 집합에 대해 생각할 수 있습니다.
두 수 a , b 가 작도가능하면 a+b, a-b, ab, a/b, sqrt(a) 가 작도가능합니다. 예를 들어 제곱근 2 는 작도가능하지요. 피타고라스 정리를 사용하면 됩니다.
작도가능의 정리를 이용하면

sqrt(3), sqrt(5)+sqrt(3), sqrt(sqrt(3)+sqrt(5)) 은 작도가능합니다.

다음 부터 이야기는 대수학 (Algebra)의 Field(체)에서 다루는 이야기 입니다.

sqrt(sqrt ... sqrt(n)) 등도 작도 가능합니다. 즉 2^(1/2), 2^(1/4) 2^(1/8) 등은 작도 가능합니다.
그런데, 2^(1/3) 은 작도할 수 없습니다. 이부분은 제 수준에서는 쉽게 설명을 못 합니다. 추상 대수학의 뒷부분에서 증명을 합니다.

2. 1번은 주어진 정육면체의 2배의 부피를 가지는 정육면체의 한 모서리의

길이가 작도 불가능하다는 이야기 입니다.
정육면체의 한 모서리의 길이 1 -> 정육면체의 부피는 1입니다.
따라서 두배의 부피를 가지려면 -> 한 모서리의 길이는 2^(1/3) 이 됩니다.
그런데 2^(1/3) 꼴은 작도가 불가능합니다.

3. 임의의 각을 3등분 하는 문제입니다.

이 문제는 모든 각을 삼등분할 수 없다는 것은 아닙니다.
9의 배수의 각은 3 등분 할 수 있습니다. (9도, 18 도, 27 도, 54 도 등)
1) 60도가 작도 가능 ->( 2등분 하면) 30도 작도 가능
2) 정오각형 작도가능 -> (한 외각 72 작도가능 이등분) 36 도 작도가능
3) 36 도와 30 도가 작도가능하면 36-30 = 6 도가 작도가능
4) 6 도가 작도가능하다는 것은 이등분하면 3도가 작도가능합니다.
5) 따라서 3n 도가 작도가능하니까 3n*3 =9n 도는 3 등분이 가능한 것입니다.
(참고) 1도는 작도할 수 없습니다.

왜냐하면 1 도가 가능하면 2도가 가능하고 3도, n도가 작도가능하게 됩니다.

4. 문제2는 자와 컴파스로 3등분할 수 없는 각이 존재한다는 것입니다.
크기가 60도인 각을 3등분 하는 문제를 생각해 봅시다.
60도를 3등분 한다는 것은 20도를 작도하는 문제입니다.
20도를 작도한다는 것은 cos 20도를 작도하는 문제와 같습니다.
cos 정리에 의하면
cos( a+a) =cos a cos a - sin a sin a
= (cos a)^2 -(sin a)^2 인데요. 이것을 이용하면
다음 식을 얻을 수 있습니다.
cos 3x = cos ( 2x +x )
= cos 2x cos x - sin2x sin x
= (2cos^2 x -1 ) cosx - 2 sinx cosx sinx
=(2cos^2 x -1 ) cosx - (1-cos^2 x)
= 4 (cos x)^3 - 3 cos x

cos x = t 로, x= 20 으로 두면
cos 3x = cos 60 = 1/2 이지요.
따라서 4 t^3 - 3 t = 1/2
즉 8t^3 - 6 t -1 =0 의 꼴이 됩니다.

이 때의 t 의 값은 세 제곱근 형태가 됩니다.
위에서 기술한 대로 세제곱근 형태는 작도가 불가능합니다.

5. 세번째는 주어진 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형의 한 변의 길이는

작도불가능 하다는 것입니다.
(풀이) 원의 반지름이 1 이면 원의 넓이는 파이(3.14 ..)가 되며,

 작도하려는 정사각형의 한 변의 길이는 제곱근 파이가 됩니다. 

(이 내용을 증명할 때는 초월수와 대수적인 수에 대한 언급을 해야 합니다.
결론은 파이는 초월수이며, 초월수는 작도 불가능 하다는 것입니다.
대수적이 아닌 수를 초월수라 합니다. 파이가 초월수라는 증명은 어렵습니다. 
노트에 정리했을 때 6 페이지 가량됩니다.)

따라서, 원과 같은 넓이를 가진 정사각형은 작도가 불가능합니다.